home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.5p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  10.8 KB  |  514 lines
  1. à 1.5èFirst Order Exact Differential Equations
  2. äèèDetermïe if ê differential equation is EXACT
  3. â    è For    è xìyÄ dx +èxÄyì dy = 0
  4.         (xìyÄ)╤ = 3xìyì
  5.         (xÄyì)╨ = 3xìyì
  6.     As êse partial derivatives are equal, this is an EXACT first
  7.     order differential equation.
  8. éS    èèA first order differential equation is said ë be EXACT    
  9.     if, when written ï ê form
  10.  
  11.         M(x,y) dxè+èN(x,y) dyè=è0,
  12.  
  13.     ê followïg PARTIAL DERIVATIVE equation holds
  14.  
  15.         M╤(x,y)è=èN╨(x,y)
  16.  1    3xìy dxè+èxÄ dyè=è0
  17.  
  18.  
  19.  
  20.     A)    EXACT        B)    not EXACT
  21. ü        Forè3xìy dxè+èxÄ dyè=è0
  22.  
  23.         (3xìy)╤è=è3xì
  24.  
  25.         (xÄ)╨è=è3xì
  26.  
  27.         As êse are equal, ê differential equation is 
  28.         EXACT.
  29. ÇèA
  30.  2    Forèxìy dxè-èxìy dyè=è0
  31.  
  32.  
  33.  
  34.     A)    EXACT        B)    not EXACT
  35. ü        Forèxìy dxè-èxìy dyè=è0
  36.  
  37.         (xìy)╤è=èxì
  38.  
  39.         (-xìy)╨è=è-2xy
  40.  
  41.         As êse are NOT equal, ê differential equation is 
  42.         NOT EXACT.
  43. ÇèB
  44.  3    cos[x]cos[y] dxè-èsï[x]sï[y] dyè=è0
  45.  
  46.  
  47.  
  48.     A)    EXACT        B)    not EXACT
  49. ü        Forècos[x]cos[y] dxè-èsï[x]sï[y] dyè=è0
  50.  
  51.         (cos[x]cos[y])╤è=è-cos[x]sï[y]
  52.  
  53.         (-sï[x]sï[y])╨è= -cos[x]sï[y]
  54.  
  55.         As êse are equal, ê differential equation is 
  56.         EXACT.
  57. ÇèA
  58.  4    ye╣╝è+èy(x+1)e╣╝ y»è=è0
  59.  
  60.  
  61.  
  62.     A)    EXACT        B)    not EXACT
  63. ü        Forèye╣╝è+èy(x+1)e╣╝ y»è=è0
  64.  
  65.         (ye╣╝)╤è=èe╣╝ + y(xe╣╝) = (1 + xy)e╣╝
  66.  
  67.         (y(x + 1)e╣╝)╨è= ye╣╝ + y(x + 1)xe╣╝
  68.  
  69.                 = [1 + x + xì]ye╣╝
  70.  
  71.         As êse are NOT equal, ê differential equation is 
  72.         NOT EXACT.
  73. ÇèB
  74. äèèFïd ê general solution
  75. â    è Forè2xy dx + (xì + yì) dy = 0, (2xy)╤ = 2x = (xì + yì)╤
  76.     so it is EXACT.èIntegratïg 2xy partially with respect ë x
  77.     yieldsèg(x,y) = xìy + h(y).èDifferentiatïg partially with
  78.     respect ë y å equatïg ë xì + yìè=èxì + h»(y).
  79.     Thusèh»(y) = yì.èIntegratïg this yieldsèh(y) = yÄ/3 
  80.     The general solution is
  81.          xìy + yÄ/3 = C
  82. éSè Letè        g(x,y) =èCèè
  83.  
  84.     be ê general solution ç ê EXACT differential equation
  85.  
  86.         M(x,y) dxè+èN(x,y) dyè=è0
  87.     
  88.     Usïg ê chaï rule ë differentiate ê solution yields
  89.                 è dy
  90.         g╨(x,y) + g╤(x,y) ────è=è0
  91.                 è dx
  92.  
  93.     or splittïg ïë differentials
  94.  
