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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / rec / puzzles / 7454 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-22  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!charnel!sifon!thunder.mcrcim.mcgill.edu!mouse
  2. From: mouse@thunder.mcrcim.mcgill.edu (der Mouse)
  3. Newsgroups: rec.puzzles
  4. Subject: Re: Random Points on a Sphere
  5. Message-ID: <1992Nov23.021531.7700@thunder.mcrcim.mcgill.edu>
  6. Date: 23 Nov 92 02:15:31 GMT
  7. References: <1992Nov20.181709.13148@aurora.com> <1992Nov22.020105.27398@hubcap.clemson.edu>
  8. Organization: McGill Research Centre for Intelligent Machines
  9. Lines: 45
  10.  
  11. In article <1992Nov22.020105.27398@hubcap.clemson.edu>, mjfreem@hubcap.clemson.edu (Matthew J. Freeman) writes:
  12. > isaak@aurora.com (Mark Isaak) writes:
  13.  
  14. >> Four points are randomly selected from the surface of a sphere.
  15.  
  16. Without further information, I'll assume the distribution over the
  17. surface of the sphere is uniform - that is, the expected number of
  18. points falling inside an area is directly proportional to the area,
  19. independent of where it is on the sphere.
  20.  
  21. >> What is the probability that all four lie in the same hemisphere?
  22.  
  23. > Think of placing 4 points on an otherwise featureless sphere.  The
  24. > first three points will define a hemisphere no matter where they are
  25. > placed, and the probability that the fourth is in the same hemisphere
  26. > is 1/2.
  27.  
  28. No, they will all fall in the same hemisphere[%], but they do not
  29. *define* a hemisphere.  Consider three points clustered near one
  30. another: provided the fourth point doesn't fall in a small area
  31. antipodal to the triangle formed by the cluster, all four will still be
  32. in the same hemisphere.
  33.  
  34. Given three points, the fourth point will fall so as to put all four
  35. points in the same hemisphere with probability equal to the fraction of
  36. the total spherical surface area which lies outside the (spherical)
  37. triangle formed by the three points.  This is because any point which
  38. is not antipodal to a point inside that triangle will permit a
  39. hemisphere that includes all four points.
  40.  
  41. This lies between 1/2 and 1, depending on how closely the first three
  42. points cluster to one another.  So answering the question amounts to
  43. computing the expected fraction of the sphere's area covered by the
  44. triangle formed by the first three points.  My knowledge of spherical
  45. geometry is insufficient for this.
  46.  
  47. [%] Throughout this posting, I am ignoring boundaries.  Cases where the
  48.     first three points all fall on the same great circle, or the fourth
  49.     point falls antipodal to a boundary, I dismiss as a set of measure
  50.     zero, not affecting the probability.
  51.  
  52.                     der Mouse
  53.  
  54.                 mouse@larry.mcrcim.mcgill.edu
  55.