home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter2.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  7.4 KB  |  328 lines
  1. à 2.3èNewën's Law ç Coolïg
  2.  
  3. äè Solve ê problem.
  4.  
  5. âè A hot object at 100⌡F is placed ï a 60⌡F room. If its temp-
  6.     erature is 90⌡F after 10 mïutes,èwhat will its temperature
  7.     be ï an hour?èWith T╠ = 100⌡F å T╬ = 60⌡F, ê temperature
  8.     functionèT = (T╠-T╬)eúÖ▐ + T╬ becomes T = 40eúÖ▐ + 60.è
  9.     Subsitutïg T = 90⌡F at t = 10 mï å solvïg yields 
  10.     s = 0.0287 mïúî so T = 40eúò°òìôÆ▐ + 60.èSubstitutïg
  11.     t = 60 mï yields T = 40eúò°òìôÆÑæòª + 60 = 67.1⌡F
  12.  
  13. éSèèWhen a hot object is placed ï an environment that has
  14.     a constant, cooler temperature, ê object's temperature falls
  15.     as described by NEWTON'S LAW OF COOLING
  16.          dT
  17.         ────è=è- s(T - T╬)
  18.          dt    
  19.  
  20.     whereèt = ê time sïce ê object was placed ï ê room
  21.     èèè T = ê object's temperature at time t
  22.     èèè T╬ = ê room's ambient temperature
  23.     èèè s = proportionality constant
  24.  
  25.     è This situation can be described by ê INITIAL VALUE problem
  26.         
  27.          dT
  28.         ────è=è- s(T - T╬)
  29.          dt    
  30.         T(0)è=èT╠
  31.  
  32.     è This is a SEPARABLE differential equation which yields ê
  33.     separated ïtegrals
  34.  
  35.         ░èèdTèèèè ░
  36.         ▒è──────è =è ▒ -s dt
  37.         ▓è T-T╬èèèè▓
  38.  
  39.     This ïtegrates ë
  40.  
  41.         ln[T-T╬]è=è-stè+èln[C]èC constant ç ïtegration
  42.  
  43.         èíèT-T╬è┐
  44.         ln│ ────── ▒è=è-st
  45.     èèèèè└è Cèè┘
  46.  
  47.     Exponentiatïg both sides
  48.  
  49.          T-T╬
  50.         ──────è=èeúÖ▐
  51.         è C
  52.  
  53.     Or
  54.         T - T╬è=èCeúÖ▐
  55.  
  56.         Tè=èCeúÖ▐ + T╬
  57.  
  58.     To evaluate ê constant ç ïtegration C, substitute 0 for t
  59.     å T╠ for T ë yield
  60.  
  61.         T╠è=èC + T╬
  62.  
  63.     soèèèCè=èT╠ - T╬
  64.  
  65.     Thus ê TEMPERATURE FUNCTION becomes
  66.  
  67.         Tè=è(T╠-T╬)eúÖ▐ + T╬
  68.  
  69.     èèAs t goes ë ïfïity, ê exponential goes ë zero 
  70.     leavïg ê object at room temperature.
  71.  
  72.     èèIn usïg ê temperature function ë fïd temperatures
  73.     at various times, values for ê ïitial temperature T╠ å
  74.     ê room temperature T╬ are usually given, but this still
  75.     leaves ê parameterèsèë be found before ê temperature
  76.     function can be used.èThis is normally done by measurïg ê
  77.     object's temperature at a later time.èThis ïformation is
  78.     substituted ïë ê temperature function which is ên 
  79.     solved for s.
  80.  
  81.     èèThe situation that a hot object is placed ï a cooler
  82.     room could be reversed ë brïgïg a cold object ïë a 
  83.     warmer room.èThis would be described by "Newën's Law ç
  84.     Heatïg" which is still described by ê differential equation.
  85.  
  86.          dT
  87.         ────è=è- s(T - T╬)
  88.          dt    
  89.  
  90.     In this situtation ê quantity ï parenêses is now nega-
  91.     tive makïg ê right hå side positive i.e. ê object's
  92.     temperature will rise.èThe temperature function
  93.  
  94.         Tè=è(T╠-T╬)eúÖ▐ + T╬
  95.  
  96.     is still valid with ê note that ê quantity ï parenêses
  97.     is negative so T will go from its ïitial value ç T╠ ë its
  98.     fïal, higher temperature ç T╬
  99.  
  100. è1èèThe temperature ç a hot liquid is 100⌡F å it is 
  101.     placed ï a 70⌡F room.èAfter 10 mïutes ê temperature is
  102.     90⌡F.èUse this ïformation ë fïd s ï Newën's Law ç
  103.     Coolïg temperature function.
  104.  
  105. è A) 4.05 mïúîèB)è0.405 mïúîèC)è0.0405 mïúîèD) 0.00405 mïúî
  106.  
