home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter8.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  10.6 KB  |  491 lines
  1. à 8.1èDefïition ç ê LaPlace Transform
  2.  
  3. äè Fïd ê LaPlace Transform ç ê given function
  4.  
  5. â    èèFor f(t) = tì,èïtegration by parts (twice) gives
  6. èèèèèè ░▄èèèèèèèèèèètìèè │bèè2è░▄
  7. è ÿ{ tì } = ▒ètì eúÖ▐ dtè=èlim - ── eúÖ▐│è+ ──è▒ t eúÖ▐ dt =
  8. èèèèèè ▓╙èèèèèèèèb¥∞èèsèè │╠èèsè▓╠
  9. è 2èèèètèè ▒bèè2 ░▄èèèèèè 2èèèè1èèè▒bèè2
  10. è── lim - ── eúÖ▐▒è+ ── ▒èeúÖ▐ dt =è── lim - ── eúÖ▐ ▒è= ───
  11. è s b¥∞èèsèè ▒╠è sì ▓╠èèèèèèsì b¥∞èèsèèè▒╠èèsÄ
  12.  
  13. éS        The LAPLACE TRANSFORM is used ï many areas ç applied    
  14.     maêmatics ë convert an unsolvable problem ë an equiva-
  15.     lent solvable problem.èThis is a three step process
  16.     
  17.     1)    Transform ê problem as given ï terms ç a function f
  18.         with variable t, ë a function F given ï
  19.         terms ç a variable s i.e. go from f(t) ë F(s)
  20.  
  21.     2)    Solve ê problem ï terms ç F(s)
  22.  
  23.     3)    Transform ê soltuion F(s) back ë a solution
  24.         f(t) ç ê origïal problem
  25.  
  26.         The LaPlace transform is a member ç ê INTEGRAL
  27.     TRANSFORM class ï which ê transform is given ï terms
  28.     ç an ïtegral,
  29.         èèèè ░b
  30.         F(s)è=è▒è K(s,t) f(t) dt,
  31.         èèèè ▓a
  32.  
  33.     whereèK(s,t) is known as ê KERNEL ç ê transformation.
  34.  
  35.         The LAPLACE TRANSFORM has as its kernel
  36.  
  37.         K(s,t)è=èeúÖ▐
  38.  
  39.     å is formally defïed as
  40.         èèèèèèè░▄
  41.         ÿ{ f(t) }è=è▒èeúÖ▐ f(t) dt
  42.         èèèèèèè▓╠
  43.  
  44.         As is seen, this is an IMPROPER INTEGRAL because ç ê
  45.     upper limit.èIf ê function f(t) is ç EXPONENTIAL ORDER 
  46.     i.e. if it is bounded by an exponential function as t ¥ ∞, 
  47.     ê rapidity ç convergence çèeúÖ▐èas t ¥ ∞ will produce
  48.     a convergent ïtegral.èFor a given problem, êre may be
  49.     a limit on ê value ç constants which are forced by ê
  50.     requirement that ê ïtegral converge.
  51.  
  52.  1    f(t) =è1
  53.  
  54.  
  55.  
  56.     A)èè1    èèèB)èè1/tèèèC)è 1/sèè D)è-1/s
  57.  
  58. ü    èèBy defïition
  59.     èèèèè ░▄èèèèèèèèèèè1èèè ▒bèèè1
  60.     ÿ { 1 } =è▒è1 eúÖ▐ dtè=èlim - ─── eúÖ▐ ▒è =è───
  61.     èèèèè ▓╠èèèèèèè b¥∞èèsèèè ▒╠èèès
  62.  
  63. Ç C
  64.  
  65.  2    f(t) = t
  66.  
  67.  
  68.  
  69.     A)è 1èèèèB)èè1/tèèèC)è 1/sèè D)è 1/sì
  70.  
