/ Amiga Tools 3 / Amiga Tools 3.iso / grafik / raytracing / rayshade-4.0.6.3 / doc / guide / objects.tex

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Win98

DOS

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|00000ce0| 6f 70 70 6f 73 69 74 65 | 20 63 6f 72 6e 65 72 73 |opposite| corners|
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|00000de0| 72 61 64 69 75 73 7d 20 | 61 6e 64 20 63 65 6e 74 |radius} |and cent|
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|000019f0| 48 65 69 67 68 74 20 66 | 69 65 6c 64 20 69 6e 76 |Height f|ield inv|
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|00001b90| 7d 7d 0a 09 43 72 65 61 | 74 65 73 20 61 20 63 79 |}}..Crea|tes a cy|
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|00001c20| 20 65 6e 64 63 61 70 73 | 2e 0a 5c 65 6e 64 7b 64 | endcaps|..\end{d|
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|00001c60| 2e 20 20 54 68 65 20 24 | 75 24 20 61 78 69 73 20 |.  The $|u$ axis |
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|00001c90| 24 75 3d 30 24 20 64 65 | 70 65 6e 64 65 6e 74 20 |$u=0$ de|pendent |
|00001ca0| 75 70 6f 6e 20 74 68 65 | 20 6f 72 69 65 6e 74 61 |upon the| orienta|
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|00001cc0| 6e 64 65 72 2e 0a 0a 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 64 |nder....|\begin{d|
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|00001cf0| 65 63 7b 62 6f 74 74 6f | 6d 7d 20 24 72 61 64 5f |ec{botto|m} $rad_|
|00001d00| 7b 74 6f 70 7d 24 20 5c | 65 76 65 63 7b 74 6f 70 |{top}$ \|evec{top|
|00001d10| 7d 7d 0a 09 43 72 65 61 | 74 65 73 20 61 20 28 74 |}}..Crea|tes a (t|
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|00001d50| 6f 0a 09 5c 65 76 65 63 | 7b 74 6f 70 7d 2e 20 20 |o..\evec|{top}.  |
|00001d60| 54 68 65 20 63 6f 6e 65 | 20 77 69 6c 6c 20 68 61 |The cone| will ha|
|00001d70| 76 65 20 61 20 72 61 64 | 69 75 73 20 6f 66 20 24 |ve a rad|ius of $|
|00001d80| 72 61 64 5f 7b 62 6f 74 | 74 6f 6d 7d 24 20 61 74 |rad_{bot|tom}$ at|
|00001d90| 0a 09 5c 65 76 65 63 7b | 62 6f 74 74 6f 6d 7d 20 |..\evec{|bottom} |
|00001da0| 61 6e 64 20 61 20 72 61 | 64 69 75 73 20 6f 66 20 |and a ra|dius of |
|00001db0| 24 72 61 64 5f 7b 74 6f | 70 7d 24 20 61 74 20 5c |$rad_{to|p}$ at \|
|00001dc0| 65 76 65 63 7b 74 6f 70 | 7d 2e 0a 09 43 6f 6e 65 |evec{top|}...Cone|
|00001dd0| 73 20 61 72 65 20 72 65 | 6e 64 65 72 65 64 20 7b |s are re|ndered {|
|00001de0| 5c 65 6d 20 77 69 74 68 | 6f 75 74 7d 20 65 6e 64 |\em with|out} end|
|00001df0| 63 61 70 73 2e 0a 5c 65 | 6e 64 7b 64 65 66 70 72 |caps..\e|nd{defpr|
|00001e00| 69 6d 7d 0a 43 6f 6e 65 | 20 69 6e 76 65 72 73 65 |im}.Cone| inverse|
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|00001e30| 72 20 6d 61 70 70 69 6e | 67 2e 0a 0a 5c 62 65 67 |r mappin|g...\beg|
|00001e40| 69 6e 7b 64 65 66 70 72 | 69 6d 7d 7b 64 69 73 63 |in{defpr|im}{disc|
