home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ PC World 2005 December (Special) / PCWorld_2005-12_Special_cd.bin / Bezpecnost / lsti / lsti.exe / framework-2.5.exe / Complex.pm < prev    next >
Text File  |  2005-01-27  |  44KB  |  1,949 lines
  1. #
  2. # Complex numbers and associated mathematical functions
  3. # -- Raphael Manfredi    Since Sep 1996
  4. # -- Jarkko Hietaniemi    Since Mar 1997
  5. # -- Daniel S. Lewart    Since Sep 1997
  6. #
  7.  
  8. package Math::Complex;
  9.  
  10. our($VERSION, @ISA, @EXPORT, %EXPORT_TAGS, $Inf);
  11.  
  12. $VERSION = 1.34;
  13.  
  14. BEGIN {
  15.     unless ($^O eq 'unicosmk') {
  16.         my $e = $!;
  17.     # We do want an arithmetic overflow, Inf INF inf Infinity:.
  18.         undef $Inf unless eval <<'EOE' and $Inf =~ /^inf(?:inity)?$/i;
  19.       local $SIG{FPE} = sub {die};
  20.       my $t = CORE::exp 30;
  21.       $Inf = CORE::exp $t;
  22. EOE
  23.     if (!defined $Inf) {        # Try a different method
  24.       undef $Inf unless eval <<'EOE' and $Inf =~ /^inf(?:inity)?$/i;
  25.         local $SIG{FPE} = sub {die};
  26.         my $t = 1;
  27.         $Inf = $t + "1e99999999999999999999999999999999";
  28. EOE
  29.     }
  30.         $! = $e; # Clear ERANGE.
  31.     }
  32.     $Inf = "Inf" if !defined $Inf || !($Inf > 0); # Desperation.
  33. }
  34.  
  35. use strict;
  36.  
  37. my $i;
  38. my %LOGN;
  39.  
  40. # Regular expression for floating point numbers.
  41. my $gre = qr'\s*([\+\-]?(?:(?:(?:\d+(?:_\d+)*(?:\.\d*(?:_\d+)*)?|\.\d+(?:_\d+)*)(?:[eE][\+\-]?\d+(?:_\d+)*)?)))';
  42.  
  43. require Exporter;
  44.  
  45. @ISA = qw(Exporter);
  46.  
  47. my @trig = qw(
  48.           pi
  49.           tan
  50.           csc cosec sec cot cotan
  51.           asin acos atan
  52.           acsc acosec asec acot acotan
  53.           sinh cosh tanh
  54.           csch cosech sech coth cotanh
  55.           asinh acosh atanh
  56.           acsch acosech asech acoth acotanh
  57.          );
  58.  
  59. @EXPORT = (qw(
  60.          i Re Im rho theta arg
  61.          sqrt log ln
  62.          log10 logn cbrt root
  63.          cplx cplxe
  64.          ),
  65.        @trig);
  66.  
  67. %EXPORT_TAGS = (
  68.     'trig' => [@trig],
  69. );
  70.  
  71. use overload
  72.     '+'    => \&plus,
  73.     '-'    => \&minus,
  74.     '*'    => \&multiply,
  75.     '/'    => \÷,
  76.     '**'    => \&power,
  77.     '=='    => \&numeq,
  78.     '<=>'    => \&spaceship,
  79.     'neg'    => \&negate,
  80.     '~'    => \&conjugate,
  81.     'abs'    => \&abs,
  82.     'sqrt'    => \&sqrt,
  83.     'exp'    => \&exp,
  84.     'log'    => \&log,
  85.     'sin'    => \&sin,
  86.     'cos'    => \&cos,
  87.     'tan'    => \&tan,
  88.     'atan2'    => \&atan2,
  89.     qw("" stringify);
  90.  
  91. #
  92. # Package "privates"
  93. #
  94.  
  95. my %DISPLAY_FORMAT = ('style' => 'cartesian',
  96.               'polar_pretty_print' => 1);
  97. my $eps            = 1e-14;        # Epsilon
  98.  
  99. #
  100. # Object attributes (internal):
  101. #    cartesian    [real, imaginary] -- cartesian form
  102. #    polar        [rho, theta] -- polar form
  103. #    c_dirty        cartesian form not up-to-date
  104. #    p_dirty        polar form not up-to-date
  105. #    display        display format (package's global when not set)
  106. #
  107.  
  108. # Die on bad *make() arguments.
  109.  
  110. sub _cannot_make {
  111.     die "@{[(caller(1))[3]]}: Cannot take $_[0] of $_[1].\n";
  112. }
  113.  
  114. sub _remake {
  115.     my $arg = shift;
  116.     my ($made, $p, $q);
  117.  
  118.     if ($arg =~ /^(?:$gre)?$gre\s*i\s*$/) {
  119.     ($p, $q) = ($1 || 0, $2);
  120.     $made = 'cart';
  121.     } elsif ($arg =~ /^\s*\[\s*$gre\s*(?:,\s*$gre\s*)?\]\s*$/) {
  122.     ($p, $q) = ($1, $2 || 0);
  123.     $made = 'exp';
  124.     }
  125.  
  126.     if ($made) {
  127.     $p =~ s/^\+//;
  128.     $q =~ s/^\+//;
  129.     }
  130.  
  131.     return ($made, $p, $q);
  132. }
  133.  
  134. #
  135. # ->make
  136. #
  137. # Create a new complex number (cartesian form)
  138. #
  139. sub make {
  140.     my $self = bless {}, shift;
  141.     my ($re, $im) = @_;
  142.     if (@_ == 1) {
  143.         my ($remade, $p, $q) = _remake($re);
  144.         if ($remade) {
  145.         if ($remade eq 'cart') {
  146.             ($re, $im) = ($p, $q);
  147.         } else {
  148.             return (ref $self)->emake($p, $q);
  149.         }
  150.         }
  151.     }
  152.     my $rre = ref $re;
  153.     if ( $rre ) {
  154.         if ( $rre eq ref $self ) {
  155.         $re = Re($re);
  156.         } else {
  157.         _cannot_make("real part", $rre);
  158.         }
  159.     }
  160.     my $rim = ref $im;
  161.     if ( $rim ) {
  162.         if ( $rim eq ref $self ) {
  163.         $im = Im($im);
  164.         } else {
  165.         _cannot_make("imaginary part", $rim);
  166.         }
  167.     }
  168.     _cannot_make("real part",      $re) unless $re =~ /^$gre$/;
  169.     $im ||= 0;
  170.     _cannot_make("imaginary part", $im) unless $im =~ /^$gre$/;
  171.     $self->{'cartesian'} = [ $re, $im ];
  172.     $self->{c_dirty} = 0;
  173.     $self->{p_dirty} = 1;
  174.     $self->display_format('cartesian');
  175.     return $self;
  176. }
  177.  
  178. #
  179. # ->emake
  180. #
  181. # Create a new complex number (exponential form)
  182. #
  183. sub emake {
  184.     my $self = bless {}, shift;
  185.     my ($rho, $theta) = @_;
  186.     if (@_ == 1) {
  187.         my ($remade, $p, $q) = _remake($rho);
  188.         if ($remade) {
  189.         if ($remade eq 'exp') {
  190.             ($rho, $theta) = ($p, $q);
  191.         } else {
  192.             return (ref $self)->make($p, $q);
  193.         }
  194.         }
  195.     }
  196.     my $rrh = ref $rho;
  197.     if ( $rrh ) {
  198.         if ( $rrh eq ref $self ) {
  199.         $rho = rho($rho);
  200.         } else {
  201.         _cannot_make("rho", $rrh);
  202.         }
  203.     }
  204.     my $rth = ref $theta;
  205.     if ( $rth ) {
  206.         if ( $rth eq ref $self ) {
  207.         $theta = theta($theta);
  208.         } else {
  209.         _cannot_make("theta", $rth);
  210.         }
  211.     }
  212.     if ($rho < 0) {
  213.         $rho   = -$rho;
  214.         $theta = ($theta <= 0) ? $theta + pi() : $theta - pi();
  215.     }
  216.     _cannot_make("rho",   $rho)   unless $rho   =~ /^$gre$/;
  217.     $theta ||= 0;
  218.     _cannot_make("theta", $theta) unless $theta =~ /^$gre$/;
  219.     $self->{'polar'} = [$rho, $theta];
  220.     $self->{p_dirty} = 0;
  221.     $self->{c_dirty} = 1;
  222.     $self->display_format('polar');
  223.     return $self;
  224. }
  225.  
  226. sub new { &make }        # For backward compatibility only.
  227.  
  228. #
  229. # cplx
  230. #
  231. # Creates a complex number from a (re, im) tuple.
  232. # This avoids the burden of writing Math::Complex->make(re, im).
  233. #
  234. sub cplx {
  235.     return __PACKAGE__->make(@_);
  236. }
  237.  
  238. #
  239. # cplxe
  240. #
  241. # Creates a complex number from a (rho, theta) tuple.
  242. # This avoids the burden of writing Math::Complex->emake(rho, theta).
  243. #
  244. sub cplxe {
  245.     return __PACKAGE__->emake(@_);
  246. }
  247.  
  248. #
  249. # pi
  250. #
  251. # The number defined as pi = 180 degrees
  252. #
  253. sub pi () { 4 * CORE::atan2(1, 1) }
  254.  
  255. #
  256. # pit2
  257. #
  258. # The full circle
  259. #
  260. sub pit2 () { 2 * pi }
  261.  