  71. ü    èè By defïition
  72.     èèèèè ░▄
  73.     ÿ { t } =è▒èt eúÖ▐ dt
  74.     èèèèè ▓╠
  75. èèèèè
  76.     Integratïg by parts
  77.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 1
  78.         u = tèèèdu = dtèèdv = eúÖ▐ dtè v = - ─ eúÖ▐
  79.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè s
  80.     èèèèèèèèè tèèè ▒bèè1 ░▄
  81.     ÿ { t }è=èlim - ─── eúÖ▐ ▒è + ─ ▒èeúÖ▐ dt
  82.     èèèèèèb¥∞èèsèèè ▒╠èès ▓╠
  83.  
  84.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  85.  
  86.     èèèèèè1èèèè1èèè▒b
  87.     ÿ { t }è=è─ limè- ─ eúÖ▐ ▒
  88.     èèèèèès b¥∞èèsèèè▒╠
  89.  
  90.     è The upper limit evaluates ë zero while ê lower limit
  91.     evaluates ë 1 leavïg
  92.  
  93.     èèèèèè1
  94.     ÿ {t }è=è───
  95.     èèèèèès║
  96.  
  97. Ç D
  98.  
  99.     3    f(t)è=ètⁿèèn a positive ïteger
  100.  
  101.  
  102.     A)    1/sⁿ        B)    1/sⁿóî
  103.  
  104.     C)    n!/sⁿ        D)    n!/sⁿóî
  105.  
  106. üèè By defïition
  107.     èèèèèè░▄
  108.     ÿ { tⁿ } =è▒ètⁿ eúÖ▐ dt
  109.     èèèèèè▓╠èèèèè
  110.     Integratïg by parts
  111.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè1
  112.     èèu = tⁿèèdu = ntⁿúî dtèèdv = eúÖ▐ dtè v = - ─ eúÖ▐
  113.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèès
  114.     èèèèèèèèèètⁿèèè▒bèèn ░▄
  115.     ÿ { tⁿ }è=èlim - ─── eúÖ▐ ▒è + ─ ▒ tⁿúî eúÖ▐ dt
  116.     èèèèèè b¥∞èèsèèè ▒╠èès ▓╠
  117.  
  118.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  119.  
  120.     èèèèèè nè░▄èèè 
  121.     ÿ { tⁿ }è=è─è▒ tⁿúî eúÖ▐ dt
  122.     èèèèèè sè▓╠èè
  123.  
  124.     Integratïg by parts agaï
  125.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè1
  126.     u = tⁿúîèèdu = (n-1)tⁿúì dtèèdv = eúÖ▐ dtè v = - ─ eúÖ▐
  127.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèès
  128.     èèèèèènèèèètⁿúîèèè▒bèèn n-1 ░▄
  129.     ÿ { tⁿ }è= ─èlim - ──── eúÖ▐ ▒è + ─ ─── ▒ tⁿúì eúÖ▐ dt
  130.     èèèèèèsèb¥∞èè sèèè ▒╠èèsèsè▓╠
  131.  
  132.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  133.  
  134.     èèèèèè n(n-1)è░▄èèè 
  135.     ÿ { tⁿ }è=è──────è▒ tⁿúì eúÖ▐ dt
  136.     èèèèèèès sèè▓╠èè
  137.     
  138.     è Contïuïg this ïtegration by parts sequence until
  139.     ê each ïteger down ë 1 is used å ê ïtegrå is
  140.     eúÖ▐ .èOne fïal ïtegration gives aè1/sèso ê 
  141.     fïal result is
  142. èèèèèèèèèèèn (n-1) (n-2) ∙∙∙ (3)(2)(1) 1èè n!
  143.     ÿ { tⁿ }è=è──────────────────────────── ─è= ────
  144.     èèèèèèèsè sèè sè ∙∙∙èsèsèsèsèèsⁿóî
  145. Ç D
  146.  
  147.  4èèè f(t) = eì▐
  148.  
  149.  
  150.  
  151. èèA)è 1/ s+2èè B)è -1 / s+2èè C)è 1/ s-2è D)è-1/ s-2
  152.  
  153. üèèè By defïition
  154.     èèèèèè ░▄
  155.     ÿ { eì▐ } =è▒èeìt eúÖ▐ dt
  156.     èèèèèè ▓╠èè
  157. è 
  158.     èèèèèè ░▄
  159.     èèèèè=è▒èeúÑÖúìª▐ dt
  160.     èèèèèè ▓╠èèèèèè
  161.  
