Kvadratická (ne)rovnice a funkce

• obecný tvar kvadratické (ne)rovnice ®  ax² + bx + c =/</≤/>/≥ 0,  (a ≠ 0)
• k vyřešení potřebujeme nejdříve znát diskriminant, jež vypočítáme ® D = b² - 4ac
• je-li D>0, pak má (ne)rovnice dva kořeny, je-li D=0 má pouze kořen jeden, a je-li D<0 nemá kořen žádný.
• řešením rovnice jsou právě její kořeny {x₁; x₂), ty vypočítáme ® 
• řešením nerovnice jsou pak intervaly založené na kořenech nerovnice, popř. na tom, že kořen nemají
• <x₁; x₂> - oboustranně uzavřený interval mezi kořeny (uzavřený znamená, že interval je včetně kořenů)
• (x₁; x₂) - oboustranně otevřený interval mezi kořeny (otevřený znamená, že interval již kořeny neobsahuje)
• (-¥; x₁> È <x₂; +¥) nebo (-¥; x₁) È (x₂; +¥) - sjednocení intervalů (¥ = nekonečno)
• x Î Ø - prázdná množina, řešení neexistuje
• x Î R - všechna reálna čísla (-¥; +¥)
• obecný tvar kvadratické funkce ®  y = ax² + bx + c,  (a ≠ 0)
• řešením kvadratické funkce je parabola, jejíž vrchol  je určen takto ® 
• kvadratickou (ne)rovnici lze též doplnit na čtverec (za podmínky b ≠ 0) podle  vzorce  ®  a(x-x_v)²+y_v = 0, dosáhneme tak tvaru   ®  a(x-x_v+y_v)(x-x_v-y_v) = 0

Kubická rovnice

• obecný tvar kubické rovnice ®   ax³ + bx² + cx + d = 0 ,  (a ≠ 0)
• nejdříve rovnici převedeme na tzv. normovaný tvar, a to dělením koeficientem a  ®   x³ + Ax² + Bx + C = 0
• pak převedeme na tzv. redukovaný tvar (bez kvadratického členu), a to substitucí ® , dostaneme tedy ® y³ + py + q = 0
• nyní následuje výpočet diskriminantu ® a podle jeho hodnoty určíme další postup výpočtu
• je-li p=q=D=0, je řešením rovnice trojnásobný kořen = 0
• je-li D = 0, p,q ≠ 0, pak řešením je ®
• je-li D > 0, pak musíme nejdříve vypočítat ®  , a řešením je ® 
• je-li D < 0, pak musíme použít goniometrický výpočet a nikoli Cardanovy vzorce jako předtím, nejprve vypočítáme a řešení je ®
• vypočítané kořeny jsou kořeny redukované rovnice, abychom dostali kořeny původní rovnice, musíme všechny kořeny zpětně převést podle substitučního vzorce

Soustava rovnic

• slouží k řešení soustavy N rovnic o N neznámých (n = 2 až 26)
• program řeší soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou, tedy úpravou na tzv.trojúhelníkový tvar, trojúhelníkový tvar je takový, kde pod hlavní diagonálou jsou samé 0, program tvoří 0 nejen pod hlavní diagonálou , ale i nad hlavní diagonálou, to umožňuje snadný výpočet kořenů
• konečným stavem je pak na jedné straně jednotková matice a na druhé straně řešení, zde je příklad ®
• má-li soustava rovnic nekonečně mnoho řešení, program Vám určí proměnné
• za které můžete dosadit R
• které musíte  vypočítat substitucí
• které mají hodnotu pevně danou

Prvočísla

• prvočíslo je takové celé číslo, které je bezezbytku dělitelné pouze samo sebou a 1
• každé číslo, které není prvočíslem, lze rozložit na prvočísla (prvočinitele), jejich součin je roven rozkládanému číslu
• číslo se testuje dělením všemi prvočísly v intervalu <2; druhá odmocnina testovaného čísla>

Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

• následuje zdrojový kód funkce (v programovacím jazyku Pascal) k výpočtu největšího společného dělitele dvou čísel (využívá se též při výpočtu zlomků), nejnižší společný násobek se vypočítá  ® nsn = q * w div nsd(q,w)

function nsd(q, w: Integer): Integer;
var r, s, t: Integer;
begin
  if (q<w) then
      begin
        t := q;
        q := w;
        w := t;
      end;
  r := q;
  s := w;
  t := 1;
  while (t<>0) do
    begin
      t := r - (s * (r div s));
      if (t <> 0) then
        begin
          r := s;
          s := t;
        end;
    end;
  result := s;
end;

Statistika

• soubor dat je tříděn algoritmem přímého výběru
• počítají se následující statistické charakteristiky: aritmetický průměr, součet hodnot, průměrná absolutní odchylka, rozptyl, směrodatná odchylka, variační rozpětí, variační koeficient, medián, šikmost a špičatost
• aritmetický průměr - je podílem součtu všech hodnot a jejich počtu ®
• průměrná absolutní odchylka - je podílem součtu absolutních odchylek od průměru a jejich počtu ®
• rozptyl - je podílem součtu druhých mocnin odchylek od průměru a jejich počtu ®
• směrodatná odchylka - jde o druhou odmocninu rozptylu ®
• variační rozpětí - rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou statistického souboru dat ® R = x_max - x_min
• variační koeficient - používá se pro vyjádření vztahu směrodatné odchylky k aritmetickému průměru v procentech ®
• medián - hodnota prvku, jež se nachází uprostřed statistického souboru, pokud je počet prvků sudý, jde o průměr mezi oběma středovými prvky (např. v souboru z deseti prvky je to průměr 5. a 6. prvku), značí se ®
• šikmost/koeficient šikmosti - zatím nedokončeno
• špičatost/koeficient špičatosti - zatím nedokončeno

Úhly

• při převodech mezi úhlovými jednotkami platí následující pravidla
  ®  180^o = p rad = 200 grad, z toho vyplývají následující vztahy:
  ®  1 rad = 57^o 17' 45"
  ®  1^o = 60' = 3600"
  ® 

Trojúhelník pravoúhlý

• výpočet obsahu ®
• výpočet úhlu ® , nebo ® a nebo cos (= obracený sin) a cotan (obrácený tan)
• výpočet stran ®   (Pythagorova věta)

další výpočty - nápověda nedokončena :-((((.