  262. #
  263. # pip2
  264. #
  265. # The quarter circle
  266. #
  267. sub pip2 () { pi / 2 }
  268.  
  269. #
  270. # deg1
  271. #
  272. # One degree in radians, used in stringify_polar.
  273. #
  274.  
  275. sub deg1 () { pi / 180 }
  276.  
  277. #
  278. # uplog10
  279. #
  280. # Used in log10().
  281. #
  282. sub uplog10 () { 1 / CORE::log(10) }
  283.  
  284. #
  285. # i
  286. #
  287. # The number defined as i*i = -1;
  288. #
  289. sub i () {
  290.         return $i if ($i);
  291.     $i = bless {};
  292.     $i->{'cartesian'} = [0, 1];
  293.     $i->{'polar'}     = [1, pip2];
  294.     $i->{c_dirty} = 0;
  295.     $i->{p_dirty} = 0;
  296.     return $i;
  297. }
  298.  
  299. #
  300. # ip2
  301. #
  302. # Half of i.
  303. #
  304. sub ip2 () { i / 2 }
  305.  
  306. #
  307. # Attribute access/set routines
  308. #
  309.  
  310. sub cartesian {$_[0]->{c_dirty} ?
  311.            $_[0]->update_cartesian : $_[0]->{'cartesian'}}
  312. sub polar     {$_[0]->{p_dirty} ?
  313.            $_[0]->update_polar : $_[0]->{'polar'}}
  314.  
  315. sub set_cartesian { $_[0]->{p_dirty}++; $_[0]->{'cartesian'} = $_[1] }
  316. sub set_polar     { $_[0]->{c_dirty}++; $_[0]->{'polar'} = $_[1] }
  317.  
  318. #
  319. # ->update_cartesian
  320. #
  321. # Recompute and return the cartesian form, given accurate polar form.
  322. #
  323. sub update_cartesian {
  324.     my $self = shift;
  325.     my ($r, $t) = @{$self->{'polar'}};
  326.     $self->{c_dirty} = 0;
  327.     return $self->{'cartesian'} = [$r * CORE::cos($t), $r * CORE::sin($t)];
  328. }
  329.  
  330. #
  331. #
  332. # ->update_polar
  333. #
  334. # Recompute and return the polar form, given accurate cartesian form.
  335. #
  336. sub update_polar {
  337.     my $self = shift;
  338.     my ($x, $y) = @{$self->{'cartesian'}};
  339.     $self->{p_dirty} = 0;
  340.     return $self->{'polar'} = [0, 0] if $x == 0 && $y == 0;
  341.     return $self->{'polar'} = [CORE::sqrt($x*$x + $y*$y),
  342.                    CORE::atan2($y, $x)];
  343. }
  344.  
  345. #
  346. # (plus)
  347. #
  348. # Computes z1+z2.
  349. #
  350. sub plus {
  351.     my ($z1, $z2, $regular) = @_;
  352.     my ($re1, $im1) = @{$z1->cartesian};
  353.     $z2 = cplx($z2) unless ref $z2;
  354.     my ($re2, $im2) = ref $z2 ? @{$z2->cartesian} : ($z2, 0);
  355.     unless (defined $regular) {
  356.         $z1->set_cartesian([$re1 + $re2, $im1 + $im2]);
  357.         return $z1;
  358.     }
  359.     return (ref $z1)->make($re1 + $re2, $im1 + $im2);
  360. }
  361.  
  362. #
  363. # (minus)
  364. #
  365. # Computes z1-z2.
  366. #
  367. sub minus {
  368.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  369.     my ($re1, $im1) = @{$z1->cartesian};
  370.     $z2 = cplx($z2) unless ref $z2;
  371.     my ($re2, $im2) = @{$z2->cartesian};
  372.     unless (defined $inverted) {
  373.         $z1->set_cartesian([$re1 - $re2, $im1 - $im2]);
  374.         return $z1;
  375.     }
  376.     return $inverted ?
  377.         (ref $z1)->make($re2 - $re1, $im2 - $im1) :
  378.         (ref $z1)->make($re1 - $re2, $im1 - $im2);
  379.  
  380. }
  381.  
  382. #
  383. # (multiply)
  384. #
  385. # Computes z1*z2.
  386. #
  387. sub multiply {
  388.         my ($z1, $z2, $regular) = @_;
  389.     if ($z1->{p_dirty} == 0 and ref $z2 and $z2->{p_dirty} == 0) {
  390.         # if both polar better use polar to avoid rounding errors
  391.         my ($r1, $t1) = @{$z1->polar};
  392.         my ($r2, $t2) = @{$z2->polar};
  393.         my $t = $t1 + $t2;
  394.         if    ($t >   pi()) { $t -= pit2 }
  395.         elsif ($t <= -pi()) { $t += pit2 }
  396.         unless (defined $regular) {
  397.         $z1->set_polar([$r1 * $r2, $t]);
  398.         return $z1;
  399.         }
  400.         return (ref $z1)->emake($r1 * $r2, $t);
  401.     } else {
  402.         my ($x1, $y1) = @{$z1->cartesian};
  403.         if (ref $z2) {
  404.         my ($x2, $y2) = @{$z2->cartesian};
  405.         return (ref $z1)->make($x1*$x2-$y1*$y2, $x1*$y2+$y1*$x2);
  406.         } else {
  407.         return (ref $z1)->make($x1*$z2, $y1*$z2);
  408.         }
  409.     }
  410. }
  411.  
  412. #
  413. # _divbyzero
  414. #
  415. # Die on division by zero.
  416. #
  417. sub _divbyzero {
  418.     my $mess = "$_[0]: Division by zero.\n";
  419.  
  420.     if (defined $_[1]) {
  421.     $mess .= "(Because in the definition of $_[0], the divisor ";
  422.     $mess .= "$_[1] " unless ("$_[1]" eq '0');
  423.     $mess .= "is 0)\n";
  424.     }
  425.  
  426.     my @up = caller(1);
  427.  
  428.     $mess .= "Died at $up[1] line $up[2].\n";
  429.  
  430.     die $mess;
  431. }
  432.  
  433. #
  434. # (divide)
  435. #
  436. # Computes z1/z2.
  437. #
  438. sub divide {
  439.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  440.     if ($z1->{p_dirty} == 0 and ref $z2 and $z2->{p_dirty} == 0) {
  441.         # if both polar better use polar to avoid rounding errors
  442.         my ($r1, $t1) = @{$z1->polar};
  443.         my ($r2, $t2) = @{$z2->polar};
  444.         my $t;
  445.         if ($inverted) {
  446.         _divbyzero "$z2/0" if ($r1 == 0);
  447.         $t = $t2 - $t1;
  448.         if    ($t >   pi()) { $t -= pit2 }
  449.         elsif ($t <= -pi()) { $t += pit2 }
  450.         return (ref $z1)->emake($r2 / $r1, $t);
  451.         } else {
  452.         _divbyzero "$z1/0" if ($r2 == 0);
  453.         $t = $t1 - $t2;
  454.         if    ($t >   pi()) { $t -= pit2 }
  455.         elsif ($t <= -pi()) { $t += pit2 }
  456.         return (ref $z1)->emake($r1 / $r2, $t);
  457.         }
  458.     } else {
  459.         my ($d, $x2, $y2);
  460.         if ($inverted) {
  461.         ($x2, $y2) = @{$z1->cartesian};
  462.         $d = $x2*$x2 + $y2*$y2;
  463.         _divbyzero "$z2/0" if $d == 0;
  464.         return (ref $z1)->make(($x2*$z2)/$d, -($y2*$z2)/$d);
  465.         } else {
  466.         my ($x1, $y1) = @{$z1->cartesian};
  467.         if (ref $z2) {
  468.             ($x2, $y2) = @{$z2->cartesian};
  469.             $d = $x2*$x2 + $y2*$y2;
  470.             _divbyzero "$z1/0" if $d == 0;
  471.             my $u = ($x1*$x2 + $y1*$y2)/$d;
  472.             my $v = ($y1*$x2 - $x1*$y2)/$d;
  473.             return (ref $z1)->make($u, $v);
  474.         } else {
  475.             _divbyzero "$z1/0" if $z2 == 0;
  476.             return (ref $z1)->make($x1/$z2, $y1/$z2);
  477.         }
  478.         }
  479.     }
  480. }
  481.  
  482. #
  483. # (power)
  484. #
  485. # Computes z1**z2 = exp(z2 * log z1)).
  486. #
  487. sub power {
  488.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  489.     if ($inverted) {
  490.         return 1 if $z1 == 0 || $z2 == 1;
  491.         return 0 if $z2 == 0 && Re($z1) > 0;
  492.     } else {
  493.         return 1 if $z2 == 0 || $z1 == 1;
  494.         return 0 if $z1 == 0 && Re($z2) > 0;
  495.     }
  496.     my $w = $inverted ? &exp($z1 * &log($z2))
  497.                       : &exp($z2 * &log($z1));
  498.     # If both arguments cartesian, return cartesian, else polar.
  499.     return $z1->{c_dirty} == 0 &&
  500.            (not ref $z2 or $z2->{c_dirty} == 0) ?
  501.            cplx(@{$w->cartesian}) : $w;
  502. }
  503.  
  504. #
  505. # (spaceship)
  506. #
  507. # Computes z1 <=> z2.
  508. # Sorts on the real part first, then on the imaginary part. Thus 2-4i < 3+8i.