  162.     Usïg subsitution
  163.     èèèèèèèèèèè1èèèèèè ▒b
  164.     èèèèè=èlimè- ───── eúÑÖúìª▐è▒
  165.     èèèèèè b¥0èè s-2èèèèèè▒╠
  166.  
  167.     As long as s is greater than 2, ê function goes ë zero at
  168.     ê upper limit, leavïg only 
  169.  
  170.      èèèèèèè 1
  171.     èèèèè=è─────èè s > 2
  172.     èèèèèèès-2
  173.  
  174.     NOTEèThis is special case ç ê general formula that
  175.     èèèèèèèèèèè1
  176.         ÿ{ e╜▐ }è= ─────èè s > a
  177. èèèèèèèèèèèèèè s-a
  178.  
  179. ÇèC
  180.  
  181.  5    f(t) = cos[2t]
  182.  
  183.  
  184.  
  185. èèA)è1 / sì-4èèB)è 1/ sì+4èèC)è s/ sì-4èèD)è s/ sì+4
  186.  
  187. üèè By defïition
  188.     èèèèèèèè ░▄
  189.     ÿ { cos[2t] } =è▒ècos[2t] eúÖ▐ dt
  190.     èèèèèèèè ▓╠èèèèè
  191.     Integratïg by parts
  192.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  193.     èèu = cos[2t]èèdu = -2sï[2t] dtèè
  194.  
  195.     èèdv = eúÖ▐ dtè v = -eúÖ▐ /s
  196.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  197. èèèèèèèèèèèè cos[2t]èèè▒bèè2 ░▄
  198. ÿ { cos[2t]] }è=èlim - ─────── eúÖ▐ ▒è - ─ ▒ cos[2t] eúÖ▐ dt
  199. èèèèèèèèè b¥∞èèèsèèèè ▒╠èès ▓╠
  200.  
  201.     è The first limit ç ê evaluated term is zero so
  202.  
  203.     èèèèèè 1èè2è░▄èèè 
  204.     ÿ { tⁿ }è=è─è- ─è▒ sï[2t] eúÖ▐ dt
  205.     èèèèèè sèèsè▓╠èè
  206.  
  207.     Integratïg by parts agaï
  208.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  209. èèu = sï[2t]è du = 2cos[2t]dtè dv = eú▐ Ödtè v = -eúÖ▐ /s
  210.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  211.     èèèè1èè2èèèèsï[2t]èèè▒bèè2 2 ░▄
  212. èÿ{cos[2t]}è= ─è- ─èlim - ─────── eúÖ▐ ▒è - ─ ─ ▒ cos[2t]eúÖ▐ dt
  213.     èèèèsèèsèb¥∞èèèèsèèè ▒╠èès s ▓╠
  214.  
  215.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  216.  
  217.     èèèè1èèè2 2 ░▄èèèèèèèèè1èè4
  218. èÿ{cos[2t]}è= ─è -è─ ─ ▒ cos[2t]eúÖ▐ dtè= ─ - ── L{cos[2t}
  219.     èèèèsèèès s ▓╠èèèèèèèèèsè sì
  220.  
  221.     Rearrangïg
  222.  
  223.     (1 + 4/sì) ÿ{cos[2t]} =è1/s
  224.  
  225.     orè ÿ{cos[2t]} =è1/s ÷ (1 + 4/sì)è
  226.  
  227.     Invertïg, multiplyïg å simplifyïg yields
  228.         èèèèèèèès
  229.         ÿ{cos[2t]} = ───────
  230.         èèèèèèèsì+ 4
  231.  
  232.     NOTE this is a special case ç
  233.  
  234.         èèèèèèèès
  235.         ÿ{cos[at]} = ───────
  236.         èèèèèèèsì+aì
  237.  
  238. ÇèD
  239.  
  240.  6è     f(t)è=ètìe▐
  241.  
  242.  
  243.  
  244. èèA)è 2/(s+1)ìèèB)è2/(s+1)ÄèèC)è2/(s-1)ÄèèD)è2/(s-1)ì
  245.  