|00001e50| 7d 7b 7b 5c 65 6d 20 72 | 61 64 69 75 73 7d 20 5c |}{{\em r|adius} \|
|00001e60| 65 76 65 63 7b 70 6f 73 | 7d 20 5c 65 76 65 63 7b |evec{pos|} \evec{|
|00001e70| 6e 6f 72 6d 61 6c 7d 7d | 0a 09 43 72 65 61 74 65 |normal}}|..Create|
|00001e80| 73 20 61 20 64 69 73 63 | 20 63 65 6e 74 65 72 65 |s a disc| centere|
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|00001ea0| 6f 73 69 74 69 6f 6e 20 | 61 6e 64 20 77 69 74 68 |osition |and with|
|00001eb0| 20 74 68 65 0a 09 69 6e | 64 69 63 61 74 65 64 20 | the..in|dicated |
|00001ec0| 73 75 72 66 61 63 65 20 | 6e 6f 72 6d 61 6c 2e 0a |surface |normal..|
|00001ed0| 5c 65 6e 64 7b 64 65 66 | 70 72 69 6d 7d 0a 44 69 |\end{def|prim}.Di|
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|00001ef0| 6f 72 20 70 6c 61 63 69 | 6e 67 0a 65 6e 64 63 61 |or placi|ng.endca|
|00001f00| 70 73 20 6f 6e 20 63 79 | 6c 69 6e 64 65 72 73 20 |ps on cy|linders |
|00001f10| 61 6e 64 20 63 6f 6e 65 | 73 2e 0a 49 6e 76 65 72 |and cone|s..Inver|
|00001f20| 73 65 20 6d 61 70 70 69 | 6e 67 20 66 6f 72 20 74 |se mappi|ng for t|
|00001f30| 68 65 20 64 69 73 63 20 | 69 73 20 62 61 73 65 64 |he disc |is based|
|00001f40| 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | 63 6f 6d 70 75 74 61 74 | on the |computat|
|00001f50| 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 | 68 65 0a 6e 6f 72 6d 61 |ion of t|he.norma|
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|00001f80| 6f 69 6e 74 20 6f 66 20 | 69 6e 74 65 72 73 65 63 |oint of |intersec|
|00001f90| 74 69 6f 6e 2e 20 20 54 | 68 65 0a 6e 6f 72 6d 61 |tion.  T|he.norma|
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|00001fb0| 74 68 65 20 70 6f 69 6e | 74 20 6f 66 20 69 6e 74 |the poin|t of int|
|00001fc0| 65 72 73 65 63 74 69 6f | 6e 20 69 73 20 61 73 73 |ersectio|n is ass|
|00001fd0| 69 67 6e 65 64 20 74 6f | 20 24 75 24 2c 20 77 68 |igned to| $u$, wh|
|00001fe0| 69 6c 65 20 74 68 65 20 | 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a |ile the |normaliz|
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|00002000| 72 65 66 65 72 65 6e 63 | 65 20 76 65 63 74 6f 72 |referenc|e vector|
|00002010| 20 69 73 20 61 73 73 69 | 67 6e 65 64 20 74 6f 20 | is assi|gned to |
|00002020| 24 76 24 2e 0a 0a 5c 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 50 |$v$...\s|ection{P|
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|00002050| 67 69 6e 7b 64 65 66 70 | 72 69 6d 7d 7b 63 62 6c |gin{defp|rim}{cbl|
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|00002080| 5c 65 6d 20 73 75 74 66 | 61 63 65 7d 20 5b 7b 5c |\em sutf|ace} [{\|
|00002090| 65 6d 20 73 74 20 72 7d | 0a 5c 65 76 65 63 7b 70 |em st r}|.\evec{p|
|000020a0| 7d 20 7b 5c 65 6d 20 73 | 75 72 66 61 63 65 7d 20 |} {\em s|urface} |
|000020b0| 5c 6c 64 6f 74 73 5d 7d | 0a 09 43 72 65 61 74 65 |\ldots]}|..Create|