  509. #
  510. sub spaceship {
  511.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  512.     my ($re1, $im1) = ref $z1 ? @{$z1->cartesian} : ($z1, 0);
  513.     my ($re2, $im2) = ref $z2 ? @{$z2->cartesian} : ($z2, 0);
  514.     my $sgn = $inverted ? -1 : 1;
  515.     return $sgn * ($re1 <=> $re2) if $re1 != $re2;
  516.     return $sgn * ($im1 <=> $im2);
  517. }
  518.  
  519. #
  520. # (numeq)
  521. #
  522. # Computes z1 == z2.
  523. #
  524. # (Required in addition to spaceship() because of NaNs.)
  525. sub numeq {
  526.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  527.     my ($re1, $im1) = ref $z1 ? @{$z1->cartesian} : ($z1, 0);
  528.     my ($re2, $im2) = ref $z2 ? @{$z2->cartesian} : ($z2, 0);
  529.     return $re1 == $re2 && $im1 == $im2 ? 1 : 0;
  530. }
  531.  
  532. #
  533. # (negate)
  534. #
  535. # Computes -z.
  536. #
  537. sub negate {
  538.     my ($z) = @_;
  539.     if ($z->{c_dirty}) {
  540.         my ($r, $t) = @{$z->polar};
  541.         $t = ($t <= 0) ? $t + pi : $t - pi;
  542.         return (ref $z)->emake($r, $t);
  543.     }
  544.     my ($re, $im) = @{$z->cartesian};
  545.     return (ref $z)->make(-$re, -$im);
  546. }
  547.  
  548. #
  549. # (conjugate)
  550. #
  551. # Compute complex's conjugate.
  552. #
  553. sub conjugate {
  554.     my ($z) = @_;
  555.     if ($z->{c_dirty}) {
  556.         my ($r, $t) = @{$z->polar};
  557.         return (ref $z)->emake($r, -$t);
  558.     }
  559.     my ($re, $im) = @{$z->cartesian};
  560.     return (ref $z)->make($re, -$im);
  561. }
  562.  
  563. #
  564. # (abs)
  565. #
  566. # Compute or set complex's norm (rho).
  567. #
  568. sub abs {
  569.     my ($z, $rho) = @_;
  570.     unless (ref $z) {
  571.         if (@_ == 2) {
  572.         $_[0] = $_[1];
  573.         } else {
  574.         return CORE::abs($z);
  575.         }
  576.     }
  577.     if (defined $rho) {
  578.         $z->{'polar'} = [ $rho, ${$z->polar}[1] ];
  579.         $z->{p_dirty} = 0;
  580.         $z->{c_dirty} = 1;
  581.         return $rho;
  582.     } else {
  583.         return ${$z->polar}[0];
  584.     }
  585. }
  586.  
  587. sub _theta {
  588.     my $theta = $_[0];
  589.  
  590.     if    ($$theta >   pi()) { $$theta -= pit2 }
  591.     elsif ($$theta <= -pi()) { $$theta += pit2 }
  592. }
  593.  
  594. #
  595. # arg
  596. #
  597. # Compute or set complex's argument (theta).
  598. #
  599. sub arg {
  600.     my ($z, $theta) = @_;
  601.     return $z unless ref $z;
  602.     if (defined $theta) {
  603.         _theta(\$theta);
  604.         $z->{'polar'} = [ ${$z->polar}[0], $theta ];
  605.         $z->{p_dirty} = 0;
  606.         $z->{c_dirty} = 1;
  607.     } else {
  608.         $theta = ${$z->polar}[1];
  609.         _theta(\$theta);
  610.     }
  611.     return $theta;
  612. }
  613.  
  614. #
  615. # (sqrt)
  616. #
  617. # Compute sqrt(z).
  618. #
  619. # It is quite tempting to use wantarray here so that in list context
  620. # sqrt() would return the two solutions.  This, however, would
  621. # break things like
  622. #
  623. #    print "sqrt(z) = ", sqrt($z), "\n";
  624. #
  625. # The two values would be printed side by side without no intervening
  626. # whitespace, quite confusing.
  627. # Therefore if you want the two solutions use the root().
  628. #
  629. sub sqrt {
  630.     my ($z) = @_;
  631.     my ($re, $im) = ref $z ? @{$z->cartesian} : ($z, 0);
  632.     return $re < 0 ? cplx(0, CORE::sqrt(-$re)) : CORE::sqrt($re)
  633.         if $im == 0;
  634.     my ($r, $t) = @{$z->polar};
  635.     return (ref $z)->emake(CORE::sqrt($r), $t/2);
  636. }
  637.  
  638. #
  639. # cbrt
  640. #
  641. # Compute cbrt(z) (cubic root).
  642. #
  643. # Why are we not returning three values?  The same answer as for sqrt().
  644. #
  645. sub cbrt {
  646.     my ($z) = @_;
  647.     return $z < 0 ?
  648.         -CORE::exp(CORE::log(-$z)/3) :
  649.         ($z > 0 ? CORE::exp(CORE::log($z)/3): 0)
  650.         unless ref $z;
  651.     my ($r, $t) = @{$z->polar};
  652.     return 0 if $r == 0;
  653.     return (ref $z)->emake(CORE::exp(CORE::log($r)/3), $t/3);
  654. }
  655.  
  656. #
  657. # _rootbad
  658. #
  659. # Die on bad root.
  660. #
  661. sub _rootbad {
  662.     my $mess = "Root $_[0] illegal, root rank must be positive integer.\n";
  663.  
  664.     my @up = caller(1);
  665.  
  666.     $mess .= "Died at $up[1] line $up[2].\n";
  667.  
  668.     die $mess;
  669. }
  670.  
  671. #
  672. # root
  673. #
  674. # Computes all nth root for z, returning an array whose size is n.
  675. # `n' must be a positive integer.
  676. #
  677. # The roots are given by (for k = 0..n-1):
  678. #
  679. # z^(1/n) = r^(1/n) (cos ((t+2 k pi)/n) + i sin ((t+2 k pi)/n))
  680. #
  681. sub root {
  682.     my ($z, $n) = @_;
  683.     _rootbad($n) if ($n < 1 or int($n) != $n);
  684.     my ($r, $t) = ref $z ?
  685.         @{$z->polar} : (CORE::abs($z), $z >= 0 ? 0 : pi);
  686.     my @root;
  687.     my $k;
  688.     my $theta_inc = pit2 / $n;
  689.     my $rho = $r ** (1/$n);
  690.     my $theta;
  691.     my $cartesian = ref $z && $z->{c_dirty} == 0;
  692.     for ($k = 0, $theta = $t / $n; $k < $n; $k++, $theta += $theta_inc) {
  693.         my $w = cplxe($rho, $theta);
  694.         # Yes, $cartesian is loop invariant.
  695.         push @root, $cartesian ? cplx(@{$w->cartesian}) : $w;
  696.     }
  697.     return @root;
  698. }
  699.  
  700. #
  701. # Re
  702. #
  703. # Return or set Re(z).
  704. #
  705. sub Re {
  706.     my ($z, $Re) = @_;
  707.     return $z unless ref $z;
  708.     if (defined $Re) {
  709.         $z->{'cartesian'} = [ $Re, ${$z->cartesian}[1] ];
  710.         $z->{c_dirty} = 0;
  711.         $z->{p_dirty} = 1;
  712.     } else {
  713.         return ${$z->cartesian}[0];
  714.     }
  715. }
  716.  
  717. #
  718. # Im
  719. #
  720. # Return or set Im(z).
  721. #
  722. sub Im {
  723.     my ($z, $Im) = @_;
  724.     return 0 unless ref $z;
  725.     if (defined $Im) {
  726.         $z->{'cartesian'} = [ ${$z->cartesian}[0], $Im ];
  727.         $z->{c_dirty} = 0;
  728.         $z->{p_dirty} = 1;
  729.     } else {
  730.         return ${$z->cartesian}[1];
  731.     }
  732. }
  733.  
  734. #
  735. # rho
  736. #
  737. # Return or set rho(w).
  738. #
  739. sub rho {
  740.     Math::Complex::abs(@_);
  741. }
  742.  
  743. #
  744. # theta
  745. #
  746. # Return or set theta(w).
  747. #
  748. sub theta {
  749.     Math::Complex::arg(@_);
  750. }
  751.  
  752. #
  753. # (exp)
  754. #
  755. # Computes exp(z).
  756. #
  757. sub exp {
  758.     my ($z) = @_;
  759.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  760.     return (ref $z)->emake(CORE::exp($x), $y);
  761. }
  762.  
  763. #
  764. # _logofzero
  765. #
  766. # Die on logarithm of zero.
  767. #
  768. sub _logofzero {
  769.     my $mess = "$_[0]: Logarithm of zero.\n";
  770.  
  771.     if (defined $_[1]) {
  772.     $mess .= "(Because in the definition of $_[0], the argument ";
  773.     $mess .= "$_[1] " unless ($_[1] eq '0');
  774.     $mess .= "is 0)\n";
  775.     }
  776.  
  777.     my @up = caller(1);
  778.  
  779.     $mess .= "Died at $up[1] line $up[2].\n";
  780.  
  781.     die $mess;
  782. }
  783.  
  784. #
  785. # (log)
  786. #
  787. # Compute log(z).
