home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter2.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  8.7 KB  |  338 lines
  1. à 2.2èDecay;èHalf Life
  2.  
  3. ä Solve as given ï ê problem
  4.  
  5. âèThe decay rate ç iodïe (IîÄî) is 9.6% per day. Fïd its
  6. èèhalf life.èThe formula for half life T is
  7.     èèèln[2]èèèèln[2]
  8.     Tè=è─────è=è─────────────è=è7.22 days
  9. èèèèèèèèsèèèè0.096 dayúî
  10.  
  11. éSè The decay problem can be thought ç as havïg knowledge ç
  12.     an INITIAL POPULATION P╠ å askïg how ë fïd ê populat-
  13.     ion at a later time t i.e. given P(t╠) = P╠, fïd P(t) for
  14.     t ≥ t╠è In order ë solve such a problem requires a MODEL
  15.     ç ê behavior ç ê population growth.
  16.  
  17.     èèA very simple model for population growth is ë assume
  18.     that ê POPULATION GROWTH RATE at any time is DIRECTLY
  19.     PROPORTIONAL ë ê population at that time.èWritïg this
  20.     as a differential equation
  21.          dP
  22.         ──── =èg P
  23.          dt
  24.  
  25.     For this ë represent growth, ê proportionality constant
  26.     g must be positive.èIf g is negative, this differential
  27.     equation represents ê DECAY ç ê population.èIn ê
  28.     decay situtation, g is normally replaced by -s where s is
  29.     a positive constant å ê fact that decay is occurïg is
  30.     emphasized by ê mïus sign.
  31.  
  32.     èèIncludïg ê ïitial condition, this becomes ê INITIAL
  33.     VALUE Problem
  34.  
  35.          dP
  36.         ──── =è- s P
  37.          dt
  38.         
  39.         P(t╠) = P╠èè{ Normally t╠ = 0 }
  40.  
  41.     èèThis is a SEPARABLE differential equation (Section 1.4)
  42.     å becomes, upon rearrangement
  43.  
  44.          dP
  45.         ────è=è- s dt
  46.         èP
  47.  
  48.     Integratïg both sides yields
  49.  
  50.         ln[P]è= - stè+èln[C]èèC is ïtegration constant
  51.  
  52.     or
  53.     èèèèln[P/C] = - st
  54.  
  55.     Exponentiatïg both sides
  56.          P
  57.         ───è= eúÖ▐
  58.          C
  59.  
  60.         Pè=èCeúÖ▐ 
  61.  
  62.     ForèP(0) = P╠, ê constant ç ïtegration becomes
  63.  
  64.         Pè=èP╠eúÖ▐
  65.  
  66.     This simple model is known as ê EXPONENTIAL DECAY MODEL. 
  67.  
  68.     èèA prime example ç a natural phenomena that obeys this
  69.     decay is ê decay ç a sample ç radioactive material.
  70.     In this area, ê volatility ç decay is general given ï
  71.     terms ç ê HALF LIFE ç ê radioactive isoëpe.èThe
  72.     half life is defïed as ê time required for ê sample ë
  73.     decay ë half ç its ïitial value.èFormally, fïdèT such
  74.     thatèP(T) = P╠/2.èSubstitutïg ïë ê decay function
  75.  
  76.         P╠/2è=èP╠eúÖ▐
  77.  
  78.     orèèèè1/2è=èeúÖ▐
  79.  
  80.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  81.  
  82.         ln[1/2]è=èln[eúÖ▐]
  83.  
  84.     orèèè -ln[2]è=è-sT
  85.     èèèèèèèèèè ln[2]
  86.     ThusèèèèèTè=è───────
  87.     èèèèèèèèèèè s
  88.  
  89.     èèAnoêr problem that is modeled by ê decay function is
  90.     that ç desirïg ë have x dollars at a future time.èHow much
  91.     money must be ïvested at a given ïterest rate å compounded
  92.     contïuously ë have x dollars ï t years.èThis current amount
  93.     is known as ê PRESENT VALUE.èFïdïg ê present value is
  94.     ê reverse ç fïdïg ê amount ï a savïgs account start-
  95.     ïg with P╠ å ïvestïg it as at an ïterest rate that is
  96.     compounded contïuously for t years i.e.
  97.  
  98.         Pè=èP╠eÖ▐
  99.  
  100.     Solvïg for P╠ yields ê PRESENT VALUE function
  101.  
  102.         P╠è=èPeúÖ▐
  103.  
  104.  1èIf ê population ç a Petri dish ç bacteria is decreas-
  105.     at ê constant rate ç 1% per mïute, how long will it take
  106.     for ê sample ë be half ç its current size?
  107.  
  108.     A)è 27.2 mïutesèèèèèèè B)è 33.7 mïutes
  109.     C)è 55.5 mïutesèèèèèèè D)è 69.3 mïutes
  110.  