|000020c0| 73 20 61 20 6d 75 6c 74 | 69 63 6f 6c 6f 72 65 64 |s a mult|icolored|
|000020d0| 20 62 6c 6f 62 2e 20 20 | 54 68 65 20 73 79 6e 74 | blob.  |The synt|
|000020e0| 61 78 20 69 73 20 74 68 | 65 20 73 61 6d 65 20 61 |ax is th|e same a|
|000020f0| 73 20 66 6f 72 20 61 20 | 62 6c 6f 62 2c 0a 77 69 |s for a |blob,.wi|
|00002100| 74 68 20 61 6e 20 61 64 | 64 69 74 69 6f 6e 61 6c |th an ad|ditional|
|00002110| 20 73 75 72 66 61 63 65 | 20 64 65 66 69 6e 69 74 | surface| definit|
|00002120| 69 6f 6e 20 66 6f 72 20 | 65 61 63 68 20 6d 65 74 |ion for |each met|
|00002130| 61 62 61 6c 6c 2e 0a 5c | 65 6e 64 7b 64 65 66 70 |aball..\|end{defp|
|00002140| 72 69 6d 7d 0a 0a 54 68 | 65 20 7b 5c 74 74 20 63 |rim}..Th|e {\tt c|
|00002150| 62 6c 6f 62 7d 20 70 72 | 69 6d 69 74 69 76 65 20 |blob} pr|imitive |
|00002160| 77 61 73 20 70 72 6f 76 | 69 64 65 64 20 62 79 20 |was prov|ided by |
|00002170| 47 65 6f 72 67 65 20 4d | 63 47 72 65 67 6f 72 20 |George M|cGregor |
|00002180| 5c 5c 0a 7b 5c 74 74 20 | 3c 6d 63 67 72 65 67 6f |\\.{\tt |<mcgrego|
|00002190| 72 40 6e 63 69 66 63 72 | 66 2e 67 6f 76 3e 7d 0a |r@ncifcr|f.gov>}.|
|000021a0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 64 65 66 70 72 69 6d 7d |.\begin{|defprim}|
|000021b0| 7b 66 6c 61 6d 65 7d 7b | 7b 5c 65 6d 20 73 69 7a |{flame}{|{\em siz|
|000021c0| 65 7d 20 5c 65 76 65 63 | 7b 70 7d 20 7b 5c 65 6d |e} \evec|{p} {\em|
|000021d0| 20 6c 69 67 68 74 73 77 | 69 74 63 68 20 73 70 65 | lightsw|itch spe|
|000021e0| 65 64 7d 7d 0a 09 43 72 | 65 61 74 65 73 20 61 20 |ed}}..Cr|eates a |
|000021f0| 66 6c 61 6d 65 20 61 74 | 20 74 68 65 20 67 69 76 |flame at| the giv|
|00002200| 65 6e 20 70 6f 73 69 74 | 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 |en posit|ion of t|
|00002210| 68 65 20 67 69 76 65 6e | 20 73 69 7a 65 2e 20 20 |he given| size.  |
|00002220| 54 68 65 20 7b 5c 65 6d | 0a 6c 69 67 68 74 73 77 |The {\em|.lightsw|
|00002230| 69 74 63 68 7d 20 6f 70 | 74 69 6f 6e 20 61 6c 6c |itch} op|tion all|
|00002240| 6f 77 73 20 6c 69 67 68 | 74 20 73 6f 75 72 63 65 |ows ligh|t source|
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|00002280| 29 20 6f 72 20 6e 6f 20 | 6c 69 67 68 74 73 20 66 |) or no |lights f|
|00002290| 6f 72 20 66 61 73 74 65 | 72 20 72 75 6e 73 20 28 |or faste|r runs (|
|000022a0| 30 29 2e 20 20 54 68 65 | 20 7b 5c 65 6d 20 73 70 |0).  The| {\em sp|
|000022b0| 65 65 64 7d 20 73 65 74 | 74 69 6e 67 20 69 73 20 |eed} set|ting is |
|000022c0| 75 73 65 64 0a 66 6f 72 | 20 61 6e 69 6d 61 74 69 |used.for| animati|
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|000022f0| 61 6d 65 20 61 70 70 65 | 61 72 73 20 74 6f 20 60 |ame appe|ars to `|
|00002300| 60 6d 6f 76 65 27 27 20 | 75 70 77 61 72 64 2e 20 |`move'' |upward. |
|00002310| 20 41 0a 76 61 6c 75 65 | 20 6f 66 20 30 2e 35 20 | A.value| of 0.5 |
|00002320| 69 73 20 73 75 67 67 65 | 73 74 65 64 20 61 73 20 |is sugge|sted as |