  788. #
  789. sub log {
  790.     my ($z) = @_;
  791.     unless (ref $z) {
  792.         _logofzero("log") if $z == 0;
  793.         return $z > 0 ? CORE::log($z) : cplx(CORE::log(-$z), pi);
  794.     }
  795.     my ($r, $t) = @{$z->polar};
  796.     _logofzero("log") if $r == 0;
  797.     if    ($t >   pi()) { $t -= pit2 }
  798.     elsif ($t <= -pi()) { $t += pit2 }
  799.     return (ref $z)->make(CORE::log($r), $t);
  800. }
  801.  
  802. #
  803. # ln
  804. #
  805. # Alias for log().
  806. #
  807. sub ln { Math::Complex::log(@_) }
  808.  
  809. #
  810. # log10
  811. #
  812. # Compute log10(z).
  813. #
  814.  
  815. sub log10 {
  816.     return Math::Complex::log($_[0]) * uplog10;
  817. }
  818.  
  819. #
  820. # logn
  821. #
  822. # Compute logn(z,n) = log(z) / log(n)
  823. #
  824. sub logn {
  825.     my ($z, $n) = @_;
  826.     $z = cplx($z, 0) unless ref $z;
  827.     my $logn = $LOGN{$n};
  828.     $logn = $LOGN{$n} = CORE::log($n) unless defined $logn;    # Cache log(n)
  829.     return &log($z) / $logn;
  830. }
  831.  
  832. #
  833. # (cos)
  834. #
  835. # Compute cos(z) = (exp(iz) + exp(-iz))/2.
  836. #
  837. sub cos {
  838.     my ($z) = @_;
  839.     return CORE::cos($z) unless ref $z;
  840.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  841.     my $ey = CORE::exp($y);
  842.     my $sx = CORE::sin($x);
  843.     my $cx = CORE::cos($x);
  844.     my $ey_1 = $ey ? 1 / $ey : $Inf;
  845.     return (ref $z)->make($cx * ($ey + $ey_1)/2,
  846.                   $sx * ($ey_1 - $ey)/2);
  847. }
  848.  
  849. #
  850. # (sin)
  851. #
  852. # Compute sin(z) = (exp(iz) - exp(-iz))/2.
  853. #
  854. sub sin {
  855.     my ($z) = @_;
  856.     return CORE::sin($z) unless ref $z;
  857.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  858.     my $ey = CORE::exp($y);
  859.     my $sx = CORE::sin($x);
  860.     my $cx = CORE::cos($x);
  861.     my $ey_1 = $ey ? 1 / $ey : $Inf;
  862.     return (ref $z)->make($sx * ($ey + $ey_1)/2,
  863.                   $cx * ($ey - $ey_1)/2);
  864. }
  865.  
  866. #
  867. # tan
  868. #
  869. # Compute tan(z) = sin(z) / cos(z).
  870. #
  871. sub tan {
  872.     my ($z) = @_;
  873.     my $cz = &cos($z);
  874.     _divbyzero "tan($z)", "cos($z)" if $cz == 0;
  875.     return &sin($z) / $cz;
  876. }
  877.  
  878. #
  879. # sec
  880. #
  881. # Computes the secant sec(z) = 1 / cos(z).
  882. #
  883. sub sec {
  884.     my ($z) = @_;
  885.     my $cz = &cos($z);
  886.     _divbyzero "sec($z)", "cos($z)" if ($cz == 0);
  887.     return 1 / $cz;
  888. }
  889.  
  890. #
  891. # csc
  892. #
  893. # Computes the cosecant csc(z) = 1 / sin(z).
  894. #
  895. sub csc {
  896.     my ($z) = @_;
  897.     my $sz = &sin($z);
  898.     _divbyzero "csc($z)", "sin($z)" if ($sz == 0);
  899.     return 1 / $sz;
  900. }
  901.  
  902. #
  903. # cosec
  904. #
  905. # Alias for csc().
  906. #
  907. sub cosec { Math::Complex::csc(@_) }
  908.  
  909. #
  910. # cot
  911. #
  912. # Computes cot(z) = cos(z) / sin(z).
  913. #
  914. sub cot {
  915.     my ($z) = @_;
  916.     my $sz = &sin($z);
  917.     _divbyzero "cot($z)", "sin($z)" if ($sz == 0);
  918.     return &cos($z) / $sz;
  919. }
  920.  
  921. #
  922. # cotan
  923. #
  924. # Alias for cot().
  925. #
  926. sub cotan { Math::Complex::cot(@_) }
  927.  
  928. #
  929. # acos
  930. #
  931. # Computes the arc cosine acos(z) = -i log(z + sqrt(z*z-1)).
  932. #
  933. sub acos {
  934.     my $z = $_[0];
  935.     return CORE::atan2(CORE::sqrt(1-$z*$z), $z)
  936.         if (! ref $z) && CORE::abs($z) <= 1;
  937.     $z = cplx($z, 0) unless ref $z;
  938.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  939.     return 0 if $x == 1 && $y == 0;
  940.     my $t1 = CORE::sqrt(($x+1)*($x+1) + $y*$y);
  941.     my $t2 = CORE::sqrt(($x-1)*($x-1) + $y*$y);
  942.     my $alpha = ($t1 + $t2)/2;
  943.     my $beta  = ($t1 - $t2)/2;
  944.     $alpha = 1 if $alpha < 1;
  945.     if    ($beta >  1) { $beta =  1 }
  946.     elsif ($beta < -1) { $beta = -1 }
  947.     my $u = CORE::atan2(CORE::sqrt(1-$beta*$beta), $beta);
  948.     my $v = CORE::log($alpha + CORE::sqrt($alpha*$alpha-1));
  949.     $v = -$v if $y > 0 || ($y == 0 && $x < -1);
  950.     return (ref $z)->make($u, $v);
  951. }
  952.  
  953. #
  954. # asin
  955. #
  956. # Computes the arc sine asin(z) = -i log(iz + sqrt(1-z*z)).
  957. #
  958. sub asin {
  959.     my $z = $_[0];
  960.     return CORE::atan2($z, CORE::sqrt(1-$z*$z))
  961.         if (! ref $z) && CORE::abs($z) <= 1;
  962.     $z = cplx($z, 0) unless ref $z;
  963.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  964.     return 0 if $x == 0 && $y == 0;
  965.     my $t1 = CORE::sqrt(($x+1)*($x+1) + $y*$y);
  966.     my $t2 = CORE::sqrt(($x-1)*($x-1) + $y*$y);
  967.     my $alpha = ($t1 + $t2)/2;
  968.     my $beta  = ($t1 - $t2)/2;
  969.     $alpha = 1 if $alpha < 1;
  970.     if    ($beta >  1) { $beta =  1 }
  971.     elsif ($beta < -1) { $beta = -1 }
  972.     my $u =  CORE::atan2($beta, CORE::sqrt(1-$beta*$beta));
  973.     my $v = -CORE::log($alpha + CORE::sqrt($alpha*$alpha-1));
  974.     $v = -$v if $y > 0 || ($y == 0 && $x < -1);
  975.     return (ref $z)->make($u, $v);
  976. }
  977.  
  978. #
  979. # atan
  980. #
  981. # Computes the arc tangent atan(z) = i/2 log((i+z) / (i-z)).
  982. #
  983. sub atan {
  984.     my ($z) = @_;
  985.     return CORE::atan2($z, 1) unless ref $z;
  986.     my ($x, $y) = ref $z ? @{$z->cartesian} : ($z, 0);
  987.     return 0 if $x == 0 && $y == 0;
  988.     _divbyzero "atan(i)"  if ( $z == i);
  989.     _logofzero "atan(-i)" if (-$z == i); # -i is a bad file test...
  990.     my $log = &log((i + $z) / (i - $z));
  991.     return ip2 * $log;
  992. }
  993.  
  994. #
  995. # asec
  996. #
  997. # Computes the arc secant asec(z) = acos(1 / z).
  998. #
  999. sub asec {
  1000.     my ($z) = @_;
  1001.     _divbyzero "asec($z)", $z if ($z == 0);
  1002.     return acos(1 / $z);
  1003. }
  1004.  
  1005. #
  1006. # acsc
  1007. #
  1008. # Computes the arc cosecant acsc(z) = asin(1 / z).
  1009. #
  1010. sub acsc {
  1011.     my ($z) = @_;
  1012.     _divbyzero "acsc($z)", $z if ($z == 0);
  1013.     return asin(1 / $z);
  1014. }
  1015.  
  1016. #
  1017. # acosec
  1018. #
  1019. # Alias for acsc().
  1020. #
  1021. sub acosec { Math::Complex::acsc(@_) }
  1022.  
  1023. #
  1024. # acot
  1025. #
  1026. # Computes the arc cotangent acot(z) = atan(1 / z)
  1027. #
  1028. sub acot {
  1029.     my ($z) = @_;
  1030.     _divbyzero "acot(0)"  if $z == 0;
  1031.     return ($z >= 0) ? CORE::atan2(1, $z) : CORE::atan2(-1, -$z)
  1032.         unless ref $z;
  1033.     _divbyzero "acot(i)"  if ($z - i == 0);
  1034.     _logofzero "acot(-i)" if ($z + i == 0);
  1035.     return atan(1 / $z);
  1036. }
  1037.  
  1038. #
  1039. # acotan
  1040. #
  1041. # Alias for acot().
  1042. #
  1043. sub acotan { Math::Complex::acot(@_) }
  1044.  
  1045. #
  1046. # cosh
  1047. #
  1048. # Computes the hyperbolic cosine cosh(z) = (exp(z) + exp(-z))/2.