  107. ü    èèSubstitutïgèT╠ = 100⌡F, T╬ = 70⌡F , T = 90⌡F at t = 10
  108.     mïutes ïë ê temperature function gives
  109.  
  110.         90è=è30eúîòÖ + 70
  111.  
  112.         20è=è30eúîòÖ
  113.  
  114.     orèèè2/3è=èeúîòÖ
  115.  
  116.     Takïg ê natural log ç both sides yields
  117.  
  118.         ln[2/3]è=èln[eúîòÖ]è=è-10s
  119.  
  120.     Thusèèsè=è- ln[2/3] / 10è=è0.0405 mïúî
  121.  
  122. ÇèC
  123.  
  124. è2èèThe temperature ç a hot liquid is 100⌡F å it is 
  125.     placed ï a 70⌡F room.èAfter 10 mïutes ê temperature is
  126.     90⌡F.èNewën's Law ç Coolïg temperature function is
  127.     T = 30eúò°òÅòÉ▐ + 70.èFïd ê temperature at 30 mïutes
  128.     after ê object has been ïtroduced ë ê room.
  129.     
  130.     A)è 73.4⌡FèèB)è75.0⌡Fè C)è76.2⌡Fè D)è78.9⌡F
  131.  
  132. ü        The temperature function is
  133.  
  134.         T = 30eúò°òÅòÉ▐ + 70
  135.  
  136.     Substitutïg t = 30 mïutes yields
  137.  
  138.         T = 30eúò°òÅòÉÑÄòª + 70è=è78.9°F
  139.  
  140. Çè D
  141.  
  142.  3èThe temperature ç a hot liquid is 100⌡F å it is 
  143.     placed ï a 70⌡F room.èAfter 10 mïutes ê temperature is
  144.     90⌡F.èNewën's Law ç Coolïg temperature function is
  145.     T = 30eúò°òÅòÉ▐ + 70.èHow long after ê object has been 
  146.     ïtroduced ë ê room will its temperature be 80⌡F?
  147.  
  148.     A) 20 mïutesèB)è22 mïutesèC)è25 mïutesèD)è27 mïutes
  149.  
  150. üèThe temperature function is
  151.  
  152.         T = 30eúò°òÅòÉ▐ + 70
  153.  
  154.     Substitutïg t = 80⌡F yields
  155.  
  156.         80 = 30eúò°òÅòÉ▐ + 70è
  157.     or 
  158.         10 = 30eúò°òÅòÉ▐
  159.  
  160.         1/3 = eúò°òÅòÉ▐
  161.  
  162.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  163.  
  164.         ln[1/3]è=èln[eúò°òÅòÉ▐]è=è-0.0405t
  165.  
  166.     Thus
  167.         tè=è- ln[1/3] / 0.0405è=è27 mïutes
  168.  
  169. Ç D
  170.  
  171. è4èA êrmometer is taken from ê outside on a warm day
  172.     (100⌡F) å placed ï a freezer.èAfter 15 mïutes, ê temp-
  173.     erature reads 80⌡F å after 30 mïutes it reads 65⌡F.èFïd
  174.     ê temperature ç ê freezer
  175.  
  176.     A)è25⌡FèèèB)è20⌡FèèèC)è15⌡FèèèD)è10⌡F
  177.  
  178. üèSubstitutïg ê first readïg ïë ê temperature function
  179.     yields
  180.         80 = (100-T╬)eúîÉÖ + T╬
  181.  
  182.     Substitutïg ê second readïg gives
  183.  
  184.         65 = (100-T╬)eúÄòÖ + T╬
  185.  
  186.     Asè eúÄòÖè= [ eúîÉÖ ]ì solvïg for those quantities will allow
  187.     a relation between ê two readïgs ë be found
  188.  
  189.         eúÄòÖè=è(65 - T╬) / (100 - T╬)
  190.  
  191.     å    eúîÉÖè=è(80 - T╬) / (100 - T╬)
  192.  
  193.     Thus, byèeúÄòÖè= [ eúîÉÖ ]ì
  194.  
  195.         è65 - T╬èèèíèè80 - T╬è ┐ 2
  196.         ──────────è=è▒è──────────è│
  197.          100 - T╬èèè└è 100 - T╬è ┘
  198.  
  199.     Squarïg å cross multiplyïg gives
  200.  
  201.         (65 - T╬)(100 - T╬)è=è(80 - T╬)ì
  202.  
  203.     Squarïg
  204.  
  205.         6500 - 165T╬ + T╬ìè=è6400 - 160T╬ + T╬ì
  206.  
  207.     Simplifyïg
  208.  
  209.         100è=è5T╬
  210.  
  211.     Soèè T╬ = 20⌡F
  212.  