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|00002340| 2e 0a 5c 65 6e 64 7b 64 | 65 66 70 72 69 6d 7d 0a |..\end{d|efprim}.|
|00002350| 0a 54 68 65 20 7b 5c 74 | 74 20 66 6c 61 6d 65 7d |.The {\t|t flame}|
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|00002390| 69 61 6d 2e 75 6e 69 62 | 65 2e 63 68 3e 7d 0a 0a |iam.unib|e.ch>}..|
|000023a0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 64 | 65 66 70 72 69 6d 7d 7b |\begin{d|efprim}{|
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|000023d0| 69 73 20 70 72 69 6d 69 | 74 69 76 65 20 63 72 65 |is primi|tive cre|
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|00002400| 61 74 20 0a 09 09 24 78 | 20 3d 20 30 2e 35 24 2c |at ...$x| = 0.5$,|
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|00002420| 61 6e 67 69 6e 67 20 66 | 72 6f 6d 0a 09 09 24 78 |anging f|rom...$x|
|00002430| 20 3d 20 30 2e 30 24 2c | 20 24 79 20 3d 20 30 2e | = 0.0$,| $y = 0.|
|00002440| 30 24 20 74 6f 20 24 78 | 20 3d 20 31 2e 30 24 2c |0$ to $x| = 1.0$,|
|00002450| 20 24 79 20 3d 20 31 2e | 30 24 2e 0a 49 74 20 69 | $y = 1.|0$..It i|
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|000024e0| 20 20 20 54 68 65 20 7b | 5c 65 6d 20 73 65 65 64 |   The {|\em seed|
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|000025a0| 20 20 20 54 68 65 20 7b | 5c 65 6d 20 73 75 62 64 |   The {|\em subd|
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|000026d0| 74 65 6c 6c 20 6d 65 21 | 21 29 20 61 6e 64 20 70 |tell me!|!) and p|
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|00002730| 6e 75 6d 62 65 72 20 6f | 66 20 70 6f 69 6e 74 73 |number o|f points|
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|00002890| 0a 0a 54 68 65 20 7b 5c | 74 74 20 66 72 61 63 6c |..The {\|tt fracl|
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|000028b0| 61 73 20 70 72 6f 76 69 | 64 65 64 20 62 79 20 4c |as provi|ded by L|
|000028c0| 61 72 72 79 20 43 6f 66 | 66 69 6e 20 5c 5c 0a 7b |arry Cof|fin \\.{|
|000028d0| 5c 74 74 20 3c 6c 63 6f | 66 66 69 6e 40 63 6c 63 |\tt <lco|ffin@clc|
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|000028f0| 75 3e 7d 0a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 64 65 66 70 |u>}..\be|gin{defp|
|00002900| 72 69 6d 7d 7b 72 6f 74 | 73 70 6c 69 6e 65 7d 7b |rim}{rot|spline}{|
|00002910| 5c 65 76 65 63 7b 62 61 | 73 65 7d 20 5c 65 76 65 |\evec{ba|se} \eve|
|00002920| 63 7b 61 70 65 78 7d 20 | 7b 5c 74 74 20 63 6f 65 |c{apex} |{\tt coe|
|00002930| 66 66 73 7d 20 24 63 5f | 33 24 20 24 63 5f 32 24 |ffs} $c_|3$ $c_2$|
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|00002960| 20 72 65 76 6f 6c 75 74 | 69 6f 6e 2e 20 20 54 68 | revolut|ion.  Th|
|00002970| 69 73 20 70 72 69 6d 69 | 74 69 76 65 20 63 61 6e |is primi|tive can|
|00002980| 20 62 65 20 64 65 66 69 | 6e 65 64 20 69 6e 20 74 | be defi|ned in t|