  1049. #
  1050. sub cosh {
  1051.     my ($z) = @_;
  1052.     my $ex;
  1053.     unless (ref $z) {
  1054.         $ex = CORE::exp($z);
  1055.         return $ex ? ($ex + 1/$ex)/2 : $Inf;
  1056.     }
  1057.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  1058.     $ex = CORE::exp($x);
  1059.     my $ex_1 = $ex ? 1 / $ex : $Inf;
  1060.     return (ref $z)->make(CORE::cos($y) * ($ex + $ex_1)/2,
  1061.                   CORE::sin($y) * ($ex - $ex_1)/2);
  1062. }
  1063.  
  1064. #
  1065. # sinh
  1066. #
  1067. # Computes the hyperbolic sine sinh(z) = (exp(z) - exp(-z))/2.
  1068. #
  1069. sub sinh {
  1070.     my ($z) = @_;
  1071.     my $ex;
  1072.     unless (ref $z) {
  1073.         return 0 if $z == 0;
  1074.         $ex = CORE::exp($z);
  1075.         return $ex ? ($ex - 1/$ex)/2 : "-$Inf";
  1076.     }
  1077.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  1078.     my $cy = CORE::cos($y);
  1079.     my $sy = CORE::sin($y);
  1080.     $ex = CORE::exp($x);
  1081.     my $ex_1 = $ex ? 1 / $ex : $Inf;
  1082.     return (ref $z)->make(CORE::cos($y) * ($ex - $ex_1)/2,
  1083.                   CORE::sin($y) * ($ex + $ex_1)/2);
  1084. }
  1085.  
  1086. #
  1087. # tanh
  1088. #
  1089. # Computes the hyperbolic tangent tanh(z) = sinh(z) / cosh(z).
  1090. #
  1091. sub tanh {
  1092.     my ($z) = @_;
  1093.     my $cz = cosh($z);
  1094.     _divbyzero "tanh($z)", "cosh($z)" if ($cz == 0);
  1095.     return sinh($z) / $cz;
  1096. }
  1097.  
  1098. #
  1099. # sech
  1100. #
  1101. # Computes the hyperbolic secant sech(z) = 1 / cosh(z).
  1102. #
  1103. sub sech {
  1104.     my ($z) = @_;
  1105.     my $cz = cosh($z);
  1106.     _divbyzero "sech($z)", "cosh($z)" if ($cz == 0);
  1107.     return 1 / $cz;
  1108. }
  1109.  
  1110. #
  1111. # csch
  1112. #
  1113. # Computes the hyperbolic cosecant csch(z) = 1 / sinh(z).
  1114. #
  1115. sub csch {
  1116.     my ($z) = @_;
  1117.     my $sz = sinh($z);
  1118.     _divbyzero "csch($z)", "sinh($z)" if ($sz == 0);
  1119.     return 1 / $sz;
  1120. }
  1121.  
  1122. #
  1123. # cosech
  1124. #
  1125. # Alias for csch().
  1126. #
  1127. sub cosech { Math::Complex::csch(@_) }
  1128.  
  1129. #
  1130. # coth
  1131. #
  1132. # Computes the hyperbolic cotangent coth(z) = cosh(z) / sinh(z).
  1133. #
  1134. sub coth {
  1135.     my ($z) = @_;
  1136.     my $sz = sinh($z);
  1137.     _divbyzero "coth($z)", "sinh($z)" if $sz == 0;
  1138.     return cosh($z) / $sz;
  1139. }
  1140.  
  1141. #
  1142. # cotanh
  1143. #
  1144. # Alias for coth().
  1145. #
  1146. sub cotanh { Math::Complex::coth(@_) }
  1147.  
  1148. #
  1149. # acosh
  1150. #
  1151. # Computes the arc hyperbolic cosine acosh(z) = log(z + sqrt(z*z-1)).
  1152. #
  1153. sub acosh {
  1154.     my ($z) = @_;
  1155.     unless (ref $z) {
  1156.         $z = cplx($z, 0);
  1157.     }
  1158.     my ($re, $im) = @{$z->cartesian};
  1159.     if ($im == 0) {
  1160.         return CORE::log($re + CORE::sqrt($re*$re - 1))
  1161.         if $re >= 1;
  1162.         return cplx(0, CORE::atan2(CORE::sqrt(1 - $re*$re), $re))
  1163.         if CORE::abs($re) < 1;
  1164.     }
  1165.     my $t = &sqrt($z * $z - 1) + $z;
  1166.     # Try Taylor if looking bad (this usually means that
  1167.     # $z was large negative, therefore the sqrt is really
  1168.     # close to abs(z), summing that with z...)
  1169.     $t = 1/(2 * $z) - 1/(8 * $z**3) + 1/(16 * $z**5) - 5/(128 * $z**7)
  1170.         if $t == 0;
  1171.     my $u = &log($t);
  1172.     $u->Im(-$u->Im) if $re < 0 && $im == 0;
  1173.     return $re < 0 ? -$u : $u;
  1174. }
  1175.  
  1176. #
  1177. # asinh
  1178. #
  1179. # Computes the arc hyperbolic sine asinh(z) = log(z + sqrt(z*z+1))
  1180. #
  1181. sub asinh {
  1182.     my ($z) = @_;
  1183.     unless (ref $z) {
  1184.         my $t = $z + CORE::sqrt($z*$z + 1);
  1185.         return CORE::log($t) if $t;
  1186.     }
  1187.     my $t = &sqrt($z * $z + 1) + $z;
  1188.     # Try Taylor if looking bad (this usually means that
  1189.     # $z was large negative, therefore the sqrt is really
  1190.     # close to abs(z), summing that with z...)
  1191.     $t = 1/(2 * $z) - 1/(8 * $z**3) + 1/(16 * $z**5) - 5/(128 * $z**7)
  1192.         if $t == 0;
  1193.     return &log($t);
  1194. }
  1195.  
  1196. #
  1197. # atanh
  1198. #
  1199. # Computes the arc hyperbolic tangent atanh(z) = 1/2 log((1+z) / (1-z)).
  1200. #
  1201. sub atanh {
  1202.     my ($z) = @_;
  1203.     unless (ref $z) {
  1204.         return CORE::log((1 + $z)/(1 - $z))/2 if CORE::abs($z) < 1;
  1205.         $z = cplx($z, 0);
  1206.     }
  1207.     _divbyzero 'atanh(1)',  "1 - $z" if (1 - $z == 0);
  1208.     _logofzero 'atanh(-1)'           if (1 + $z == 0);
  1209.     return 0.5 * &log((1 + $z) / (1 - $z));
  1210. }
  1211.  
  1212. #
  1213. # asech
  1214. #
  1215. # Computes the hyperbolic arc secant asech(z) = acosh(1 / z).
  1216. #
  1217. sub asech {
  1218.     my ($z) = @_;
  1219.     _divbyzero 'asech(0)', "$z" if ($z == 0);
  1220.     return acosh(1 / $z);
  1221. }
  1222.  
  1223. #
  1224. # acsch
  1225. #
  1226. # Computes the hyperbolic arc cosecant acsch(z) = asinh(1 / z).
  1227. #
  1228. sub acsch {
  1229.     my ($z) = @_;
  1230.     _divbyzero 'acsch(0)', $z if ($z == 0);
  1231.     return asinh(1 / $z);
  1232. }
  1233.  
  1234. #
  1235. # acosech
  1236. #
  1237. # Alias for acosh().
  1238. #
  1239. sub acosech { Math::Complex::acsch(@_) }
  1240.  
  1241. #
  1242. # acoth
  1243. #
  1244. # Computes the arc hyperbolic cotangent acoth(z) = 1/2 log((1+z) / (z-1)).
  1245. #
  1246. sub acoth {
  1247.     my ($z) = @_;
  1248.     _divbyzero 'acoth(0)'            if ($z == 0);
  1249.     unless (ref $z) {
  1250.         return CORE::log(($z + 1)/($z - 1))/2 if CORE::abs($z) > 1;
  1251.         $z = cplx($z, 0);
  1252.     }
  1253.     _divbyzero 'acoth(1)',  "$z - 1" if ($z - 1 == 0);
  1254.     _logofzero 'acoth(-1)', "1 + $z" if (1 + $z == 0);
  1255.     return &log((1 + $z) / ($z - 1)) / 2;
  1256. }
  1257.  
  1258. #
  1259. # acotanh
  1260. #
  1261. # Alias for acot().
  1262. #
  1263. sub acotanh { Math::Complex::acoth(@_) }
  1264.  
  1265. #
  1266. # (atan2)
  1267. #
  1268. # Compute atan(z1/z2).
  1269. #
  1270. sub atan2 {
  1271.     my ($z1, $z2, $inverted) = @_;
  1272.     my ($re1, $im1, $re2, $im2);
  1273.     if ($inverted) {
  1274.         ($re1, $im1) = ref $z2 ? @{$z2->cartesian} : ($z2, 0);
  1275.         ($re2, $im2) = @{$z1->cartesian};
  1276.     } else {
  1277.         ($re1, $im1) = @{$z1->cartesian};
  1278.         ($re2, $im2) = ref $z2 ? @{$z2->cartesian} : ($z2, 0);
  1279.     }
  1280.     if ($im2 == 0) {
  1281.         return CORE::atan2($re1, $re2) if $im1 == 0;
  1282.         return ($im1<=>0) * pip2 if $re2 == 0;
  1283.     }
  1284.     my $w = atan($z1/$z2);
  1285.     my ($u, $v) = ref $w ? @{$w->cartesian} : ($w, 0);
  1286.     $u += pi   if $re2 < 0;
  1287.     $u -= pit2 if $u > pi;
  1288.     return cplx($u, $v);
  1289. }
  1290.  
