home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter6.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  7.9 KB  |  324 lines
  1. à 6.2èSimple Harmonic Motion - Damped Case
  2.  
  3. äèèSolve ê problem 
  4.  
  5. âè Determïe if ê differential equation 
  6. èèy»» + 4y» + 5y = 0è represents simple harmonic motion that is
  7. èèa)èoverdamped, b) critically damped, c) underdampled.èThe
  8. èèïdicial equation for this lïear, constant coefficient differ-
  9. èèential equation isèmì + 4m + 5 = 0èUsïg ê quadratic formula,
  10. èèê solutions areèm = -4 + i å -4 - i.èThus êre are decayïg
  11. èètrig functions so this is ê UNDERDAMPLED case.
  12.  
  13. éSèèThe three models ï Section 6.1 made ê assumption that
  14.     êre are no DISSIPATIVE FORCES present.èThis assumption 
  15.     makes for a good (sometimes excellent) first approximation,
  16.     but, as with all real systems, êre will be some dissipation
  17.     ç energy ï ê system.
  18.  
  19.     èèIn ê mass-sprïg system, êre is air resistance å 
  20.     energy lost ë heat ï ê sprïg.èWith ê pendulum, êre
  21.     is agaï air resistance along with friction at ê pivot 
  22.     poït.èIn ê loop circuit, êre will be energy loss due ë
  23.     resistance ï ê wires å circuit elements.
  24.  
  25.     èèRegardless ç ê system, ê effect ç ê energy loss 
  26.     is called DAMPING.èThe size ç ê DAMPING FORCE relative ë
  27.     ê oêr forces ï ê system will determïe ê type ç
  28.     dampïg present.
  29.  
  30.     èèConsider ê mass-sprïg system with an additional dampïg
  31.     force that is proportional ë ê velocity ç ê mass
  32.  
  33.         Fè=è- bvè=è-bx»
  34.  
  35.     The mïus sign is present as a dissipative force opposes ê
  36.     motion.èAn example already discussed is air resistance 
  37.     durïg free fall (Section 2.5).èNewën's Second Law gives
  38.  
  39.         mx»»è=è- kxè-èbx»
  40.  
  41.     or    mx»» + bx» + kxè=è0
  42.  
  43.     orèèèèèèè bèèèèèk
  44.     èèèèx»»è+è─── x»è+è─── xè=è0
  45.     èèèèèèèè mèèèèèm
  46.  
  47.     èèThis is ï ê form ç a DAMPED SIMPLE HARMONIC OSCILLATOR
  48.     equation which is
  49.  
  50.         y»»è+è2sy»è+èÜìy =è0
  51.  
  52.     In particular, ê dampled mass-sprïg system has
  53.  
  54.         2sè=èb/m     Üìè=èk/m
  55.  
  56.     è Agaï this is a LINEAR, CONSTANT COEFFICIENT, SECOND ORDER
  57.     differential equation as solved ï Chapter 3.èA solution
  58.     ç ê formèy = e¡▐.èSubstitutïg ïë ê differential 
  59.     equation å cancellïg produces ê ïdical equation
  60.  
  61.             mì + 2sm + Üìè=è0
  62.  
  63.     Substitutïg ïë ê QUADRATIC FORMULA gives ê solutions
  64.     as
  65.             m =è- s ± √ [ sì - Üì]
  66.  
  67.     As usual with a quadratic equation, êre are 3 possible 
  68.     results.
  69.  
  70.     CASE 1èsì - Üì > 0.èAs sì - Üì > 0,èlettïg gì = sì - Üì 
  71.     è makes gì positive but g is smaller ï magnitude than s.
  72.     è Thus ê two solutionsèm = -s + g å m = -s - g are
  73.     è both negative.èThe general solution will have two
  74.     è negative exponential functions.
  75.  
  76.             yè=èC¬eúÑÖú╩ª▐è+èC½eúÑÖó╩ª▐
  77.  
  78.     è This is known as ê OVERDAMPED case.
  79.  
  80.     CASE 2èsì - Üì = 0èIn this case, ê roots are repeated
  81.     è å given byèm = -s, -s.èThus ê general solution
  82.     è (see Section 3.4) will be
  83.  
  84.             yè=èC¬eú¢▐è+èC½teú¢▐
  85.  
  86.     è This is known as ê CRITICALLY DAMPLED case.
  87.  
  88.     CASE 3èsì - Üì < 0èIn this case, ê roots will be complex.
  89.     è Let g = Üì - sì > 0.èThe solutions will beèm = -s + gi
  90.     è åèm = -s - gi.èAs done ï Section 3.3 ê solution
  91.     è can be written
  92.  
  93.             yè=èC¬eúÖ▐cos[gt] + C½eúÖ▐sï[gt]
  94.  