|00002990| 77 6f 20 77 61 79 73 2e | 0a 5c 65 6e 64 7b 64 65 |wo ways.|.\end{de|
|000029a0| 66 70 72 69 6d 7d 0a 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 64 |fprim}..|\begin{d|
|000029b0| 65 66 70 72 69 6d 7d 7b | 72 6f 74 73 70 6c 69 6e |efprim}{|rotsplin|
|000029c0| 65 7d 7b 5c 65 76 65 63 | 7b 62 61 73 65 7d 20 24 |e}{\evec|{base} $|
|000029d0| 72 5f 7b 62 61 73 65 7d | 24 20 24 67 5f 7b 62 61 |r_{base}|$ $g_{ba|
|000029e0| 73 65 7d 24 0a 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |se}$.   |        |
|000029f0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002a00| 5c 65 76 65 63 7b 61 70 | 65 78 7d 20 24 72 5f 7b |\evec{ap|ex} $r_{|
|00002a10| 61 70 65 78 7d 24 20 24 | 67 5f 7b 61 70 65 78 7d |apex}$ $|g_{apex}|
|00002a20| 24 7d 0a 5c 65 6e 64 7b | 64 65 66 70 72 69 6d 7d |$}.\end{|defprim}|
|00002a30| 0a 0a 54 68 65 20 63 75 | 72 76 65 20 74 68 61 74 |..The cu|rve that|
|00002a40| 20 69 73 20 72 6f 74 61 | 74 65 64 20 69 73 20 6f | is rota|ted is o|
|00002a50| 66 20 74 68 65 20 66 6f | 72 6d 0a 5c 5b 0a 09 20 |f the fo|rm.\[.. |
|00002a60| 20 20 20 72 5e 32 20 3d | 20 63 5f 33 78 5e 33 20 |   r^2 =| c_3x^3 |
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|00002a80| 2b 20 63 5f 30 0a 5c 5d | 0a 0a 5c 65 76 65 63 7b |+ c_0.\]|..\evec{|
|00002a90| 62 61 73 65 7d 20 69 73 | 20 74 68 65 20 70 6f 73 |base} is| the pos|
|00002aa0| 69 74 69 6f 6e 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 63 65 6e |ition of| the cen|
|00002ab0| 74 65 72 20 6f 66 20 6f | 6e 65 20 65 6e 64 20 61 |ter of o|ne end a|
|00002ac0| 6e 64 20 5c 65 76 65 63 | 7b 61 70 65 78 7d 20 69 |nd \evec|{apex} i|
|00002ad0| 73 20 74 68 65 0a 63 65 | 6e 74 65 72 20 6f 66 20 |s the.ce|nter of |
|00002ae0| 74 68 65 20 6f 74 68 65 | 72 2e 20 20 54 68 65 20 |the othe|r.  The |
|00002af0| 77 6f 72 64 20 7b 5c 74 | 74 20 63 6f 65 66 66 73 |word {\t|t coeffs|
|00002b00| 7d 20 6d 75 73 74 20 62 | 65 20 69 6e 63 6c 75 64 |} must b|e includ|
|00002b10| 65 64 20 69 6e 20 74 68 | 65 20 66 69 72 73 74 0a |ed in th|e first.|
|00002b20| 6d 65 74 68 6f 64 2e 20 | 20 24 72 5f 7b 62 61 73 |method. | $r_{bas|
|00002b30| 65 7d 24 20 61 6e 64 20 | 24 72 5f 7b 61 70 65 78 |e}$ and |$r_{apex|
|00002b40| 7d 24 20 61 72 65 20 74 | 68 65 20 72 61 64 69 69 |}$ are t|he radii|
|00002b50| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 62 61 73 65 20 61 6e 64 | of the |base and|
|00002b60| 20 61 70 65 78 2c 20 61 | 6e 64 0a 24 67 5f 7b 62 | apex, a|nd.$g_{b|
|00002b70| 61 73 65 7d 24 20 61 6e | 64 20 24 67 5f 7b 61 70 |ase}$ an|d $g_{ap|
|00002b80| 65 78 7d 24 20 61 72 65 | 20 74 68 65 20 67 72 61 |ex}$ are| the gra|
|00002b90| 64 69 65 6e 74 73 2e 0a | 0a 54 68 65 20 7b 5c 74 |dients..|.The {\t|
|00002ba0| 74 20 72 6f 74 73 70 6c | 69 6e 65 7d 20 70 72 69 |t rotspl|ine} pri|
|00002bb0| 6d 69 74 69 76 65 20 77 | 61 73 20 70 72 6f 76 69 |mitive w|as provi|