  1291. #
  1292. # display_format
  1293. # ->display_format
  1294. #
  1295. # Set (get if no argument) the display format for all complex numbers that
  1296. # don't happen to have overridden it via ->display_format
  1297. #
  1298. # When called as an object method, this actually sets the display format for
  1299. # the current object.
  1300. #
  1301. # Valid object formats are 'c' and 'p' for cartesian and polar. The first
  1302. # letter is used actually, so the type can be fully spelled out for clarity.
  1303. #
  1304. sub display_format {
  1305.     my $self  = shift;
  1306.     my %display_format = %DISPLAY_FORMAT;
  1307.  
  1308.     if (ref $self) {            # Called as an object method
  1309.         if (exists $self->{display_format}) {
  1310.         my %obj = %{$self->{display_format}};
  1311.         @display_format{keys %obj} = values %obj;
  1312.         }
  1313.     }
  1314.     if (@_ == 1) {
  1315.         $display_format{style} = shift;
  1316.     } else {
  1317.         my %new = @_;
  1318.         @display_format{keys %new} = values %new;
  1319.     }
  1320.  
  1321.     if (ref $self) { # Called as an object method
  1322.         $self->{display_format} = { %display_format };
  1323.         return
  1324.         wantarray ?
  1325.             %{$self->{display_format}} :
  1326.             $self->{display_format}->{style};
  1327.     }
  1328.  
  1329.         # Called as a class method
  1330.     %DISPLAY_FORMAT = %display_format;
  1331.     return
  1332.         wantarray ?
  1333.         %DISPLAY_FORMAT :
  1334.             $DISPLAY_FORMAT{style};
  1335. }
  1336.  
  1337. #
  1338. # (stringify)
  1339. #
  1340. # Show nicely formatted complex number under its cartesian or polar form,
  1341. # depending on the current display format:
  1342. #
  1343. # . If a specific display format has been recorded for this object, use it.
  1344. # . Otherwise, use the generic current default for all complex numbers,
  1345. #   which is a package global variable.
  1346. #
  1347. sub stringify {
  1348.     my ($z) = shift;
  1349.  
  1350.     my $style = $z->display_format;
  1351.  
  1352.     $style = $DISPLAY_FORMAT{style} unless defined $style;
  1353.  
  1354.     return $z->stringify_polar if $style =~ /^p/i;
  1355.     return $z->stringify_cartesian;
  1356. }
  1357.  
  1358. #
  1359. # ->stringify_cartesian
  1360. #
  1361. # Stringify as a cartesian representation 'a+bi'.
  1362. #
  1363. sub stringify_cartesian {
  1364.     my $z  = shift;
  1365.     my ($x, $y) = @{$z->cartesian};
  1366.     my ($re, $im);
  1367.  
  1368.     my %format = $z->display_format;
  1369.     my $format = $format{format};
  1370.  
  1371.     if ($x) {
  1372.         if ($x =~ /^NaN[QS]?$/i) {
  1373.         $re = $x;
  1374.         } else {
  1375.         if ($x =~ /^-?$Inf$/oi) {
  1376.             $re = $x;
  1377.         } else {
  1378.             $re = defined $format ? sprintf($format, $x) : $x;
  1379.         }
  1380.         }
  1381.     } else {
  1382.         undef $re;
  1383.     }
  1384.  
  1385.     if ($y) {
  1386.         if ($y =~ /^(NaN[QS]?)$/i) {
  1387.         $im = $y;
  1388.         } else {
  1389.         if ($y =~ /^-?$Inf$/oi) {
  1390.             $im = $y;
  1391.         } else {
  1392.             $im =
  1393.             defined $format ?
  1394.                 sprintf($format, $y) :
  1395.                 ($y == 1 ? "" : ($y == -1 ? "-" : $y));
  1396.         }
  1397.         }
  1398.         $im .= "i";
  1399.     } else {
  1400.         undef $im;
  1401.     }
  1402.  
  1403.     my $str = $re;
  1404.  
  1405.     if (defined $im) {
  1406.         if ($y < 0) {
  1407.         $str .= $im;
  1408.         } elsif ($y > 0 || $im =~ /^NaN[QS]?i$/i)  {
  1409.         $str .= "+" if defined $re;
  1410.         $str .= $im;
  1411.         }
  1412.     } elsif (!defined $re) {
  1413.         $str = "0";
  1414.     }
  1415.  
  1416.     return $str;
  1417. }
  1418.  
  1419.  
  1420. #
  1421. # ->stringify_polar
  1422. #
  1423. # Stringify as a polar representation '[r,t]'.
  1424. #
  1425. sub stringify_polar {
  1426.     my $z  = shift;
  1427.     my ($r, $t) = @{$z->polar};
  1428.     my $theta;
  1429.  
  1430.     my %format = $z->display_format;
  1431.     my $format = $format{format};
  1432.  
  1433.     if ($t =~ /^NaN[QS]?$/i || $t =~ /^-?$Inf$/oi) {
  1434.         $theta = $t; 
  1435.     } elsif ($t == pi) {
  1436.         $theta = "pi";
  1437.     } elsif ($r == 0 || $t == 0) {
  1438.         $theta = defined $format ? sprintf($format, $t) : $t;
  1439.     }
  1440.  
  1441.     return "[$r,$theta]" if defined $theta;
  1442.  
  1443.     #
  1444.     # Try to identify pi/n and friends.
  1445.     #
  1446.  
  1447.     $t -= int(CORE::abs($t) / pit2) * pit2;
  1448.  
  1449.     if ($format{polar_pretty_print} && $t) {
  1450.         my ($a, $b);
  1451.         for $a (2..9) {
  1452.         $b = $t * $a / pi;
  1453.         if ($b =~ /^-?\d+$/) {
  1454.             $b = $b < 0 ? "-" : "" if CORE::abs($b) == 1;
  1455.             $theta = "${b}pi/$a";
  1456.             last;
  1457.         }
  1458.         }
  1459.     }
  1460.  
  1461.         if (defined $format) {
  1462.         $r     = sprintf($format, $r);
  1463.         $theta = sprintf($format, $theta) unless defined $theta;
  1464.     } else {
  1465.         $theta = $t unless defined $theta;
  1466.     }
  1467.  
  1468.     return "[$r,$theta]";
  1469. }
  1470.  
  1471. 1;
  1472. __END__
  1473.  
  1474. =pod
  1475.  
  1476. =head1 NAME
  1477.  
  1478. Math::Complex - complex numbers and associated mathematical functions
  1479.  
  1480. =head1 SYNOPSIS
  1481.  
  1482.     use Math::Complex;
  1483.  
  1484.     $z = Math::Complex->make(5, 6);
  1485.     $t = 4 - 3*i + $z;
  1486.     $j = cplxe(1, 2*pi/3);
  1487.  
  1488. =head1 DESCRIPTION
  1489.  
  1490. This package lets you create and manipulate complex numbers. By default,
  1491. I<Perl> limits itself to real numbers, but an extra C<use> statement brings
  1492. full complex support, along with a full set of mathematical functions
  1493. typically associated with and/or extended to complex numbers.
  1494.  
  1495. If you wonder what complex numbers are, they were invented to be able to solve
  1496. the following equation:
  1497.  
  1498.     x*x = -1
  1499.  
  1500. and by definition, the solution is noted I<i> (engineers use I<j> instead since
  1501. I<i> usually denotes an intensity, but the name does not matter). The number
  1502. I<i> is a pure I<imaginary> number.
  1503.  
  1504. The arithmetics with pure imaginary numbers works just like you would expect
  1505. it with real numbers... you just have to remember that
  1506.  
  1507.     i*i = -1
  1508.  
  1509. so you have:
  1510.  
  1511.     5i + 7i = i * (5 + 7) = 12i
  1512.     4i - 3i = i * (4 - 3) = i
  1513.     4i * 2i = -8
  1514.     6i / 2i = 3
  1515.     1 / i = -i
  1516.  
  1517. Complex numbers are numbers that have both a real part and an imaginary
  1518. part, and are usually noted:
  1519.  
  1520.     a + bi
  1521.  
  1522. where C<a> is the I<real> part and C<b> is the I<imaginary> part. The
  1523. arithmetic with complex numbers is straightforward. You have to
  1524. keep track of the real and the imaginary parts, but otherwise the
  1525. rules used for real numbers just apply:
  1526.  
  1527.     (4 + 3i) + (5 - 2i) = (4 + 5) + i(3 - 2) = 9 + i
  1528.     (2 + i) * (4 - i) = 2*4 + 4i -2i -i*i = 8 + 2i + 1 = 9 + 2i
  1529.  
  1530. A graphical representation of complex numbers is possible in a plane
  1531. (also called the I<complex plane>, but it's really a 2D plane).
  1532. The number
  1533.  
  1534.     z = a + bi
  1535.  
  1536. is the point whose coordinates are (a, b). Actually, it would
  1537. be the vector originating from (0, 0) to (a, b). It follows that the addition
  1538. of two complex numbers is a vectorial addition.
  1539.  
  1540. Since there is a bijection between a point in the 2D plane and a complex
  1541. number (i.e. the mapping is unique and reciprocal), a complex number
  1542. can also be uniquely identified with polar coordinates:
  1543.  
  1544.     [rho, theta]
  1545.  