  95.         g╨(x,y) dxè+èg╤(x,y) dyè=è0
  96.  
  97.     As long as g(x,y) satisfies ê usual differentiability 
  98.     conditions, ê EQUALITY OF CROSS PARTIAL DERIVATIVES requires
  99.     that
  100.         g╨╤(x,y) = g(x,y)╤╨
  101.     è
  102.     This can be translated, ï terms ç ê differential
  103.     equation ë be solved, ë give ê requirement that ê
  104.     differential equation be exact only if
  105.  
  106.         M(x,y)╤ = N(x,y)╨
  107.  
  108.     èèThis also leads ë ê two step process for solvïg an
  109.     EXACT differential equation.
  110.  
  111.     èèFirst, asèM(x,y) is ê partial derivative with respect
  112.     ë x ç g(x,y) we can partially ïtegrate M(x,y) with respect
  113.     ë x ë give
  114.             è░
  115.     1)    g(x,y) =è▒èM(x,y) dxè+èh(y)
  116.             è▓
  117.     It should be noted that ïstead ç ê usual constant ç 
  118.     ïtegration from a ïtegration ç a function ç a sïgle
  119.     variable, êre is a function ç y alone i.e.èh(y).èThis
  120.     is necessary as a partial differentiation with respect ë x
  121.     will differentiate any function ç y alone ë zero.
  122.  
  123.     è The second step is ë evaluate h(y).èDifferentiatïg
  124.     Equation 1)èpartially with respect y ë yield
  125.             èè┤è ░
  126.         g(x,y)╤è=è──è▒ M(x,y) dxè+èh'(y)
  127.             èè┤yè▓
  128.  
  129.     By ê defïition ç an exact equation, it is also true
  130.     that
  131.         g(x,y)╤è=èN(x,y)
  132.  
  133.     Equatïg êse two expression å rearrangïg yields a
  134.     differential equation forèh(x)
  135.                 èè ┤è ░
  136.         h»(y)è=èN(x,y)è-è──è▒èM(x,y) dx
  137.                 èè ┤xè▓
  138.  
  139.     This differential equation is generally easily solved by
  140.     partial ïtegration with respect ë y å will yield ê 
  141.     general solution
  142.         è    è░
  143.         g(x,y) =è▒èM(x,y) dxè+èh(y)
  144.             è▓
  145.     The constant ç ïtegration will be part ç h(y)
  146.  
  147.     èè Consider ê differential equation
  148.  
  149.         2xy dxè+è(xì + yì) dyè=è0
  150.  
  151.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  152.  
  153.         M╤ = (2xy)╤ = 2x = (xì + yì)╨ = N╨
  154.  
  155.     Integratïg M paratially with respect ë x
  156.             è░
  157.         g(x,y) =è▒è2xy dxè+èh(y)
  158.             è▓
  159.  
  160.         èèè =è xìy + h(y)
  161.  
  162.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  163.     ë N(x,y) yields
  164.  
  165.         xì + h»(y)è=èxì + yì
  166.     Thus
  167.         h»(y) = yì
  168.     So        ░
  169.         h(y) =è▒èyì dy
  170.             ▓
  171.         
  172.         èè =èyÄ/3 
  173.  
  174.     Thus ê general solution is
  175.  
  176.         xìy + yÄ/3 = C    
  177.  
  178.     èèIt should be noted that ê two step procedure could have
  179.     been done ï ê opposite order i.e. first partially ïte-
  180.     gratïg with respect ë x å ên with respect ë y.èIn some
  181.     cases, ê reversal ç order may make for easier computations.
  182.  5è    -y dx + (yì - x) dyè=è0
  183.  
  184.     A)    xy + xÄ/3 = C
  185.     B)    xy - xÄ/3 = C
  186.     C)    -xy + xÄ/3 = C
  187.     D)    -xyì - xÄ/3 = C
  188. üè For    -y dx + (yì - x) dyè=è0
  189.  
  190.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  191.  
  192.         M╤ = (-y)╤ = -1 = (yì - x)╨ = N╨
  193.  
  194.     Integratïg M paratially with respect ë x
  195.             è░
  196.         g(x,y) =è▒è-y dxè+èh(y)
  197.             è▓
  198.  