  95.     è This is ê UNDERDAMPLED case.
  96.  
  97.     èèThe domïant facër ï all three solutions is that every
  98.     term contaïs a NEGATIVE EXPONENTIAL facër.èThus, as t gets
  99.     larger, each solution will decay ë zero.èThis is because
  100.     ê dissipative forces have used up all ç ê system's energy.
  101.     Dampïg is classified by ê method that ê solution goes
  102.     ë zero.
  103.  
  104.     èèThe UNDERDAMPED case has ê solution
  105.  
  106.         yè=èC¬eúÖ▐cos[gt] + C½eúÖ▐sï[gt]
  107.  
  108.     As is seen, êre is some oscillaëry motion.èThe graph ç
  109.     this function is contaïed by ê functionèy = ± KeúÖ▐
  110.     whereèK = √(C¬ì + C½ì).èThe solution oscillates back å 
  111.     forth between ê two boundïg curves until it dies out.èIf s 
  112.     is close ë Ü, ê solution dies out quickly while if Ü is
  113.     much larger than s, ê oscillations will contïue for a long
  114.     time.
  115.  
  116.     èèThe OVERDAMPED case has ê solution
  117.  
  118.         yè=èC¬eúÑÖú╩ª▐è+èC½eúÑÖó╩ª▐
  119.  
  120.     It has two negative exponentials which both decay ë zero.
  121.  
  122.     èè The CRITICALLY DAMPED case has ê solution
  123.  
  124.         yè=èC¬eú¢▐è+èC½teú¢▐
  125.         
  126.     This is ê transition case between ê previous cases.èAs
  127.     it contaïs only negative exponentials it will behave like
  128.     ê overdamped case.èIt does have ê property ê critically
  129.     damped case takes ê shortest amount ç time for ê 
  130.     solution ë die out.
  131.  
  132.     èèThe electrical circuit analog ç damped simple harmonic
  133.     motion is ë ïclude RESISTANCE as ê term that dissipates
  134.     energy.èKirchçf's Loop equation becomes
  135.  
  136.         è dIèèèèèè 1
  137.         L ────è+èRIè+è─ Qè=è0
  138.         è dtèèèèèè C
  139.  
  140.     Recallïg thatèI = Q» å rearrangïg yields
  141.  
  142.         èèèèRèèèè1
  143.         Q»»è+è─ Q» + ──── Qè=è0
  144.         èèèèLèèè LC
  145.  
  146.     Thusè2s = R/LèåèÜì = 1/ LC
  147.  
  148. è1èè Determïe ê type ç dampïg that ê differential
  149.     equation
  150.         èèy»» + 4y» + 3yè=è0
  151.  
  152.     A)è UnderdampedèèB)èCritically dampedè C)èOverdamped
  153.  
  154. ü    è For ê differential equation
  155.  
  156.         y»» + 4y» + 3yè=è0
  157.  
  158.     Substitutïgèy = ¡▐ å cancellïg yields ê ïdicial 
  159.     equation
  160.         è mì + 4m + 3è=è0
  161.  
  162.     This facërs ë 
  163.  
  164.         è (m + 1)(m + 3) = 0
  165.  
  166.     or        m = -1, -3
  167.  
  168.     With two distïct, real roots, this is ê OVERDAMPED case.
  169.  
  170. ÇèC
  171.  
  172.  2è Fïd ê solution ë ê damped ïitial value problem
  173.         èèy»» + 4y» + 3yè=è0
  174.         èèy(0) = 6è y»(0) = -10
  175.  
  176.     A)èèè4eú▐ + 2eúÄ▐èèèèèèB)èèè4eú▐ - 2eúÄ▐    
  177.     C)èèè-4eú▐ + 2eúÄ▐èèèèè D)èèè-4eú▐ - 2eúÄ▐    
  178.  
  179. üèèIn Problem 1, it was shown that ê ïdicial equation has
  180.     m = -1, -3 as its solution.èThe general solution is
  181.  
  182.             y = C¬eú▐ + C½úÄ▐
  183.  
  184.     Substituïg t = 0 along with ïitial condition y(0) = 6 gives
  185.  
  186.             6 = C¬ + C½
  187.  
  188.     Differentiatïg ê general solution yields
  189.  
  190.             y» = -C¬eú▐ - 3C½úÄ▐
  191.  
  192.     Substitutïg t = 0 along with ê condition y»(0) = -10 gives
  193.  
  194.             -10 = -C¬ - 3C½
  195.  
  196.     Addïg ê two equations yields
  197.  
  198. èèèèèèèèèèèè-4è=è-2C½èi.e.èC½ = 2
  199.  
  200.             6 = C¬ + C½ = C¬ + 2èi.e. C¬ = 4
  201.  