  1546. where C<rho> is the distance to the origin, and C<theta> the angle between
  1547. the vector and the I<x> axis. There is a notation for this using the
  1548. exponential form, which is:
  1549.  
  1550.     rho * exp(i * theta)
  1551.  
  1552. where I<i> is the famous imaginary number introduced above. Conversion
  1553. between this form and the cartesian form C<a + bi> is immediate:
  1554.  
  1555.     a = rho * cos(theta)
  1556.     b = rho * sin(theta)
  1557.  
  1558. which is also expressed by this formula:
  1559.  
  1560.     z = rho * exp(i * theta) = rho * (cos theta + i * sin theta)
  1561.  
  1562. In other words, it's the projection of the vector onto the I<x> and I<y>
  1563. axes. Mathematicians call I<rho> the I<norm> or I<modulus> and I<theta>
  1564. the I<argument> of the complex number. The I<norm> of C<z> will be
  1565. noted C<abs(z)>.
  1566.  
  1567. The polar notation (also known as the trigonometric
  1568. representation) is much more handy for performing multiplications and
  1569. divisions of complex numbers, whilst the cartesian notation is better
  1570. suited for additions and subtractions. Real numbers are on the I<x>
  1571. axis, and therefore I<theta> is zero or I<pi>.
  1572.  
  1573. All the common operations that can be performed on a real number have
  1574. been defined to work on complex numbers as well, and are merely
  1575. I<extensions> of the operations defined on real numbers. This means
  1576. they keep their natural meaning when there is no imaginary part, provided
  1577. the number is within their definition set.
  1578.  
  1579. For instance, the C<sqrt> routine which computes the square root of
  1580. its argument is only defined for non-negative real numbers and yields a
  1581. non-negative real number (it is an application from B<R+> to B<R+>).
  1582. If we allow it to return a complex number, then it can be extended to
  1583. negative real numbers to become an application from B<R> to B<C> (the
  1584. set of complex numbers):
  1585.  
  1586.     sqrt(x) = x >= 0 ? sqrt(x) : sqrt(-x)*i
  1587.  
  1588. It can also be extended to be an application from B<C> to B<C>,
  1589. whilst its restriction to B<R> behaves as defined above by using
  1590. the following definition:
  1591.  
  1592.     sqrt(z = [r,t]) = sqrt(r) * exp(i * t/2)
  1593.  
  1594. Indeed, a negative real number can be noted C<[x,pi]> (the modulus
  1595. I<x> is always non-negative, so C<[x,pi]> is really C<-x>, a negative
  1596. number) and the above definition states that
  1597.  
  1598.     sqrt([x,pi]) = sqrt(x) * exp(i*pi/2) = [sqrt(x),pi/2] = sqrt(x)*i
  1599.  
  1600. which is exactly what we had defined for negative real numbers above.
  1601. The C<sqrt> returns only one of the solutions: if you want the both,
  1602. use the C<root> function.
  1603.  
  1604. All the common mathematical functions defined on real numbers that
  1605. are extended to complex numbers share that same property of working
  1606. I<as usual> when the imaginary part is zero (otherwise, it would not
  1607. be called an extension, would it?).
  1608.  
  1609. A I<new> operation possible on a complex number that is
  1610. the identity for real numbers is called the I<conjugate>, and is noted
  1611. with a horizontal bar above the number, or C<~z> here.
  1612.  
  1613.      z = a + bi
  1614.     ~z = a - bi
  1615.  
  1616. Simple... Now look:
  1617.  
  1618.     z * ~z = (a + bi) * (a - bi) = a*a + b*b
  1619.  
  1620. We saw that the norm of C<z> was noted C<abs(z)> and was defined as the
  1621. distance to the origin, also known as:
  1622.  
  1623.     rho = abs(z) = sqrt(a*a + b*b)
  1624.  
  1625. so
  1626.  
  1627.     z * ~z = abs(z) ** 2
  1628.  
  1629. If z is a pure real number (i.e. C<b == 0>), then the above yields:
  1630.  
  1631.     a * a = abs(a) ** 2
  1632.  
  1633. which is true (C<abs> has the regular meaning for real number, i.e. stands
  1634. for the absolute value). This example explains why the norm of C<z> is
  1635. noted C<abs(z)>: it extends the C<abs> function to complex numbers, yet
  1636. is the regular C<abs> we know when the complex number actually has no
  1637. imaginary part... This justifies I<a posteriori> our use of the C<abs>
  1638. notation for the norm.
  1639.  
  1640. =head1 OPERATIONS
  1641.  
  1642. Given the following notations:
  1643.  
  1644.     z1 = a + bi = r1 * exp(i * t1)
  1645.     z2 = c + di = r2 * exp(i * t2)
  1646.     z = <any complex or real number>
  1647.  
  1648. the following (overloaded) operations are supported on complex numbers:
  1649.  
  1650.     z1 + z2 = (a + c) + i(b + d)
  1651.     z1 - z2 = (a - c) + i(b - d)
  1652.     z1 * z2 = (r1 * r2) * exp(i * (t1 + t2))
  1653.     z1 / z2 = (r1 / r2) * exp(i * (t1 - t2))
  1654.     z1 ** z2 = exp(z2 * log z1)
  1655.     ~z = a - bi
  1656.     abs(z) = r1 = sqrt(a*a + b*b)
  1657.     sqrt(z) = sqrt(r1) * exp(i * t/2)
  1658.     exp(z) = exp(a) * exp(i * b)
  1659.     log(z) = log(r1) + i*t
  1660.     sin(z) = 1/2i (exp(i * z1) - exp(-i * z))
  1661.     cos(z) = 1/2 (exp(i * z1) + exp(-i * z))
  1662.     atan2(z1, z2) = atan(z1/z2)
  1663.  
  1664. The following extra operations are supported on both real and complex
  1665. numbers:
  1666.  
  1667.     Re(z) = a
  1668.     Im(z) = b
  1669.     arg(z) = t
  1670.     abs(z) = r
  1671.  
  1672.     cbrt(z) = z ** (1/3)
  1673.     log10(z) = log(z) / log(10)
  1674.     logn(z, n) = log(z) / log(n)
  1675.  
  1676.     tan(z) = sin(z) / cos(z)
  1677.  
  1678.     csc(z) = 1 / sin(z)
  1679.     sec(z) = 1 / cos(z)
  1680.     cot(z) = 1 / tan(z)
  1681.  
  1682.     asin(z) = -i * log(i*z + sqrt(1-z*z))
  1683.     acos(z) = -i * log(z + i*sqrt(1-z*z))
  1684.     atan(z) = i/2 * log((i+z) / (i-z))
  1685.  
  1686.     acsc(z) = asin(1 / z)
  1687.     asec(z) = acos(1 / z)
  1688.     acot(z) = atan(1 / z) = -i/2 * log((i+z) / (z-i))
  1689.  
  1690.     sinh(z) = 1/2 (exp(z) - exp(-z))
  1691.     cosh(z) = 1/2 (exp(z) + exp(-z))
  1692.     tanh(z) = sinh(z) / cosh(z) = (exp(z) - exp(-z)) / (exp(z) + exp(-z))
  1693.  
  1694.     csch(z) = 1 / sinh(z)
  1695.     sech(z) = 1 / cosh(z)
  1696.     coth(z) = 1 / tanh(z)
  1697.  
  1698.     asinh(z) = log(z + sqrt(z*z+1))
  1699.     acosh(z) = log(z + sqrt(z*z-1))
  1700.     atanh(z) = 1/2 * log((1+z) / (1-z))
  1701.  
  1702.     acsch(z) = asinh(1 / z)
  1703.     asech(z) = acosh(1 / z)
  1704.     acoth(z) = atanh(1 / z) = 1/2 * log((1+z) / (z-1))
  1705.  
  1706. I<arg>, I<abs>, I<log>, I<csc>, I<cot>, I<acsc>, I<acot>, I<csch>,
  1707. I<coth>, I<acosech>, I<acotanh>, have aliases I<rho>, I<theta>, I<ln>,
  1708. I<cosec>, I<cotan>, I<acosec>, I<acotan>, I<cosech>, I<cotanh>,
  1709. I<acosech>, I<acotanh>, respectively.  C<Re>, C<Im>, C<arg>, C<abs>,
  1710. C<rho>, and C<theta> can be used also as mutators.  The C<cbrt>
  1711. returns only one of the solutions: if you want all three, use the
  1712. C<root> function.
  1713.  
  1714. The I<root> function is available to compute all the I<n>
  1715. roots of some complex, where I<n> is a strictly positive integer.
  1716. There are exactly I<n> such roots, returned as a list. Getting the
  1717. number mathematicians call C<j> such that:
  1718.  
  1719.     1 + j + j*j = 0;
  1720.  
  1721. is a simple matter of writing:
  1722.  
  1723.     $j = ((root(1, 3))[1];
  1724.  
  1725. The I<k>th root for C<z = [r,t]> is given by:
  1726.  
  1727.     (root(z, n))[k] = r**(1/n) * exp(i * (t + 2*k*pi)/n)
  1728.  
  1729. The I<spaceship> comparison operator, E<lt>=E<gt>, is also defined. In
  1730. order to ensure its restriction to real numbers is conform to what you
  1731. would expect, the comparison is run on the real part of the complex
  1732. number first, and imaginary parts are compared only when the real
  1733. parts match.
  1734.  
  1735. =head1 CREATION
  1736.  
  1737. To create a complex number, use either:
  1738.  