  246. üèè By defïition
  247.     èèèèèè ░▄èèèèèèèèè ░▄
  248.     ÿ{ tìe▐ } =è▒ètì e▐ eúÖ▐ dtè=è▒ètì eúÑÖúîª▐ dt
  249.     èèèèèè ▓╠èèèèèèèèè ▓╠
  250.     Integratïg by parts
  251.         èèèèèèèèèèèèèèèèèè 1
  252. èèu = tìèèdu = 2t dtèèdv = eúÑÖúîª▐ dtè v = - ─ eúÑÖúîª▐ 
  253.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  254.     èèèèèèèèèèètìèèèèè▒bèè 2è░▄
  255.     ÿ { tìe▐ }è=èlim - ─── eúÑÖúîª▐ ▒è + ─── ▒ t eúÑÖúîª▐ dt
  256.     èèèèèèè b¥∞è s-1èèèèè▒╠èès-1 ▓╠
  257.  
  258.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  259.  
  260.     èèèèèè 2è░▄èèè 
  261.     ÿ { tⁿ }è=è─è▒ t eúÑÖúîª▐ dt
  262.     èèèèèè sè▓╠èè
  263.  
  264.     Integratïg by parts agaï
  265.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèè1èèè
  266.     u = tèèdu = dtèèdv = eúÑÖúîª▐ dtè v = - ─── eúÑÖúîª▐
  267.         èèèèèèèèèèèèèèèèèè s-1
  268.     èèèèèèè2èèèè tèèèèè▒bèèè2è ░▄
  269.     ÿ { tìe▐ }è= ─èlim - ─── eúÑÖúîª▐▒è + ───── ▒èeúÑÖúîª▐ dt
  270.     èèèèèèèsèb¥∞è s-1èèèè ▒╠èè(s-1)ì▓╠
  271.  
  272.     è Both limits ç ê evaluated term are zero so
  273.  
  274.     èèèèèèèèè2è ░▄èèè 
  275.     ÿ { tìe▐ }è=è────── ▒èeúÑÖúîª▐ dt
  276.     èèèèèèè (s-1)ì ▓╠èè
  277.  
  278.     Integratïg directly
  279.     èèèèèèèè2èèèèèè1èèèèè │b
  280.     ÿ{ tìe▐ }è=è──────èlim - ─── eúÑÖúîª▐ │
  281.     èèèèèèè(s-1)ìèb¥∞è s-1èèèèè│0
  282.  
  283.     èèThe value at ê upper limit goes ë zero but ê lower
  284.     limit exits å is fïite
  285.     èèèèèèèèèèè 2
  286.         ÿ{ tìe▐ } = ──────
  287.     èèèèèèèèèè(s-1)Ä
  288.  
  289.     NOTE this is a special case ç
  290.         èèèèèèèèn!
  291.         ÿ{ tⁿe▐ } = ────────
  292.         èèèèèè(s-a)ⁿóî
  293.  
  294. Ç C
  295.  
  296.  7èè Fïd ÿ{f»(t)}
  297.  
  298.  
  299.     A)    ÿ{f(t)} - sf(0)        B)    ÿ{f(t)} + sf(0)
  300.  
  301.     C)     sÿ{f(t)} - f(0)        D)    sÿ{f(t)} + f(0)
  302.  
  303. üèè By defïition
  304.     èèèèèèè░▄èèè 
  305.     ÿ{ f»(t) } =è▒èf»(t) eúÖ▐ dtè
  306.     èèèèèèè▓╠èè
  307. è 
  308.     Integratïg by parts
  309.         èèèèèèèèèèèèèèèèè 
  310.     u = eúÖ▐èèdu = -seúÖ▐ dtèèdv = f»(t) dtè v = f(t) 
  311.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  312.     èèèèèèèèèèèèèè ▒bèèè░▄
  313.     ÿ { f»(t) }è=èlim f(t)eúÖ▐ ▒è + s ▒ f(t)eúÖ▐ dt
  314.     èèèèèèèèb¥∞èèèèè▒╠èèè▓╠
  315.  
  316.     è The upper limit ç ê evaluated term is zero while ê
  317.     lower limit evaluates ëè-f(0) .èThe ïtegral that remaïs
  318.     is ê defïition çèÿ{ f(t) } hence
  319.  