|00002bc0| 64 65 64 20 62 79 20 47 | 65 72 61 6c 64 20 49 6c |ded by G|erald Il|
|00002bd0| 65 73 20 5c 5c 0a 7b 5c | 74 74 20 3c 69 6c 65 73 |es \\.{\|tt <iles|
|00002be0| 67 40 70 34 2e 63 73 2e | 6d 61 6e 2e 61 63 2e 75 |g@p4.cs.|man.ac.u|
|00002bf0| 6b 3e 7d 0a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 64 65 66 70 |k>}..\be|gin{defp|
|00002c00| 72 69 6d 7d 7b 73 77 65 | 70 74 73 70 68 7d 7b 7b |rim}{swe|ptsph}{{|
|00002c10| 5c 74 74 20 62 65 7a 69 | 65 72 7d 20 5c 65 76 65 |\tt bezi|er} \eve|
|00002c20| 63 7b 70 5f 30 7d 20 5c | 65 76 65 63 7b 70 5f 31 |c{p_0} \|evec{p_1|
|00002c30| 7d 20 5c 65 76 65 63 7b | 70 5f 32 7d 0a 20 20 20 |} \evec{|p_2}.   |
|00002c40| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002c50| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002c60| 20 20 20 20 5c 65 76 65 | 63 7b 70 5f 33 7d 20 24 |    \eve|c{p_3} $|
|00002c70| 72 5f 30 24 20 24 72 5f | 31 24 20 24 72 5f 32 24 |r_0$ $r_|1$ $r_2$|
|00002c80| 20 24 72 5f 33 24 7d 0a | 20 20 20 20 20 20 20 20 | $r_3$}.|        |
|00002c90| 54 68 69 73 20 70 72 69 | 6d 69 74 69 76 65 20 69 |This pri|mitive i|
|00002ca0| 73 20 64 65 66 69 6e 65 | 64 20 61 73 20 61 20 73 |s define|d as a s|
|00002cb0| 70 68 65 72 65 20 6f 66 | 20 76 61 72 79 69 6e 67 |phere of| varying|
|00002cc0| 20 72 61 64 69 75 73 20 | 73 77 65 70 74 2c 20 6f | radius |swept, o|
|00002cd0| 72 0a 65 78 74 72 75 64 | 65 64 20 61 6c 6f 6e 67 |r.extrud|ed along|
|00002ce0| 20 61 20 70 61 74 68 20 | 69 6e 20 73 70 61 63 65 | a path |in space|
|00002cf0| 2e 20 20 54 68 65 20 70 | 61 74 68 20 69 73 20 64 |.  The p|ath is d|
|00002d00| 65 66 69 6e 65 64 20 69 | 6e 20 6f 6e 65 20 6f 66 |efined i|n one of|
|00002d10| 20 73 65 76 65 72 61 6c | 20 77 61 79 73 2e 0a 54 | several| ways..T|
|00002d20| 68 65 20 70 61 74 68 20 | 63 61 6e 20 65 69 74 68 |he path |can eith|
|00002d30| 65 72 20 62 65 20 64 65 | 66 69 6e 65 64 20 61 73 |er be de|fined as|
|00002d40| 20 66 6f 75 72 20 70 6f | 69 6e 74 73 20 77 68 69 | four po|ints whi|
|00002d50| 63 68 20 64 65 66 69 6e | 65 20 61 20 62 65 7a 69 |ch defin|e a bezi|
|00002d60| 65 72 20 70 61 74 68 2c | 20 77 68 65 72 65 0a 74 |er path,| where.t|
|00002d70| 68 65 20 70 61 74 68 20 | 70 61 73 73 65 73 20 74 |he path |passes t|
|00002d80| 68 72 6f 75 67 68 20 74 | 68 65 20 66 69 72 73 74 |hrough t|he first|
|00002d90| 20 61 6e 64 20 6c 61 73 | 74 20 65 6e 64 70 6f 69 | and las|t endpoi|
|00002da0| 6e 74 73 20 77 69 74 68 | 20 74 68 65 20 73 65 63 |nts with| the sec|
|00002db0| 6f 6e 64 20 61 6e 64 20 | 74 68 69 72 64 0a 70 6f |ond and |third.po|
|00002dc0| 69 6e 74 73 20 64 65 66 | 69 6e 69 6e 67 20 74 68 |ints def|ining th|
|00002dd0| 65 20 73 6c 6f 70 65 20 | 6f 72 20 74 61 6e 67 65 |e slope |or tange|
|00002de0| 6e 74 20 6c 69 6e 65 20 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |nt line |for the |