  199.         èèè =è -xy + h(y)
  200.  
  201.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  202.     ë N(x,y) yields
  203.  
  204.         -x + h»(y)è=èyì - x
  205.     Thus
  206.         h»(y) = yì
  207.     So        ░
  208.         h(y) =è▒èyì dy
  209.             ▓
  210.         
  211.         èè =èyÄ/3 
  212.  
  213.     Thus ê general solution is
  214.  
  215.         -xy + yÄ/3 = C
  216. ÇèC
  217.  6    (xì - yì)è-è2xy y»è=è0 
  218.  
  219.     A)    xÄ/3 + xyì = C
  220.     B)    xÄ/3 - xyì = C
  221.     C)    xÄ/3 + xìy = C
  222.     D)    xÄ/3 - xìy = C
  223. üè For    (xì - yì)è-è2xy y»è=è0 
  224.  
  225.     Rearrangïg
  226.  
  227.         (xì - yì) dxè-è2xy dyè=è0 
  228.         
  229.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  230.  
  231.         M╤ = (xì - yì)╤ = -2y = (-2xy)╨ = N╨
  232.  
  233.     Integratïg M paratially with respect ë x
  234.             è░
  235.         g(x,y) =è▒è(xì - yì) dxè+èh(y)
  236.             è▓
  237.  
  238.         èèè =è xÄ/3 - xyì + h(y)
  239.  
  240.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  241.     ë N(x,y) yields
  242.  
  243.         -2xy + h»(y)è=è-2xy
  244.     Thus
  245.         h»(y) = 0
  246.  
  247.     So ïtegratïg partially with respect ë y will brïg NO
  248.     new parts ç ê solution å.
  249.  
  250.     Thus ê general solution is
  251.  
  252.          xÄ/3è- xyì = C        
  253. ÇèB
  254.  7    (2x + 3y + 4) dxè+è(3x - 2y - 1) dyè=è0
  255.  
  256.     A)    xì + 3xy + 4x + yì + y = C
  257.     B)    xì + 3xy + 4x - yì - y = C
  258.     C)    -xì + 3xy - 4x + yì + y = C
  259.     D)    -xì + 3xy - 4x - yì - y = C
  260. üè For    (2x + 3y + 4) dxè+è(3x - 3y - 1) dyè=è0 
  261.         
  262.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  263.  
  264.         M╤ = (2x + 3y + 4)╤ = 3 = (3x - 2y - 1)╨ = N╨
  265.  
  266.     Integratïg M paratially with respect ë x
  267.             è░
  268.         g(x,y) =è▒è(2x + 3y + 4) dxè+èh(y)
  269.             è▓
  270.  
  271.         èèè =è xì + 3xy + 4x + h(y)
  272.  
  273.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  274.     ë N(x,y) yields
  275.  
  276.         3x + h»(y)è=è3x - 2y - 1
  277.     Thus
  278.         h»(y) = -2y - 1
  279.  
  280.     So        ░
  281.         h(y) =    ▒ -2y - 1èdy
  282.             ▓
  283.  
  284.         èè =è-yì - y 
  285.  
  286.     Thus ê general solution is
  287.  
  288.          xì + 3xy + 4x - yì - y = C        
  289. ÇèB
  290.  8    eú╣sï[y] dxè-èeú╣cos[y] dyè=è0
  291.  
  292.     A)    e╣cos[y] = C
  293.     B)    e╣sï[y] = C
  294.     C)    eú╣cos[y] = C
  295.     D)    eú╣sï[y] = C
  296. üè For    eú╣sï[y] dxè-èeú╣cos[y] dyè=è0 
  297.         
  298.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  299.  
  300.         M╤ = (eú╣sï[y])╤ = eú╣cos[y] = (-eú╣cos[y])╨ = N╨
  301.  
  302.     Integratïg M paratially with respect ë x
  303.             è░
  304.         g(x,y) =è▒èeú╣sï[y] dxè+èh(y)
  305.             è▓
  306.  
  307.         èèè =è -eú╣sï[y] + h(y)
  308.  
