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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15180 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-18  |  2.2 KB  |  46 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!sgiblab!sdd.hp.com!cs.utexas.edu!mercury.unt.edu!sol!arvola
  3. From: arvola@sol.acs.unt.edu (Arvola William)
  4. Subject: Re: A Question About Fundamental Group
  5. Message-ID: <arvola.722107812@sol>
  6. Sender: usenet@mercury.unt.edu (UNT USENet Adminstrator)
  7. Organization: University of North Texas
  8. References: <amirishs.722059588@acf9> <18NOV199209581321@mary.fordham.edu>
  9. Date: Wed, 18 Nov 1992 17:30:12 GMT
  10. Lines: 34
  11.  
  12. nissim@mary.fordham.edu (Leonard J. Nissim) writes:
  13.  
  14. >In article <amirishs.722059588@acf9>, 
  15. >amirishs@acf9.nyu.edu (shaahin amiri sharifi) writes...
  16. >>Consider a bunch of infinitely many (countable) circles with a
  17. >>point in common. The radii of these circles make a sequence like
  18. >>{1/n}. What is the fundamental group of this space? Any comments
  19. >>or referenc would be so helpful!
  20.  
  21. >Sometimes known as the "Hawaiian earing space".
  22. >Its fundamental group has coutably many generators (one for each circle)
  23. >and no relations.  (I.e., it is a free non-Abelian group on countably 
  24. >many generators.)  
  25.  
  26. I don't think that it is as simple as this.  Take, for example,
  27. a loop running around a subcollection of the circles whose radii
  28. converge like the sequence {1/2^n}.  Since this (sub)sequence is
  29. summable this loop represents an element of the fund group which
  30. is not a finite product of the generators that were proposed.
  31.  
  32. >"Algebraic Topology: An Introduction" by Massey is a good reference for 
  33. >the definition and early theorems about the fundamental group.
  34.  
  35. >This is cute:  take the cone over your original space; that is, put all 
  36. >the circles in the xy-plane tangent to the y-axis at (0,0) and connect 
  37. >each point of every circle to the point (0,0,1) in R^3.  
  38. >Now you have a space that is contractable (homotopic to a point), but 
  39. >*not* locally simply connected.  In fact, every small neighborhood of (0,0,a)
  40. >(where 0<=a<1) has a fundamental group with infinitely many generators. 
  41.  
  42. >-------------------------------------------------------------------------------
  43. >Leonard J. Nissim  (nissim@mary.fordham.edu)   
  44. >Disclaimer:  "I speak only for myself."
  45. >-------------------------------------------------------------------------------
  46.