home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / fractals / 375 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-21  |  1.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!sol.ctr.columbia.edu!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  2. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  3. Newsgroups: sci.fractals
  4. Subject: Re: "Critical Points" for non-analytic functions
  5. Date: 22 Nov 92 09:35:33 GMT
  6. Organization: The University of British Columbia
  7. Lines: 32
  8. Message-ID: <israel.722424933@unixg.ubc.ca>
  9. References: <1992Nov21.154035.5381@mnemosyne.cs.du.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. In <1992Nov21.154035.5381@mnemosyne.cs.du.edu> lmitchel@nyx.cs.du.edu (lloyd mitchell) writes:
  13.  
  14. >In sci.math, a question was asked about taking the derivative of a non-
  15. >analytic complex function.  In particular, the poster was trying to 
  16. >differentiate
  17.  
  18. >    f(z) = y + ix, where z = x + iy.
  19.  
  20. >My question is this:  For such functions, is there any such point that
  21. >corresponds to a critical point for analytic functions?  I'm curious
  22. >because I'd like to generate Mandelbrot-type sets for some functions of
  23. >this nature, and I wonder where one would begin iterating.  (For analytic
  24. >functions, Mandelbrot images are generated by beginning the iteration
  25. >at a critical point.)
  26.  
  27. >Thanks for any info,
  28. >Kerry Mitchell
  29.  
  30. You can always regard the complex plane as R^2, so you have a mapping from
  31. R^2 to R^2.  The derivative in this context is the Jacobian matrix, and a
  32. "critical point" would be one where the Jacobian has determinant 0.  These
  33. would tend to occur on curves, however, not isolated points.  The dynamics
  34. of arbitrary differentiable maps from R^2 to itself might be quite 
  35. complicated compared to analytic functions, and I don't think there's an
  36. awful lot that can be said about it in general.  In particular, there may be
  37. no good reason to start iterating at any particular point.
  38.  
  39. -- 
  40. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  41. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  42. University of British Columbia
  43. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  44.