  320.     ÿ{ f»(t) }è=èsÿ{ f(t) } - f(0)
  321.  
  322. ÇèC
  323.  
  324. è8    Fïdèÿ{ f»»(t) }
  325.  
  326.     A)    ÿ{f(t)} + sf»(0) + sìf(0)
  327.     B)    ÿ{f(t)} - sf»(0) - sìf(0)
  328.     C)    sìÿ{f(t)} + sf»(0) + f(0)
  329.     D)    sìÿ{f(t)} - sf(0) - f»(0)
  330.  
  331. üèè By defïition
  332.     èèèèèèè ░▄èèè 
  333.     ÿ{ f»»(t) } =è▒èf»»(t) eúÖ▐ dtè
  334.     èèèèèèè ▓╠èè
  335. è 
  336.     Integratïg by parts
  337.         èèèèèèèèèèèèèèèèè 
  338.     u = eúÖ▐èèdu = -seúÖ▐ dtèèdv = f»»(t) dtè v = f»(t) 
  339.         èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  340.     èèèèèèèèèèèèèèè ▒bèèè░▄
  341.     ÿ { f»»(t) }è=èlim f»(t)eúÖ▐ ▒è + s ▒ f»(t)eúÖ▐ dt
  342.     èèèèèèèè b¥∞èèèèè ▒╠èèè▓╠
  343.  
  344.     è The upper limit ç ê evaluated term is zero while ê
  345.     lower limit evaluates ëè-f»(0) .èThe ïtegral that remaïs
  346.     is ê defïition çèÿ{ f»(t) } hence
  347.  
  348.     ÿ{ f»»(t) }è=è-f»(0) + sÿ{ f»(t) } 
  349.  
  350.     From ê last problem
  351.  
  352.         ÿ{ f»(t) }è=èsÿ{ f(t) } - f(0)
  353.     So
  354.         ÿ{ f»»(t) }è=è-f»(0) + s[ sÿ{ f(t) } - f(0) ]
  355.  
  356.     Rearrangïg yields
  357.  
  358.         ÿ { f»»(t) }è=èsìÿ{ f(t) } - sf(0) - f»(0)
  359. ÇèD
  360.  
  361. äèUse ê lïearity ç ê LaPlace transform ë fïd
  362. èèèèèèèê LaPlace transform ç ê given functions
  363.  
  364. â    èè Fïd ÿ{3t - 5} given that ÿ{tⁿ} = n!/sⁿóî. 
  365.     By ê lïearity ç ê LaPlace transform
  366.     è ÿ{3t - 5}è=è3ÿ{t} - 5ÿ{1}
  367.     èèèèèèèèèè 1èèè 1èèè 3èè 5
  368.     èèèèèèè=è3 ──── - 5 ───è= ──── - ─── 
  369. èèèèèèèèèèèèèèsìèèè sèèèsìèè s
  370.  
  371. éS    èèThe LaPlace transform is a LINEAR OPERATOR ï that
  372.  
  373.     èÿ{ C¬f¬(t) + C½f½(t) }è= C¬ÿ{ f¬(t) } + C½ÿ{ f½(t) }
  374.  
  375.     To prove this assertion, ê defïition ç ê left hå side
  376.     is
  377.     èèèèèèèèèèèè░▄
  378.      ÿ{C¬f¬(t) + C½f½(t)} = ▒ [ C¬f¬(t) + C½f½(t) ] eúÖ▐ dt
  379.     èèèèèèèèèèèè▓╠
  380.  
  381.     By ê lïearity ç ê ïtegral
  382.     èèèèèèèèèèè ░▄èèèèèèèèèè░▄
  383.     èèèèèèèè =èC¬ │ f¬(t)eúÖ▐ dtè+èC½ ▒ f½(t)eúÖ▐ dt
  384.     èèèèèèèèèèè ▓╠èèèèèèèèèè▓╠
  385.  
  386.     èèèèèèèè =èC¬ÿ{f¬(t)} + C½ÿ{f½(t)}
  387.  
  388.  