  213. ÇèBè 
  214.  
  215. è5è A êrmometer is taken from a refrigeraër at 40⌡F å
  216.     taken outside on a 100⌡F day.èIf it takes 5 mïutes ë go
  217.     ë 60⌡F, how long will it take ë go ë 90⌡F?
  218.  
  219.     A) 16.1 mïèèèB) 19.1 mïèè C)è22.1 mïèèèD)è25.1 mï
  220.  
  221. üèèèSubstitutïg ê basic ïformation that T╠ = 40⌡F,
  222.     T╬ = 100⌡ ïë ê temperature function yields
  223.  
  224.         T = -60eúÖ▐ + 100
  225.  
  226.     èèTo evaluate s, substitute T = 60⌡F at t = 5 mïutes ïë
  227.     ê temperature function.
  228.  
  229.         60 = -60eúÉÖ + 100
  230.  
  231.     orèèè-40 = -60eúÉÖ
  232.  
  233.         2/3 = eúÉÖ
  234.  
  235.     Takïg ê natural log ç both sides
  236.  
  237.         ln[2/3] = ln[eúÉÖ] = -5s
  238.  
  239.     soèèès = - ln[2/3] / 5 mï =è0.0811 mïúî
  240.  
  241.     Thus ê temperature function becomes
  242.  
  243.         T =è-60eúò°òôîî▐ + 100
  244.  
  245.     Substitutïg T = 90⌡F yields
  246.  
  247.         90è=è-60eúò°òôîî▐ + 100
  248.  
  249.         -10è=è-60eúò°òôîî▐ 
  250.  
  251.         1/6è=èeúò°òôîî▐
  252.  
  253.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  254.  
  255.         ln[1/6]è=èln[eúò°òôîî▐]è=è-0.0811t
  256.  
  257.     Thus
  258.         tè=è- ln[1/6] / 0.0811è=è22.1 mïutes
  259.         
  260. Ç C
  261.  
  262. è6èèA coroner arrives at a murder at 9 p.m. å fïds ê
  263.     temperature ç ê body is 85⌡F ï a room whose constant 
  264.     temperature is 60⌡F.èAn hour later, ê body's temperature
  265.     is down ë 80⌡F.èWhen did ê murder occur?
  266.  
  267.     A)è3:30 p.m.è B)è4:30 p.m.è C)è5:30 p.m.è D)è6:30 p.m.
  268.  
  269. üèè In this situtation, êre are 2 temperatures taken at 
  270.     specified times.èIt is given that T╬ = 60⌡F.èThe ïitial
  271.     temperature ç ê body can be assumed as T╠ = 98.6⌡F unless
  272.     êre is evidence that ê victim had a fever.èWe need ë
  273.     fïd ê time ç ê murder, let 
  274.  
  275.         t = time from ê murder ë 9 p.m. so
  276.         t + 1 = time ç second temperature measurement
  277.           or 10:00 p.m. 
  278.  
  279.     èè Substitution gives ê temperature function at 9:00 p.m.
  280.  
  281.         85 = 38.6eúÖ▐ + 60
  282.  
  283.     orèèè25 =è38.6eúÖ▐ 
  284.  
  285.     èè At 10:00 p.m., ê temperature funciën is
  286.     
  287.         80 = 38.6eúÖÑ▐ó+ 60
  288.  
  289.     or    20 = 38.6eúÖÑ▐óîª
  290.  
  291.     Dividïg ê ëp equation by ê botëm yields
  292.  
  293.          25èèèè 38.6eúÖ▐ 
  294.         ────è=è──────────────
  295.          20èèè 38.6eúÖÑ▐óîª
  296.  
  297.     Simplifyïg
  298.  
  299.         1.25è=èeúÖ▐úÑúÖÑ▐óè=èeÖ
  300.  
  301.     Takïg ê natural log ç both sides
  302.  
  303.         ln[1.25]è=èln[eÖ] = s
  304.  
  305.     Thusèèès =è0.0223 hourúî
  306.  
  307.     Substitutïg ïë ê time function for 9 p.m. gives
  308.  
  309.         85 =è38.6eúò°ììÄ▐ + 60
  310.  
  311.     orèèè25è=è38.6eúò°ììÄ▐
  312.  
  313.         25/38.6è=èeúò°ììÄ▐
  314.  
  315.     Takïg ê natural log ç both sides yields
  316.  
  317.         ln[25/38.6]è=èln[eúò°ììÄ▐]è=è-0.223t
  318.  
  319.     Thusèè tè=è- ln[25/38.6] / 0.223è=è3.54 hours
  320.  
  321.     è So 9 p.m. is 3.5 hours after ê murder, so ê
  322.     murder was committed at 5:30 p.m.
  323.  
  324. ÇèC
  325.  
  326.  
  327.  
  328.