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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / comp / compress / 3855 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-15  |  3.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!nntp.msstate.edu!memstvx1!chenyh
  2. From: chenyh@memstvx1.memst.edu
  3. Newsgroups: comp.compression
  4. Subject: Re: Math Question
  5. Message-ID: <1992Nov16.003241.4092@memstvx1.memst.edu>
  6. Date: 16 Nov 92 06:32:41 GMT
  7. References: <24005@hacgate.SCG.HAC.COM> <1e75usINN31v@agate.berkeley.edu>
  8. Organization: Memphis State University
  9. Lines: 91
  10.  
  11. In article <1e75usINN31v@agate.berkeley.edu>, bsmith@mickey.NoSubdomain.NoDomain (Brian Smith) writes:
  12. > In article <24005@hacgate.SCG.HAC.COM>, abirenbo@rigel.cel.scg.hac.com (Aaron Birenboim) writes:
  13. > |> 
  14. > |> While working on an optimization problem related to compression
  15. > |> I bumped into the following nasty little problem :
  16. > |> 
  17. > |>    evaluate:
  18. > |> 
  19. > |>                 {           [(i+1)q                                      }
  20. > |>              d  {           [                                            }
  21. > |>             --- {  Integral [      (x - (i + 0.5) q)^2 * exp(-c * x) dx  }
  22. > |>              dq {           [                                            }
  23. > |>                 {           [i*q                                         }
  24. > |> 
  25. > |>   I have evaluated the integral..... and it is terribly nasty.  Even if I
  26. > |> didn't goof on the evaluation, i would surely goof on the differentiation.
  27. > |> 
  28. > |>   c and i are constants.  I'm trying to minimize error for q.
  29. > |> 
  30. > |>   I seem to remember some terribly nasty formulas for handling the
  31. > |> differentiation before evaluating any integral.
  32. > |> 
  33. > |>   I think it involved the bounds, derivitives of the bounds, the integrand
  34. > |> and the derivitave of the integrand.
  35. > |> 
  36. > |>   My memory comes from a dim recolection of some stuff covered
  37. > |> by Dr. Sawchuk at USC (southern cal) in a class on random variables
  38. > |> based on the book by papoulis.  I cannot find it mentioned in papoulis...
  39. > |> i think is was ONLY in Sawchuk's notes (which i cannot find).
  40. > 
  41. > I believe the following is correct (this is the result of about 2 minutes
  42. > of calculation, but it seems to work).  I decided to post it so other people
  43. > could check it, since I'm not perfectly confident in the answer (my calculus
  44. > was a long time ago!).
  45. > 
  46. > Theroem:
  47. > 
  48. > If f(x) is a function that is analytically integrable, then
  49. > 
  50. >                  {           [y         }
  51. >               d  {           [          }
  52. >              --- {  Integral [  f(x) dx }   = f(y)
  53. >               dy {           [          }
  54. >                  {           [0         }
  55. > 
  56. > Proof:
  57. > 
  58. > Let g(x) be the indefinate integral of f(x).  Then, by the fundamental theorem
  59. > of integral calculus, g'(x) = f(x).  Now, the definate intergral from 0 to y
  60. > of f(x) is g(y) - g(0).  The derivative of this expression wrt y is g'(y) which
  61. > is f(y). QED
  62. > 
  63. > Given this, and a few reductions, the expression
  64. > 
  65. >                  {           [(i+1)q                                      }
  66. >               d  {           [                                            }
  67. >              --- {  Integral [      (x - (i + 0.5) q)^2 * exp(-c * x) dx  }
  68. >               dq {           [                                            }
  69. >                  {           [i*q                                         }
  70. > 
  71. > evaluates to
  72. > 
  73. > q^2 * exp(-c * q) * [ ({(i+1) - (i+0.5)}^2) - ({i - (i+0.5)}^2) ]
  74. > 
  75. > which, if I didn't make any algebra errors, is zero.
  76. > 
  77. > -----
  78. > Brian C. Smith                arpa:  bsmith@cs.Berkeley.EDU
  79. > University of California, Berkeley    uucp: uunet!ucbvax!postgres!bsmith
  80. > Computer Sciences Department        phone: (510)642-9585
  81.  
  82. ===>I run mathcad symbolic evaluate,comes out as follow,
  83.  
  84.   (.25)
  85.   (---) *(i+1)*exp(-1*c*(i+1)*q)*(4*q*c+8+q*q*c*c)
  86.   (c^2)
  87.  
  88.   -.25*exp(-1*c*(i+1)*q)*[4*c+2*q*c^2]/c^3
  89.  
  90.   -(.25)
  91.    (---)*(i)*exp(-1*c*(i)*q)*(-4*q*c+q*q*c*c+8)
  92.    (c^2)
  93.  
  94.   +.25*exp(-1*c*i*q) * [-4*c+2*q*c^2]/c^3
  95.  
  96.  
  97.  looks nasty allright.
  98.  
  99.  YiHUNG CHEN
  100.  Memphis State Univ.
  101.  Math. Dept.
  102.