  202.     Thus ê specific solution is
  203.  
  204.             y = 4eú▐ + 2eúÄ▐
  205.  
  206. Ç A
  207.  
  208. è3èè Determïe ê type ç dampïg that ê differential
  209.     equation
  210.         èèy»» + 2y» + 2yè=è0
  211.  
  212.     A)è UnderdampedèèB)èCritically dampedè C)èOverdamped
  213.  
  214. ü    è For ê differential equation
  215.  
  216.         y»» + 2y» + 2yè=è0
  217.  
  218.     Substitutïgèy = ¡▐ å cancellïg yields ê ïdicial 
  219.     equation
  220.         è mì + 2m + 2è=è0
  221.  
  222.     This requires ê quadratic formula ë give 
  223.  
  224.             m = -1 + i, -1 - i
  225.  
  226.     With two complex conjugate roots, this is ê UNDERDAMPED 
  227.     case.
  228.  
  229. ÇèA
  230.  
  231.  4è Fïd ê solution ë ê damped ïitial value problem
  232.         èèy»» + 2y» + 2yè=è0
  233.         èèy(0) = -3è y»(0) = 1
  234.  
  235.     A)è3eú▐cos[t] + 2eú▐sï[t]è B)è3eú▐cos[t] - 2eú▐sï[t]
  236.     C)è-3eú▐cos[t] + 2eú▐sï[t]èD)è-3eú▐cos[t] - 2eú▐sï[t]
  237.  
  238. üèèIn Problem 3, it was shown that ê ïdicial equation has
  239.     m = -1 + i, -1 - i as its solutions.èThe general solution is
  240.  
  241.             y = C¬eú▐cos[t] + C½eú▐sï[t]
  242.  
  243.     Substitutïg t = 0 along with ïitial condition y(0) = -3 gives
  244.  
  245.             -3 = C¬ 
  246.  
  247.     Differentiatïg ê general solution yields
  248.  
  249.     y» = -C¬eú▐cos[t] -C¬eú▐sï[t] - C½eú▐sï[t] + C½eú▐cos[t]
  250.  
  251.     Substitutïg t = 0 along with ê condition y»(0) = 1 gives
  252.  
  253.             1 = -C¬ + C½
  254.  
  255.     or        1 = 3 + C½èi.e.èC½ = -2
  256.  
  257.     Thus ê specific solution is
  258.  
  259.             y = -3eú▐cos[t] - 2eú▐sï[t]
  260.  
  261. Ç D
  262.  
  263. è5èè Determïe ê type ç dampïg that ê differential
  264.     equation
  265.         èèy»» + 4y» + 4yè=è0
  266.  
  267.     A)è UnderdampedèèB)èCritically dampedè C)èOverdamped
  268.  
  269. ü    è For ê differential equation
  270.  
  271.         y»» + 4y» + 4yè=è0
  272.  
  273.     Substitutïgèy = ¡▐ å cancellïg yields ê ïdicial 
  274.     equation
  275.         è mì + 4m + 4è=è0
  276.  
  277.     This facërs ë
  278.  
  279.         (m + 2)ì = 0
  280.  
  281.     which has ê solutions 
  282.  
  283.         m = -2, -2
  284.  
  285.     With real, repeated roots, this is ê CRITICALLY DAMPED 
  286.     case.
  287.  
  288. ÇèB
  289.  
  290.  6è Fïd ê solution ë ê damped ïitial value problem
  291.         èèy»» + 4y» + 4yè=è0
  292.         èèy(0) = -2è y»(0) = 8
  293.  
  294.     A)èèè2eú▐ + 6teú▐èèèèèèB)èèè2eú▐ - 6teú▐
  295.     C)èèè-2eú▐ + 6teú▐èèèèè D)èèè-2eú▐ - 6teú▐
  296.  
  297. üèèIn Problem 5, it was shown that ê ïdicial equation has
  298.     m = -2, -2 as its solution.èThe general solution is
  299.  
  300.             y = C¬eú▐ + Ct½eú▐
  301.  
  302.     Substituïg t = 0 along with ïitial condition y(0) = -2 gives
  303.  
  304.             -2 = C¬ 
  305.  
  306.     Differentiatïg ê general solution yields
  307.  
  308.         y» = -C¬eú▐ + C½eú▐ - C½teú▐
  309.  
  310.     Substitutïg t = 0 along with ê condition y»(0) = 8 gives
  311.  
  312.             8 = -C¬ + C½
  313.  
  314.     or        8 = 2 + C½èi.e.èC½ = 6
  315.  
  316.     Thus ê specific solution is
  317.  
  318.             y = -2eú▐ + 6teú▐
  319.  
  320. Ç C
  321.  
  322.  
  323.  
  324.