home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / logic / 2171 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-24  |  2.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!wupost!waikato.ac.nz!canterbury.ac.nz!math!wft
  2. Newsgroups: sci.logic
  3. Subject: Re: Do completed infinite totalities exist? Was: Lowneheim-Skolem theorem
  4. Message-ID: <By77ps.HCy@cantua.canterbury.ac.nz>
  5. From: wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor)
  6. Date: Tue, 24 Nov 1992 02:17:51 GMT
  7. References: <1992Nov17.124233.24312@oracorp.com>  <TORKEL.92Nov22115549@echnaton.sics.se>
  8. Organization: Department of Mathematics, University of Canterbury
  9. Nntp-Posting-Host: sss330.canterbury.ac.nz
  10. Lines: 42
  11.  
  12. In article <TORKEL.92Nov22115549@echnaton.sics.se>, torkel@sics.se (Torkel Franzen) makes an good point that "uncountable" seems to have a clear cut
  13. meaning to most working mathematicians, independent of whatever formal system
  14. they may (seem to) be working in (if any). He makes an excellent analogy with
  15. the concept of "complete", in some detail, pointing out that the same applies.
  16.  
  17. While there may be some room for debate, he presents a very robust and appealing
  18. case.  But then he also goes on to say, in distinction, 
  19.  
  20. |> On the other hand,
  21. |> such concepts as "formally undecidable" or "definable" do have formal systems
  22. |> as explicit and implicit parameters, and are understood, explained, and used
  23. |> on that understanding.
  24.  
  25. While I agree totally that this is so with "formally undecidable", I'm not so
  26. sure about the other.
  27.  
  28. "Definable", when used technically, does of course mean precisely "with respect
  29. to a formal system"; but then Paul Budnik's point was that (precisely speaking)
  30. this is also true for "uncountable".  But Torkel Franzen was making the point
  31. that "uncountable" also corresponds to a clear-cut mathematical idea that is
  32. independent of any formal system; and I suggest that "definable" is similar.
  33.  
  34. I suspect that many working mathenmaticians have a vague but firmly held idea
  35. that there are certain identifiable "definable" things in some platonic sense,
  36. just as much as there are uncountable things.  While they may not be able to
  37. give quite such a good account of them as they could of uncountable, they might
  38. make a fair stab at it, if pressed.  It would almost certainly be based on the
  39. simple idea of sets being given in (unrestricted-looking) comprehension terms
  40.    { x | P(x) } .
  41.  
  42. Of course the property P can only be made precise within a formal system.
  43. But then, as said above, the same remark applies to uncountable.
  44.  
  45. Does this idea ring any bells with anyone else; that "definable" may have some
  46. meaning in mathematical "reality" (independent of a formal system); that is
  47. *at least as much* as does "uncountable".  
  48.  ~~~~~~~~~~~~~~~~
  49. ------------------------------------------------------------------------------
  50.               Bill Taylor              wft@math.canterbury.ac.nz
  51. ------------------------------------------------------------------------------
  52.              Quantum particles: the dreams that stuff is made of.
  53. ------------------------------------------------------------------------------
  54.