  1739.     $z = Math::Complex->make(3, 4);
  1740.     $z = cplx(3, 4);
  1741.  
  1742. if you know the cartesian form of the number, or
  1743.  
  1744.     $z = 3 + 4*i;
  1745.  
  1746. if you like. To create a number using the polar form, use either:
  1747.  
  1748.     $z = Math::Complex->emake(5, pi/3);
  1749.     $x = cplxe(5, pi/3);
  1750.  
  1751. instead. The first argument is the modulus, the second is the angle
  1752. (in radians, the full circle is 2*pi).  (Mnemonic: C<e> is used as a
  1753. notation for complex numbers in the polar form).
  1754.  
  1755. It is possible to write:
  1756.  
  1757.     $x = cplxe(-3, pi/4);
  1758.  
  1759. but that will be silently converted into C<[3,-3pi/4]>, since the
  1760. modulus must be non-negative (it represents the distance to the origin
  1761. in the complex plane).
  1762.  
  1763. It is also possible to have a complex number as either argument of the
  1764. C<make>, C<emake>, C<cplx>, and C<cplxe>: the appropriate component of
  1765. the argument will be used.
  1766.  
  1767.     $z1 = cplx(-2,  1);
  1768.     $z2 = cplx($z1, 4);
  1769.  
  1770. The C<new>, C<make>, C<emake>, C<cplx>, and C<cplxe> will also
  1771. understand a single (string) argument of the forms
  1772.  
  1773.         2-3i
  1774.         -3i
  1775.     [2,3]
  1776.     [2]
  1777.  
  1778. in which case the appropriate cartesian and exponential components
  1779. will be parsed from the string and used to create new complex numbers.
  1780. The imaginary component and the theta, respectively, will default to zero.
  1781.  
  1782. =head1 STRINGIFICATION
  1783.  
  1784. When printed, a complex number is usually shown under its cartesian
  1785. style I<a+bi>, but there are legitimate cases where the polar style
  1786. I<[r,t]> is more appropriate.
  1787.  
  1788. By calling the class method C<Math::Complex::display_format> and
  1789. supplying either C<"polar"> or C<"cartesian"> as an argument, you
  1790. override the default display style, which is C<"cartesian">. Not
  1791. supplying any argument returns the current settings.
  1792.  
  1793. This default can be overridden on a per-number basis by calling the
  1794. C<display_format> method instead. As before, not supplying any argument
  1795. returns the current display style for this number. Otherwise whatever you
  1796. specify will be the new display style for I<this> particular number.
  1797.  
  1798. For instance:
  1799.  
  1800.     use Math::Complex;
  1801.  
  1802.     Math::Complex::display_format('polar');
  1803.     $j = (root(1, 3))[1];
  1804.     print "j = $j\n";        # Prints "j = [1,2pi/3]"
  1805.     $j->display_format('cartesian');
  1806.     print "j = $j\n";        # Prints "j = -0.5+0.866025403784439i"
  1807.  
  1808. The polar style attempts to emphasize arguments like I<k*pi/n>
  1809. (where I<n> is a positive integer and I<k> an integer within [-9, +9]),
  1810. this is called I<polar pretty-printing>.
  1811.  
  1812. =head2 CHANGED IN PERL 5.6
  1813.  
  1814. The C<display_format> class method and the corresponding
  1815. C<display_format> object method can now be called using
  1816. a parameter hash instead of just a one parameter.
  1817.  
  1818. The old display format style, which can have values C<"cartesian"> or
  1819. C<"polar">, can be changed using the C<"style"> parameter.
  1820.  
  1821.     $j->display_format(style => "polar");
  1822.  
  1823. The one parameter calling convention also still works.
  1824.  
  1825.     $j->display_format("polar");
  1826.  
  1827. There are two new display parameters.
  1828.  
  1829. The first one is C<"format">, which is a sprintf()-style format string
  1830. to be used for both numeric parts of the complex number(s).  The is
  1831. somewhat system-dependent but most often it corresponds to C<"%.15g">.
  1832. You can revert to the default by setting the C<format> to C<undef>.
  1833.  
  1834.     # the $j from the above example
  1835.  
  1836.     $j->display_format('format' => '%.5f');
  1837.     print "j = $j\n";        # Prints "j = -0.50000+0.86603i"
  1838.     $j->display_format('format' => undef);
  1839.     print "j = $j\n";        # Prints "j = -0.5+0.86603i"
  1840.  
  1841. Notice that this affects also the return values of the
  1842. C<display_format> methods: in list context the whole parameter hash
  1843. will be returned, as opposed to only the style parameter value.
  1844. This is a potential incompatibility with earlier versions if you
  1845. have been calling the C<display_format> method in list context.
  1846.  
  1847. The second new display parameter is C<"polar_pretty_print">, which can
  1848. be set to true or false, the default being true.  See the previous
  1849. section for what this means.
  1850.  
  1851. =head1 USAGE
  1852.  
  1853. Thanks to overloading, the handling of arithmetics with complex numbers
  1854. is simple and almost transparent.
  1855.  
  1856. Here are some examples:
  1857.  
  1858.     use Math::Complex;
  1859.  
  1860.     $j = cplxe(1, 2*pi/3);    # $j ** 3 == 1
  1861.     print "j = $j, j**3 = ", $j ** 3, "\n";
  1862.     print "1 + j + j**2 = ", 1 + $j + $j**2, "\n";
  1863.  
  1864.     $z = -16 + 0*i;            # Force it to be a complex
  1865.     print "sqrt($z) = ", sqrt($z), "\n";
  1866.  
  1867.     $k = exp(i * 2*pi/3);
  1868.     print "$j - $k = ", $j - $k, "\n";
  1869.  
  1870.     $z->Re(3);            # Re, Im, arg, abs,
  1871.     $j->arg(2);            # (the last two aka rho, theta)
  1872.                     # can be used also as mutators.
  1873.  
  1874. =head1 ERRORS DUE TO DIVISION BY ZERO OR LOGARITHM OF ZERO
  1875.  
  1876. The division (/) and the following functions
  1877.  
  1878.     log    ln    log10    logn
  1879.     tan    sec    csc    cot
  1880.     atan    asec    acsc    acot
  1881.     tanh    sech    csch    coth
  1882.     atanh    asech    acsch    acoth
  1883.  
  1884. cannot be computed for all arguments because that would mean dividing
  1885. by zero or taking logarithm of zero. These situations cause fatal
  1886. runtime errors looking like this
  1887.  
  1888.     cot(0): Division by zero.
  1889.     (Because in the definition of cot(0), the divisor sin(0) is 0)
  1890.     Died at ...
  1891.  
  1892. or
  1893.  
  1894.     atanh(-1): Logarithm of zero.
  1895.     Died at...
  1896.  
  1897. For the C<csc>, C<cot>, C<asec>, C<acsc>, C<acot>, C<csch>, C<coth>,
  1898. C<asech>, C<acsch>, the argument cannot be C<0> (zero).  For the
  1899. logarithmic functions and the C<atanh>, C<acoth>, the argument cannot
  1900. be C<1> (one).  For the C<atanh>, C<acoth>, the argument cannot be
  1901. C<-1> (minus one).  For the C<atan>, C<acot>, the argument cannot be
  1902. C<i> (the imaginary unit).  For the C<atan>, C<acoth>, the argument
  1903. cannot be C<-i> (the negative imaginary unit).  For the C<tan>,
  1904. C<sec>, C<tanh>, the argument cannot be I<pi/2 + k * pi>, where I<k>
  1905. is any integer.
  1906.  
  1907. Note that because we are operating on approximations of real numbers,
  1908. these errors can happen when merely `too close' to the singularities
  1909. listed above.
  1910.  
  1911. =head1 ERRORS DUE TO INDIGESTIBLE ARGUMENTS
  1912.  
  1913. The C<make> and C<emake> accept both real and complex arguments.
  1914. When they cannot recognize the arguments they will die with error
  1915. messages like the following
  1916.  
  1917.     Math::Complex::make: Cannot take real part of ...
  1918.     Math::Complex::make: Cannot take real part of ...
  1919.     Math::Complex::emake: Cannot take rho of ...
  1920.     Math::Complex::emake: Cannot take theta of ...
  1921.  
  1922. =head1 BUGS
  1923.  
  1924. Saying C<use Math::Complex;> exports many mathematical routines in the
  1925. caller environment and even overrides some (C<sqrt>, C<log>).
  1926. This is construed as a feature by the Authors, actually... ;-)
  1927.  
  1928. All routines expect to be given real or complex numbers. Don't attempt to
  1929. use BigFloat, since Perl has currently no rule to disambiguate a '+'
  1930. operation (for instance) between two overloaded entities.
  1931.  
  1932. In Cray UNICOS there is some strange numerical instability that results
  1933. in root(), cos(), sin(), cosh(), sinh(), losing accuracy fast.  Beware.
  1934. The bug may be in UNICOS math libs, in UNICOS C compiler, in Math::Complex.
  1935. Whatever it is, it does not manifest itself anywhere else where Perl runs.
  1936.  
  1937. =head1 AUTHORS
  1938.  
  1939. Daniel S. Lewart <F<d-lewart@uiuc.edu>>
  1940.  
  1941. Original authors Raphael Manfredi <F<Raphael_Manfredi@pobox.com>> and
  1942. Jarkko Hietaniemi <F<jhi@iki.fi>>
  1943.  
  1944. =cut
  1945.  
  1946. 1;
  1947.  
  1948. # eof
  1949.