|00002df0| 63 75 72 76 65 20 61 74 | 20 74 68 65 20 66 69 72 |curve at| the fir|
|00002e00| 73 74 20 61 6e 64 20 6c | 61 73 74 0a 70 6f 69 6e |st and l|ast.poin|
|00002e10| 74 73 2e 0a 5c 65 6e 64 | 7b 64 65 66 70 72 69 6d |ts..\end|{defprim|
|00002e20| 7d 0a 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 64 65 66 70 72 69 |}..\begi|n{defpri|
|00002e30| 6d 7d 7b 73 77 65 70 74 | 73 70 68 7d 7b 7b 5c 74 |m}{swept|sph}{{\t|
|00002e40| 74 20 63 6f 65 66 66 73 | 7d 20 24 78 5f 30 24 20 |t coeffs|} $x_0$ |
|00002e50| 24 78 5f 31 24 20 24 78 | 5f 32 24 20 24 78 5f 33 |$x_1$ $x|_2$ $x_3|
|00002e60| 24 20 0a 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |$ .     |        |
|00002e70| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002e80| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 24 79 5f 30 24 20 |        |  $y_0$ |
|00002e90| 24 79 5f 31 24 20 24 79 | 5f 32 24 20 24 79 5f 33 |$y_1$ $y|_2$ $y_3|
|00002ea0| 24 20 0a 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |$ .     |        |
|00002eb0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002ec0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 24 7a 5f 30 24 20 |        |  $z_0$ |
|00002ed0| 24 7a 5f 31 24 20 24 7a | 5f 32 24 20 24 7a 5f 33 |$z_1$ $z|_2$ $z_3|
|00002ee0| 24 20 0a 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |$ .     |        |
|00002ef0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00002f00| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 24 72 5f 30 24 20 |        |  $r_0$ |
|00002f10| 24 72 5f 31 24 20 24 72 | 5f 32 24 20 24 72 5f 33 |$r_1$ $r|_2$ $r_3|
|00002f20| 24 7d 0a 20 20 20 20 20 | 20 20 20 41 20 73 65 63 |$}.     |   A sec|
|00002f30| 6f 6e 64 20 77 61 79 20 | 74 6f 20 64 65 66 69 6e |ond way |to defin|
|00002f40| 65 20 74 68 65 20 63 75 | 72 76 65 20 69 73 20 74 |e the cu|rve is t|
|00002f50| 6f 20 73 70 65 63 69 66 | 79 20 74 68 65 20 63 6f |o specif|y the co|
|00002f60| 65 66 66 65 63 69 65 6e | 74 73 20 66 6f 72 0a 74 |effecien|ts for.t|
|00002f70| 68 65 20 70 61 72 61 6d | 65 74 72 69 63 20 65 71 |he param|etric eq|
|00002f80| 75 61 74 69 6f 6e 73 20 | 74 68 61 74 20 64 65 66 |uations |that def|
|00002f90| 69 6e 65 20 74 68 65 20 | 63 75 72 76 65 2e 20 54 |ine the |curve. T|
|00002fa0| 68 69 73 20 69 73 20 73 | 70 65 63 69 66 69 65 64 |his is s|pecified|
|00002fb0| 20 61 73 20 0a 60 60 7b | 5c 74 74 20 63 6f 65 66 | as .``{|\tt coef|
|00002fc0| 66 73 7d 20 24 66 5f 78 | 24 20 24 66 5f 79 24 20 |fs} $f_x|$ $f_y$ |
|00002fd0| 24 66 5f 7a 24 27 27 20 | 77 68 65 72 65 20 65 61 |$f_z$'' |where ea|
|00002fe0| 63 68 20 24 66 5f 6e 24 | 20 69 73 20 61 20 74 68 |ch $f_n$| is a th|
|00002ff0| 69 72 64 20 6f 72 64 65 | 72 20 65 71 75 61 74 69 |ird orde|r equati|
|00003000| 6f 6e 2c 0a 24 63 5f 30 | 24 20 24 63 5f 31 24 20 |on,.$c_0|$ $c_1$ |
|00003010| 24 63 5f 32 24 20 24 63 | 5f 33 24 2c 20 77 68 65 |$c_2$ $c|_3$, whe|
