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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / fractals / 339 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-15  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!wupost!emory!swrinde!network.ucsd.edu!lyapunov.ucsd.edu!mbk
  2. From: mbk@lyapunov.ucsd.edu (Matt Kennel)
  3. Newsgroups: sci.fractals
  4. Subject: Re: Lorenz' Weather
  5. Date: 16 Nov 1992 05:30:50 GMT
  6. Organization: Institute For Nonlinear Science, UCSD
  7. Lines: 54
  8. Message-ID: <1e7bmaINNslq@network.ucsd.edu>
  9. References: <1992Nov12.201358.3135@alchemy.chem.utoronto.ca>
  10. NNTP-Posting-Host: lyapunov.ucsd.edu
  11. X-Newsreader: Tin 1.1 PL3
  12.  
  13. mroussel@alchemy.chem.utoronto.ca (Marc Roussel) writes:
  14. : >    dX/dt = a(Y-X)
  15. : >    dY/dt = bX-Y-XZ
  16. : >    dZ/dt = XY - cZ
  17. : >
  18. : >                where a = 10
  19. : >                      c = 8/3
  20. : >                      b = control parameter (try 28)
  21. : 
  22. :      These are indeed the Lorenz equations (as they are now known) but
  23. : these aren't the original weather simulation equations where Lorenz
  24. : noticed sensitive dependence on initial conditions.  Lorenz actually
  25. : started out with some specialized version of the Navier-Stokes equation
  26. : (a PDE) and noticed sensitive dependence in these equations under the conditions
  27. : of his weather simulation.  The Lorenz ODEs shown above are a truncation
  28. : of the Navier-Stokes equation for the special case of (I think)
  29. : Rayleigh-Benard convection under certain fairly restrictive conditions.
  30.  
  31. There is a physical system for which the Lorenz equations are a
  32. "not incredibly bad" approximation (to use them for simple R-B convection is a 
  33. "well that's really pretty cheezy" approximation).
  34.  
  35. It's called a thermosyphon, and it actually gets used for some engineering
  36. applications but I don't know how really.
  37.  
  38. Think of a loop of pipe in an 'O' standing up vertically, like a bicycle
  39. wheel, with fluid in the interior.
  40.  
  41. Now, keep the walls on the bottom half of the "O" hot, and the
  42. walls on the top half cold. Given enough of a temperature difference,
  43. you can start to get convective motion of the fluid as it tries to
  44. transport heat from hot to cold.
  45.  
  46. In this circumstance, the "X" variable is proportional to fluid
  47. velocity (in some complicated nondimensionalization), the Y and Z
  48. variables are coefficients sine and cosine modes of the temperature.
  49.  
  50. "a" is the Prandtl number of the fluid (ratio of shear viscosity to
  51. thermal diffusivity), "b" is the Rayleigh number (proportional to
  52. temperature difference between hot and cold boundary conditions and
  53. other geometrical factors), and "c" is always one.
  54.  
  55. : Lorenz cooked up these equations as a simple example of what he was
  56. : seeing in his more sophisticated weather models.
  57.  
  58.  
  59. :                 Marc R. Roussel
  60. :                                 mroussel@alchemy.chem.utoronto.ca
  61.  
  62. --
  63. -Matt Kennel          mbk@inls1.ucsd.edu
  64. -Institute for Nonlinear Science, University of California, San Diego
  65. -*** AD: Archive for nonlinear dynamics papers & programs: FTP to
  66. -***     lyapunov.ucsd.edu, username "anonymous".
  67.