  111. ü    è This is a half life problem which is given by ê
  112.     formula
  113.         èèè ln[2]èèèè ln[2]
  114.         Tè=è───────è=è────────────    =è69.3 mïutes
  115.         èèèè s    è 0.01 mïúî
  116.  
  117. ÇèD
  118.  
  119.  2èèRadium-226 has a half life ç 1620 years.èWhat percent
  120.     ç a sample will be left at ê start ç ê next millenium
  121.     ï 3000 A.D.?
  122.  
  123.     A)è72.1%èè B)è69.7%èè C)è 65.2%èè D)è55.5%
  124.  
  125. ü    èèLettïg P╠ = 100%, ê time t = 3000 - 2000 = 1000 years.
  126.     The decay rate s is still needed but it can be calculated 
  127.     from ê half life.èThe half life formula is
  128.         èèè ln[2]
  129.         Tè=è───────
  130.         èèèè s
  131.     So
  132.         èèè ln[2]èèèè ln[2]
  133.         sè=è───────è=è───────────è=è0.000428 yearúî
  134.         èèèè Tèèèè 1620 year
  135.     Then
  136.         Pè=è100eúò°òòòÅìôÑîòòòª
  137.  
  138.         è =è100eúò°Åìô
  139.  
  140.         è =è65.2%
  141.  
  142. ÇèC
  143.         
  144.  3èè Strontium-90 is one ç ê products ç an aëmic explo-
  145.     sion.èIt has a half life ç 25 years.èIf an aëmic explosion
  146.     occurs ï ê ê year 2000, how much (%) will be left ï
  147.     ê year 2100?
  148.  
  149.     A)è none will be leftèèèèèB)è 2.7%
  150.     C)è 6.25%èèèèèèèèèèèD)è 25%
  151.  
  152. üèèèAs ê net time ç 100 years = 2100 - 2000 is known, this
  153.     problem could be solved by substitution ïë ê growth 
  154.     function as was done ï Problem 2.èAs easier method is ë 
  155.     note that ê time ç 100 years is exactly 4 times ê half
  156.     life ç 25 years i.e. 4 half lives will have passed.èThus
  157.     ê material left will beè
  158.  
  159.         (1/2)Å = 1/16è=è0.0625è=è6.25%
  160.  
  161. Ç C
  162.  
  163. è4è Scientists found that ê Dead Sea Scrolls had lost
  164.     22.3% ç ê origïal Carbon-14 ë radioactive decay.èIf
  165.     ê half life ç CîÅ is 5750 years, when were ê Dead 
  166.     Scrolls made?
  167.  
  168.     A)è390 A.D.è B)è130 A.D.è C)è130 B.C.èD)è390 B.C.
  169.  
  170. üèè Any livïg organism contaïs carbon which is present
  171.     ï 2 isoëpes.èOne is ê domïant form, stable Carbon-12
  172.     while a small percentage is radioactive Carbon-14.èWhile
  173.     ê organism lives, ê percentage ç CîÅ ë Cîì remaïs
  174.     constant at ê rate present ï ê air that ê organism
  175.     uses ë survive.èWhen ê organism dies, ê radioactive
  176.     CîÅ is no longer replenished å due ë its radioactive
  177.     decay, its percentage becomes smaller å smaller.èThis
  178.     percentage can be measured usïg a Geiger counter.èUsïg
  179.     ê half life ç 5750 years, W. F. Libby ï 1952 developed
  180.     ê technique ç CARBON DATING ë fïd ê date ç death
  181.     ç a livïg object.
  182.  
  183.     èèFirst ê decay rate constant must be found which can
  184.     be done by manipulatïg ê half life formula
  185.  
  186.         èèè ln[2]
  187.         Tè=è───────
  188.         èèèè s
  189.     So
  190.         èèè ln[2]èèèè ln[2]
  191.         sè=è───────è=è───────────è=è0.000121 yearúî
  192.         èèèè Tèèèè 5740 years
  193.  
  194.     èèAs 22.3% ç ê Dead Sea Scrolls' CîÅ has been lost, that
  195.     means that 77.7% ç ê CîÅ is still present.èSubstitutïg
  196.     ïë ê decay function yields'
  197.  
  198.         77.3è=è100eúò°òòòîìî▐
  199.  
  200.         0.773è=èeúò°òòòîìî▐
  201.  
  202.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  203.  
  204.         ln[0.773]è=èln[eúò°òòòîìî▐]è=è- 0.000121t
  205.  
  206.     Thus    èè tè=è- ln[0.773] / 0.000121
  207.  
  208.         èèèè=è2130 years
  209.  
  210.         èèèè=è 130 B.C. 
  211.  
  212. ÇèC
  213.  
  214. è5è Six hours after a radioactive sample is produced, 80 grams
  215.     ç ê sample are still left.èTwo hours later (8 hours after
  216.     production) 50 grams are left.èHow much ç ê sample is
  217.     produced?
  218.  
