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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / comp / compress / 3853 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-15  |  3.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!darwin.sura.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!agate!mickey.cs.berkeley.edu!bsmith
  2. From: bsmith@mickey.NoSubdomain.NoDomain (Brian Smith)
  3. Newsgroups: comp.compression
  4. Subject: Re: Math Question
  5. Date: 16 Nov 1992 03:53:00 GMT
  6. Organization: University of California, Berkeley
  7. Lines: 81
  8. Sender: bsmith@mickey (Brian Smith)
  9. Distribution: world
  10. Message-ID: <1e75usINN31v@agate.berkeley.edu>
  11. References: <24005@hacgate.SCG.HAC.COM>
  12. NNTP-Posting-Host: mickey.cs.berkeley.edu
  13.  
  14. In article <24005@hacgate.SCG.HAC.COM>, abirenbo@rigel.cel.scg.hac.com (Aaron Birenboim) writes:
  15. |> 
  16. |> While working on an optimization problem related to compression
  17. |> I bumped into the following nasty little problem :
  18. |> 
  19. |>    evaluate:
  20. |> 
  21. |>                 {           [(i+1)q                                      }
  22. |>              d  {           [                                            }
  23. |>             --- {  Integral [      (x - (i + 0.5) q)^2 * exp(-c * x) dx  }
  24. |>              dq {           [                                            }
  25. |>                 {           [i*q                                         }
  26. |> 
  27. |>   I have evaluated the integral..... and it is terribly nasty.  Even if I
  28. |> didn't goof on the evaluation, i would surely goof on the differentiation.
  29. |> 
  30. |>   c and i are constants.  I'm trying to minimize error for q.
  31. |> 
  32. |>   I seem to remember some terribly nasty formulas for handling the
  33. |> differentiation before evaluating any integral.
  34. |> 
  35. |>   I think it involved the bounds, derivitives of the bounds, the integrand
  36. |> and the derivitave of the integrand.
  37. |> 
  38. |>   My memory comes from a dim recolection of some stuff covered
  39. |> by Dr. Sawchuk at USC (southern cal) in a class on random variables
  40. |> based on the book by papoulis.  I cannot find it mentioned in papoulis...
  41. |> i think is was ONLY in Sawchuk's notes (which i cannot find).
  42. |> 
  43. |>   any advise, help, or refrences are welcome.
  44. |> 
  45. |>   If i knew the NAME of this theorem, I might be able to look it up.
  46. |> 
  47. |>      thanks in advance,
  48. |> 
  49. |> --
  50. |> Aaron Birenboim         |
  51. |> birenb@hac2arpa.hac.com |
  52. |>                         |
  53. |> H (303) 871-8271        |
  54.  
  55. I believe the following is correct (this is the result of about 2 minutes
  56. of calculation, but it seems to work).  I decided to post it so other people
  57. could check it, since I'm not perfectly confident in the answer (my calculus
  58. was a long time ago!).
  59.  
  60. Theroem:
  61.  
  62. If f(x) is a function that is analytically integrable, then
  63.  
  64.                  {           [y         }
  65.               d  {           [          }
  66.              --- {  Integral [  f(x) dx }   = f(y)
  67.               dy {           [          }
  68.                  {           [0         }
  69.  
  70. Proof:
  71.  
  72. Let g(x) be the indefinate integral of f(x).  Then, by the fundamental theorem
  73. of integral calculus, g'(x) = f(x).  Now, the definate intergral from 0 to y
  74. of f(x) is g(y) - g(0).  The derivative of this expression wrt y is g'(y) which
  75. is f(y). QED
  76.  
  77. Given this, and a few reductions, the expression
  78.  
  79.                  {           [(i+1)q                                      }
  80.               d  {           [                                            }
  81.              --- {  Integral [      (x - (i + 0.5) q)^2 * exp(-c * x) dx  }
  82.               dq {           [                                            }
  83.                  {           [i*q                                         }
  84.  
  85. evaluates to
  86.  
  87. q^2 * exp(-c * q) * [ ({(i+1) - (i+0.5)}^2) - ({i - (i+0.5)}^2) ]
  88.  
  89. which, if I didn't make any algebra errors, is zero.
  90.  
  91. -----
  92. Brian C. Smith                arpa:  bsmith@cs.Berkeley.EDU
  93. University of California, Berkeley    uucp: uunet!ucbvax!postgres!bsmith
  94. Computer Sciences Department        phone: (510)642-9585
  95.