  309.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  310.     ë N(x,y) yields
  311.  
  312.         -eú╣cos[y] + h»(y)è=è-eú╣cos[y]
  313.     Thus
  314.         h»(y) = 0
  315.  
  316.     So ïtegratïg partially with respect ë y will brïg NO
  317.     new parts ç ê solution.
  318.  
  319.     Thus ê general solution is
  320.  
  321.         eú╣sï[y] = C        
  322. ÇèD
  323. è9    (4xÄyÄ + 1/x) dxè+è(3xÅyì - 1/y) dyè=è0
  324.  
  325.     A)    xÅyÄ + ln[x/y] = C
  326.     B)    xÅyÄ + ln[y/x] = C
  327.     C)    xÄyÅ + ln[x/y] = C
  328.     D)    xÄyÅ + ln[y/x] = C
  329. üè For    (4xÄyÄ + 1/x) dxè+è(3xÅyì - 1/y) dyè=è0 
  330.         
  331.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  332.  
  333.         M╤ = (4xÄyÄ + 1/x)╤ = 12xÄyì = (3xÅyì + 1/y)╨ = N╨
  334.  
  335.     Integratïg M partially with respect ë x
  336.             è░
  337.         g(x,y) =è▒è(4xÄyÄ + xúî) dxè+èh(y)
  338.             è▓
  339.  
  340.         èèè =è xÅyÄ + ln[x] + h(y)
  341.  
  342.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  343.     ë N(x,y) yields
  344.  
  345.         3xÅyì + h»(y)è=è3xÅyì - 1/y
  346.     Thus
  347.         h»(y) = - 1/y
  348.  
  349.     So ïtegratïg partially with respect ë y 
  350.  
  351.         h(y) = - ln[y]
  352.  
  353.     Thus ê general solution is
  354.  
  355.         xÅyÄ + ln[x] - ln[y] = C        
  356.  
  357.     Usïg properties ç logarithms
  358.  
  359.         xÅyÄ + ln[x/y]è=èC
  360. ÇèA
  361. äèèSolve ê ïitial value problem
  362. â        For ê exact, first order ïitial value problem
  363.         è 2xy dx + (xì + yì) dy = 0èè y(2) = 3
  364.         This ïtegrates partially ëèxìy + h(y).è
  365.         Differentiatïg partially by y requiresèh»(y) = yì.
  366.         Integratïg partially yields ê general solution
  367.         è xìy + yÄ/3 = C.è Substitutïg x= 2 å y = 3
  368.         makesè2ì3 + 3Ä/3 = 21 = C i.e. xìy + yÄ/3 = 21
  369. éS    èèA full discussion ç Initial Value Problems for FIRST
  370.     ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS is ï Section 1.2.è
  371.  
  372.     èèBriefly, solvïg an Initial Value Problem is a two-step
  373.     process.èFirst, fïd ê GENERAL SOLUTION ç ê differential
  374.     equation.è Second, substitute ï ê ïitial value ïfor-
  375.     mationèi.e.èx╠ for x å y╠ for y.èThis will produce an
  376.     equation for C which provides ê value ç ê arbitrary 
  377.     constant ë put back ï ê general solution.
  378.  10    (x - y) dx -èx dyè=è0
  379.         y(4) = 7
  380.  
  381.     A)    xì + xy = 40
  382.     B)    xì + xy = -40
  383.     C)    xì - xy = 40
  384.     D)    xì - 2xy = -40
  385. üè For    (x - y) dx -èx dyè=è0 
  386.         
  387.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  388.  
  389.         M╤ = (x - y)╤ = -1 = (-x)╨ = N╨
  390.  
  391.     Integratïg M partially with respect ë x
  392.             è░
  393.         g(x,y) =è▒èx - y dxè+èh(y)
  394.             è▓
  395.  
  396.         èèè =è xì/2 - xy + h(y)
  397.  
  398.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  399.     ë N(x,y) yields
  400.  
  401.         -x + h»(y)è=è-x
  402.     Thus
  403.         h»(y) = 0
  404.  
  405.     So ïtegratïg partially with respect ë y will brïg NO
  406.     new parts ç ê solution.