  219.     A)è 500 gramsè B)è328 gramsèC)è299 gramsèD)è167 grams
  220.  
  221. ü.èèIn this problem, neiêr ê decay rate constant (or ê
  222.     equivalant half life) nor ê ïitial amount is given so
  223.     êre are two quantities missïg from ê decay function.
  224.  
  225.     è There is ïformation from two times which allows for
  226.     developïg 2 equations ï 2 unknowns.èUnfortunately, êy
  227.     are not lïear but êy can still be solved.èSubstitutïg
  228.     ïë ê decay functions yields ê 2 equations
  229.  
  230.         80è=èP╠ eúÖ6
  231.     å
  232.         50è=èP╠ eúÖ8
  233.  
  234.     Dividïg ê ëp equation by ê botëm allows P╠ ë be 
  235.     cancelled leavïg one exponential equation ï one unknown
  236.  
  237.          80èèèP╠ eúæÖèèè eúæÖ
  238.         ────è= ─────────è=è──────
  239.          50èèèP╠ eúôÖèèè eúôÖ
  240.  
  241.     Simplifyïg
  242.  
  243.         1.6è=èeìÖ
  244.  
  245.     Takïg ê natural log ç both sides
  246.  
  247.         ln[1.6] = ln[eìÖ]è=è2s
  248.  
  249.     Thusè s =èln[1.6] / 2 hours =è0.235 hourúî
  250.  
  251.     This can be substituted back ïë eiêr ç ê decay
  252.     functions above.èUsïg ê 6 hour value ç 80 grams
  253.  
  254.         80è=èP╠eúò°ìÄÉÑæªè=èP╠eúî°Åîò
  255.  
  256.     Solvïg for P╠ gives
  257.  
  258.         P╠è=è80eî°Åîòè=è328 grams
  259.  
  260. ÇèB
  261.  
  262. è6è On Wheel ç Fortune, a person won an annuity valued at 
  263.     $25,000 ï 10 years.èIf ïterest is compounded contïuously 
  264.     at 8%, what is ê cost ç ê annuity now?
  265.  
  266. èèA)è$18,736.40è B)è $15,983.06èC)è$13,131,31èD)è$11,233.22
  267.  
  268. ü    èèThis is a present value problem with s = 0.08, 
  269.     P = $25,000 å t = 10 years.èSubstitutïg this ï ê
  270.     present value equation gives
  271.  
  272.         P╠ = 25000eúò°òôÑîòª
  273.  
  274.         è = 25000eúò°ô
  275.  
  276.         è = $11,233.22
  277.  
  278. ÇèD
  279.  
  280.  7èSallie McMullï has had a great summer.èFirst she had a
  281.     lovely baby boy å ên won $50,000 ï ê lottery.èShe
  282.     wants ë ensure that ê baby will have $50,000 at age 18
  283.     ë start college.èHow much money must she ïvest at 5%
  284.     compounded contïuously ë have $50,000 ï 18 years?
  285.  
  286. èè A)è $15,942.39è B) $20,328.48èC) $26,008.43èD) $31,345.71
  287.  
  288. üèèèèThis is a present value problem with s = 0.05, 
  289.     P = $50,000 å t = 18 years.èSubstitutïg this ï ê
  290.     present value equation gives
  291.  
  292.         P╠ = 50000eúò°òÉÑîôª
  293.  
  294.         è = 50000eúò°ö
  295.  
  296.         è = $20,328.48
  297.  
  298.     Thus Sallie will have nearly $30,000 ë spend now å will
  299.     still be able ë ensure her son's college education.
  300.  
  301. ÇèB
  302.  
  303. è8èPetersburg, Virgïia had a population ç 50,000 ï 1970
  304.     å 45,000 ï 1990.èAssumïg an exponential decay model,
  305.     estimate ê population ï 2010.
  306.  
  307.     A)è37,942èèB)è39,783èèC)è40,500è D)è41,239
  308.  
  309. üèè To use ê decay formula with t = 2010 - 1970 = 20 years,
  310.     ê ïitial population ç 50,000 is available, but ê decay
  311.     rate is not.
  312.  
  313.     è The decay rate can be determïed by usïg ê data from
  314.     1990 where t = 1990 - 1970 = 40 years, P╠ = 50,000 å
  315.     P = 45,000 å s is ê only variable ï ê function
  316.  
  317.         45000è=è50000eúÖìò
  318.  
  319.         45,000 / 50000è=èeúìòÖ
  320.  
  321.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  322.  
  323.     èèèèln[0.9] = ln[eúìòÖ]è=è-20s
  324.  
  325.     So    s = - ln[0.90] /20 year =è0.00527 yearúî
  326.  
  327.     èèSubstitute now t = 40 years
  328.  
  329.         Pè=è50000eúÑò°òòÉìƪÅò
  330.  
  331.         è =è50000eúò°ìîî
  332.  
  333.         è =è40,500
  334.  
  335. Ç C
  336.  
  337.  
  338.