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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / rec / gambling / 5796 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-21  |  3.9 KB  |  97 lines
  1. Newsgroups: rec.gambling
  2. Path: sparky!uunet!walter!news
  3. From: Jonathan Rosenberg <jxr@thumper.bellcore.com>
  4. Subject: Re: Not the Monty Haul problem
  5. Message-ID: <1992Nov21.162331.12407@walter.bellcore.com>
  6. Sender: news@walter.bellcore.com
  7. Nntp-Posting-Host: bambam.bellcore.com
  8. Organization: Bellcore
  9. Date: Sat, 21 Nov 92 16:23:31 GMT
  10. Lines: 85
  11.  
  12. It's true that this discussion really belongs on "something".math, but
  13. since it was asked here & I've seen two incorrect answers, I'm going to
  14. provide an answer here.  This problem is actually much tricker than it
  15. seems.
  16.  
  17. Jeff Tang Asks:
  18.  
  19. > Question:
  20.  
  21. > You're given two envelopes and told that the contents are determined
  22. > randomly, except that one has twice as much money as the other.  You open
  23. > one envelope and find 1 unit.  Now, you're given the opportunity to either
  24. > take the unit you found, or give it up and take the contents of the other
  25. > envelope.  What do you do?
  26.  
  27. > Answer 1:
  28. > Well, since there wasn't really any information revealed by opening the
  29. > envelope, switching to the other envelope wouldn't be any different than
  30. > choosing that envelope in the first place.  Therefore, it doesn't matter if
  31. > you switch.
  32.  
  33. > Answer 2:
  34. > Well, the other envelope has either .5 or 2 units.  Since there's a 50%
  35. > chance of each of these, you'll come out with 1.25 units on average as
  36. > opposed to sticking with the single unit, so you should switch.
  37.  
  38. > What's wrong with one (or both) of these answers?
  39.  
  40. Believe it or not, BOTH answers are wrong, though Answer #2 is actually
  41. closer to a correct answer.  No, this is not a trick.  Let me explain.
  42.  
  43. The difficulty is that the problem is not completely specified &, so, is
  44. unanswerable.  Let's look at the problem statement again:
  45.  
  46.     You're given two envelopes and told that the contents are determined
  47.     randomly, except that one has twice as much money as the other.
  48.  
  49. The difficulty lies in the phrase "contents are determined randomly". 
  50. We can assume without loss of generality that the contents are
  51. determined as follows: choose a number U & place that many units in an
  52. envelope.  Now place 0.5U or 2U (determined by a flip of a coin, say)
  53. units in the other envelope.
  54.  
  55. To answer the question correctly requires knowing the distribution of U
  56. (i.e., what is the distribution of the random variable determining the
  57. contents).  Without knowing the distribution, there is no answer.
  58.  
  59. You're probably thinking that this is nit-picking & that it's obvious
  60. what the distribution is.  Well, I can think of 2 obvious possibilties:
  61.  
  62. 1) U is chosen with a uniform distribution from the interval [0, M]. 
  63. That is, the minimum that can be put in an envelpe is 0 units & the max
  64. is M units.  In this case, there is a simple algorithm for maximizing
  65. the expected value:
  66.  
  67.     If the enveople you choose has <= M/2 units in it, switch to the other
  68.     envelope.
  69.     Otherwise, stick with you first choice.
  70.  
  71. Notice that answer #2 is a variation of this for the case M=2.
  72.  
  73. 2) U is chosen with a uniform distribution from the interval [0,
  74. infinity).  That is, the minimum number of units is 0, but there is no
  75. maximum.  I suspect that this is implicitly what everyone assumed the
  76. distribution was.
  77.  
  78. If this is the correct meaning, then it's easy to deal with.  That's
  79. because the construction specified is impossible: it's not possible to
  80. choose a number uniformly from an infinite sequence.  Thus, the problem
  81. is ill-defined & there is no answer.
  82.  
  83. ------
  84.  
  85. On rethinking this, I realized that you might argue that the problem is
  86. well-defined & that the chooser just is not told the distribution used. 
  87. That seems to be ok.  In that case, answer #1 is correct.  Answer #2 has
  88. flawed logic because it is calculating an average of repeated trails
  89. that are not like the original trial.  I.e., answer #2 assumes that in
  90. each trail the envelopes will contain either 0.5 & 1 units or 1 & 2
  91. units.  But, that ain't the original problem.  The original problem says
  92. that you have no information about the amounts in the envelopes (other
  93. than 1 is twice the other).
  94.  
  95. JR
  96.  
  97.