|00003020| 72 65 0a 5c 5b 20 66 5f | 6e 20 3d 20 63 5f 30 20 |re.\[ f_|n = c_0 |
|00003030| 2b 20 63 5f 31 78 20 2b | 20 63 5f 32 78 5e 32 20 |+ c_1x +| c_2x^2 |
|00003040| 2b 20 63 5f 33 78 5e 33 | 20 5c 5d 0a 5c 65 6e 64 |+ c_3x^3| \].\end|
|00003050| 7b 64 65 66 70 72 69 6d | 7d 0a 0a 5c 62 65 67 69 |{defprim|}..\begi|
|00003060| 6e 7b 64 65 66 70 72 69 | 6d 7d 7b 73 77 65 70 74 |n{defpri|m}{swept|
|00003070| 73 70 68 7d 7b 5b 7b 5c | 74 74 20 6e 62 65 7a 69 |sph}{[{\|tt nbezi|
|00003080| 65 72 7d 20 24 6e 5f 30 | 24 20 24 6e 5f 31 24 20 |er} $n_0|$ $n_1$ |
|00003090| 24 6e 5f 32 24 20 24 6e | 5f 33 24 5d 0a 20 20 20 |$n_2$ $n|_3$].   |
|000030a0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|000030b0| 20 20 20 20 20 20 20 5b | 7b 5c 74 74 20 6e 63 6f |       [|{\tt nco|
|000030c0| 65 66 66 73 7d 20 24 63 | 6e 5f 30 24 20 24 63 6e |effs} $c|n_0$ $cn|
|000030d0| 5f 31 24 20 24 63 6e 5f | 32 24 20 24 63 6e 5f 33 |_1$ $cn_|2$ $cn_3|
|000030e0| 24 5d 7d 0a 20 20 20 20 | 20 20 20 20 41 20 74 68 |$]}.    |    A th|
|000030f0| 69 72 64 20 77 61 79 20 | 69 73 20 74 6f 20 75 73 |ird way |is to us|
|00003100| 65 20 61 6e 79 20 63 6f | 6d 62 69 6e 61 74 69 6f |e any co|mbinatio|
|00003110| 6e 20 6f 66 20 70 61 72 | 61 6d 65 74 72 69 63 20 |n of par|ametric |
|00003120| 62 65 7a 69 65 72 20 63 | 75 72 76 65 73 0a 6f 72 |bezier c|urves.or|
|00003130| 20 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 20 63 6f 65 66 66 73 | functio|n coeffs|
|00003140| 2e 20 20 54 68 65 73 65 | 20 61 72 65 20 73 70 65 |.  These| are spe|
|00003150| 63 69 66 69 65 64 20 61 | 73 20 7b 5c 74 74 20 6e |cified a|s {\tt n|
|00003160| 62 65 7a 69 65 72 7d 20 | 6f 72 20 7b 5c 74 74 20 |bezier} |or {\tt |
|00003170| 6e 63 6f 65 66 66 73 7d | 0a 77 68 65 72 65 20 24 |ncoeffs}|.where $|
|00003180| 6e 24 20 69 73 20 24 78 | 24 2c 20 24 79 24 2c 20 |n$ is $x|$, $y$, |
|00003190| 6f 72 20 24 7a 24 2e 20 | 20 54 68 65 73 65 20 61 |or $z$. | These a|
|000031a0| 72 65 20 66 6f 6c 6c 6f | 77 65 64 20 62 79 20 66 |re follo|wed by f|
|000031b0| 6f 75 72 20 6e 75 6d 62 | 65 72 73 20 74 68 61 74 |our numb|ers that|
|000031c0| 20 61 72 65 0a 69 6e 74 | 65 72 70 72 65 74 65 64 | are.int|erpreted|
|000031d0| 20 61 73 20 74 68 65 20 | 63 6f 65 66 66 65 63 69 | as the |coeffeci|
|000031e0| 65 6e 74 73 20 66 6f 72 | 20 74 68 65 20 70 61 72 |ents for| the par|
|000031f0| 61 6d 65 74 72 69 63 20 | 76 61 72 69 61 62 6c 65 |ametric |variable|
|00003200| 20 24 78 24 2c 20 24 79 | 24 2c 20 6f 72 20 24 7a | $x$, $y|$, or $z|
|00003210| 24 0a 69 6e 20 74 68 65 | 20 63 61 73 65 20 6f 66 |$.in the| case of|
|00003220| 20 7b 5c 74 74 20 6e 63 | 6f 65 66 66 73 7d 20 6f | {\tt nc|oeffs} o|
|00003230| 72 20 61 73 20 74 68 65 | 20 62 65 7a 69 65 72 20 |r as the| bezier |
|00003240| 63 75 72 76 65 20 77 68 | 65 72 65 20 74 68 65 20 |curve wh|ere the |
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