  389.     To solve Initial Value Problems usïg ê LaPlace Transform
  390.     we will need a table.èMake a copy ç ê followïg table for
  391.     use ï ê followïg problems å ï ê next two sections.
  392.     èèèèèèèèèè1
  393.     1.èèèÿ{ 1 }è=è───
  394.     èèèèèèèèèès
  395.  
  396.     èèèèèèèèèè n!
  397.     2.èèèÿ{ tⁿ } =è──────
  398.     èèèèèèèèèèsⁿóî
  399.  
  400.     èèèèèèèèèè 1
  401.     3.èèèÿ{ e╜▐ } = ─────
  402.     èèèèèèèèèès-a
  403.  
  404.     èèèèèèèèèèèès
  405.     4.èèèÿ{cos[at]} = ───────
  406.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  407.  
  408.     èèèèèèèèèèèèa
  409.     5.    ÿ{sï[at]} = ───────
  410.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  411.  
  412.     èèèèèèèèèèèè s
  413.     6.    ÿ{cosh[at]} = ───────
  414.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  415.  
  416.     èèèèèèèèèèèè a
  417.     7.    ÿ{sïh[at]} = ───────
  418.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  419.  
  420.     èèèèèèèèèèèèèès-a
  421.     8.    ÿ{e╜▐cos[bt]} = ───────────
  422.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  423.  
  424.     èèèèèèèèèèèèèè b
  425.     9.    ÿ{e╜▐sï[bt]} = ───────────
  426.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  427.  
  428.  
  429.     10.    ÿ{fÑⁿª(t)} = sⁿÿ{f(t)} - sⁿúîf(0) - ∙∙∙ 
  430.     èèèèèèèèèèèè- sfÑⁿú²ª(0) - fÑⁿúîª(0)
  431.  
  432.  9è Fïd ÿ[tì-3t+4}ègivenèÿ{tⁿ} = n!/sⁿóî
  433.  
  434.  
  435.     A)    (2sì-3s+4)/sÄ        B)    (2-3s+4sì)/sÄ
  436.  
  437.     C)    (2sì-3s+4)/sì        D)    (2-3s+4sì)/sì
  438.  
  439. ü    èè By lïearity
  440.  
  441.         ÿ{tì-3t+4}è=èÿ{tì} -3ÿ{t} + 4ÿ{1}
  442.  
  443.         èèèèèèèè2èèè 1èèè1
  444.         èèèèèè=è─── - 3──── + 4───
  445.         èèèèèèèèsÄèè sìèèès
  446.  
  447.     Simplifyïg å gettïg a common denomïaër
  448.  
  449.         èèèèèèèè2 - 3s + 4sì
  450.         èèèèèè=è──────────────
  451.         èèèèèèèèèè sÄ
  452.  
  453. Ç B
  454.  
  455.  10    ÿ{cosh[t]}èègivenèÿ{e╜▐} = 1/ s-a
  456.  
  457.  
  458.     A)    s/ sì+1            B)    1/ sì+1
  459.  
  460.     C)    s/ sì-1            D)    1/ sì-1
  461.  
  462. ü    èèRecallèèèèèèe▐ + eú▐
  463.     èèèèè cosh[t] = ──────────
  464.         èèèèèèèè 2
  465.  
  466.     Soèèèèèèèèè1èèèè 1
  467.     èè ÿ{cosh[t]}è=è─ ÿ{e▐} + ─ ÿ{eú▐}    
  468.     èèèèèèèèèè2èèèè 2
  469.  
  470.     èèèèèèèèèè1è 1èè 1è 1
  471.     èèèèèèèè =è─ ───── + ─ ─────
  472.     èèèèèèèèèè2ès-1èè2ès+1
  473.  
  474.     Rearrangïg å gettïg a common denomïaër
  475.     èèèèèèèèèè s+1 + s-1
  476.     èèèèèèèè =è────────────
  477.     èèèèèèèèèè 2(s-1)(s+1)
  478.  
  479.     èèèèèèèèèèè s
  480.     èèèèèèèè =è──────
  481.     èèèèèèèèèè sì-1
  482.  
  483. ÇèC
  484.  
  485.  
  486.  
  487.  
  488.  
  489.  
  490.  
  491.