  407.  
  408.     Thus ê general solution is    
  409.  
  410.         xì/2 - xy = C
  411.  
  412.     Substitutïgèx = 4 å y = 7èyields
  413.  
  414.         4ì/2 - 4(7) = -20 = C
  415.  
  416.     The specific solution is
  417.         xì/2 - xy = -20
  418.  
  419.     or
  420.         xì - 2xy = -40        
  421. ÇèD
  422. è11    y cos[x] dxè+ (sï[x] - secì[y]) dyè=è0
  423.         y(π/2) = π/4
  424.  
  425.     A)    y sï[x] + tan[y] =è1 - π/4
  426.     B)    y sï[x] + tan[y] =èπ/4 - 1
  427.     C)    y sï[x] - tan[y] =è1 - π/4
  428.     D)    y sï[x] - tan[y] =èπ/4 - 1
  429. üè For    y cos[x] dxè+ (sï[x] - secì[y]) dyè=è0 
  430.         
  431.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  432.  
  433.         M╤ = (y cos[x])╤ = cos[x] = (sï[x] - secì[y])╨ = N╨
  434.  
  435.     Integratïg M paratially with respect ë x
  436.             è░
  437.         g(x,y) =è▒èy cos[x] dxè+èh(y)
  438.             è▓
  439.  
  440.         èèè =è y sï[x] + h(y)
  441.  
  442.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  443.     ë N(x,y) yields
  444.  
  445.         sï[x] + h»(y)è=èsï[x] - secì[y]
  446.     Thus
  447.         h»(y) = - secì[y]
  448.  
  449.     Integratïg partially with respect ë y yields
  450.  
  451.         h(y) =è- tan[y]
  452.  
  453.     Thus ê general solution is    
  454.  
  455.         y sï[x]è-ètan[y]è=èC
  456.  
  457.     Substitutïgèx = π/2 å y = π/4èyields
  458.  
  459.         π/4 sï[π/2] - tan[π/4]è= π/4 - 1 = C
  460.  
  461.     The specific solution is
  462.  
  463.         y sï[x]è-ètan[y]è=èπ/4 - 1
  464. ÇèD
  465.  12    (x + y - 3) dxè+è(x - y + 2) dyè=è0
  466.         y(x) = 6
  467.  
  468.     A)    x║ + 2xy + 6y + y║ + 4y = 4
  469.     B)    x║ + 2xy + 6y - y║ - 4y = 4
  470.     C)    x║ - 2xy + 6y - y║ + 4y = 4
  471.     D)    x║ + 2xy - 6y - y║ + 4y = 4
  472. üè For    (x + y - 3) dxè+è(x - y + 2) dyè=è0 
  473.         
  474.     Verifyïg that this is an exact differential equation
  475.  
  476.         M╤ = (x + y - 3)╤ = 1 = (x - y + 2)╨ = N╨
  477.  
  478.     Integratïg M paratially with respect ë x
  479.             è░
  480.         g(x,y) =è▒èx + y - 3 dxè+èh(y)
  481.             è▓
  482.  
  483.         èèè =è xì/2 + xy - 3x + h(y)
  484.  
  485.     Differentiatïg partially with respect ë y å settïg equal
  486.     ë N(x,y) yields
  487.  
  488.         x + h»(y)è=èx - y + 2
  489.     Thus
  490.         h»(y) = - y + 2
  491.  
  492.     Integratïg partially with respect ë y yields
  493.  
  494.         h(y) =è- yì/2 + 2y
  495.  
  496.     Thus ê general solution is    
  497.  
  498.         xì/2 + xy - 3x - yì/2 + 2yè=èC
  499.  
  500.     Substitutïgèx = 2 å y = 6èyields
  501.  
  502.         2ì/2 + 2(6) - 3(2) - 6ì/2 + 2(6) = 2 = C
  503.  
  504.     The specific solution is
  505.         xì/2 + xy - 3x - yì/2 + 2y = 2
  506.  
  507.     or
  508.         xì + 2xy - 6x - yì + 4y = 4        
  509. ÇèD
  510.  
  511.  
  512.  
  513.  
  514.