Bázy, stavy, vektory a qubity

 

V snahe porozumieť teórii kvantových informačných systémov sa spočiatku budeme zaoberať najjednoduchším kvantovým systémom - jediným qubitom. Jeho dvojrozmerný stavový priestor si môžeme ľahko predstaviť a ani matematické vyjadrenie nespotrebuje veľa miesta. Qubit je zároveň realistickým modelom spinu elektrónu alebo polarizácie fotónu - fyzikálnych systémov, ktoré tvoria "materiálny" základ kvantových informačných technológií.

 

QUBIT - FYZIKÁLNE NAJMENŠIA JEDNOTKA INFORMÁCIE

Podstatnou vlastnosťou spinu či polarizácie je ich nedeliteľnosť na menšie jednotky. Nemožno vziať "časť" spinu a "ostatok" tam nechať! Je to jednoducho preto, že sa tu skutočne jedná o základný, ďalej nedeliteľný bit informácie. Nemožno ani ľubovoľným spôsobom tieto fyzikálne veličiny merať bez toho, aby sa nenarušila ich orientácia. To je dôsledkom reverzibility, presnejšie povedané unitarity vývoja stavu v kvantových systémoch.

Reverzibilita (unitarita) vlastne znamená, že funkciu, ktorú kvantový systém vykonáva, možno obrátiť jednoduchou zámenou vstupu a výstupu. To sa pravda dá iba v prípade, že vstup aj výstup majú rovnaký počet qubitov, resp. že počet možných stavov na vstupe aj výstupe je rovnaký. Kvantový systém vlastne iba priradzuje jednotlivé vstupné stavy na špecifické, neopakujúce sa stavy na výstupe (ak by pre dva rôzne vstupné stavy existoval iba jeden výstupný stav, nebolo by to jednoznačné priradenie a teda systém by nebol unitárny a reverzibilný).

Predstavme si teraz, že chceme vytvoriť takú triviálnu funkciu, akou je kopírovanie qubitu na dva rovnaké qubity. V klasickom prípade by sme to riešili tak, že jeden vstupný bit by sme zadrôtovali do dvoch výstupných bitov - kopírovanie klasickej informácie je to najjednoduchšie, čo si možno predstaviť! Nie však v kvantovom počítači. Predovšetkým, takéto kvantové hradlo (t.j. zariadenie na vykonávanie určitej logickej funkcie) nemôže mať jeden vstup a dva výstupy. Musí pribudnúť ešte jeden vstupný bit a funkcia hradla musí byť unitárna, reverzibilná. Riešenie je hradlo "riadenej logickej negácie", avšak funguje to len vtedy, keď pridaný qubit je nastavený na pevnú logickú nulu. Ako však takýto qubit vyrobiť? Opäť si musíme niečo požičať z okolia a vyfiltrovať to, čo však znamená, že v širšom okolí hradla dochádza k zmene a meraniu qubitov. Z toho vyplýva, že qubit nemožno len tak beztrestne kopírovať: vždy sa čosi naruší.

Nedeliteľnosť qubitov možno ľahko ilustrovať na príklade Stern-Gerlachovho experimentu (obr. 1). Z pece vyletuje kolimovaný papršlek atómov so spinom 1/2 (mohli by to byť aj elektróny, ale tie sú veľmi ľahké a mohli by sa vychýliť v dôsledku iných vplyvov) a prechádza skrz silne zakrivené siločiary magnetického poľa. Klasická fyzika celkom správne predpovedá, že spiny čiže magnetické momenty atómov budú orientované v priestore náhodne, avšak mýli sa v tom, ako budú prelietavať cez magnetické pole. Atóm so spinom hore v magnetickom poli zakriví svoju dráhu smerom hore, a naopak, atóm so spinom dole zakriví svoju dráhu dole... čo však spraví atóm, ktorého spin je orientovaný doľava alebo doprava? Podľa klasickej teórie nič - vôbec sa nezakriví. Pri experimente sa však takéto dráhy nepozorovali! Atómy buď išli jednoznačne hore alebo jednoznačne dolu, žiadne dráhy "medzi" neexistovali. Atóm, ktorého spin smeruje doľava či doprava sa v kolmo orientovanom magnetickom poli "rozhodne" s 50% pravdepodobnosťou letieť hore a s 50% pravdepodobnosťou dolu. Uvedomme si, že nemal inú možnosť: pri tomto meraní mohol odovzdať iba jediný, základný bit informácie, a teda žiadna tretia cesta pre neho neexistovala! (Podobne, ako keď vám v ankete dajú iba dve možnosti na odpoveď a vám sa nepáči ani jedna, ale čosi zakrúžkovať musíte...)

 

MATEMATICKÝ ZÁPIS QUBITU

Aby sa dalo s kvantovými stavmi a ich superpozíciami nejak pracovať, potrebujeme mať pre ne matematickú reprezentáciu. Ako veľmi vhodnou sa ukázala predstava mnohorozmerného priestoru, ktorého každá súradnica predstavuje určitý bázový stav. Body tohto tzv. Hilbertovho priestoru potom možno chápať ako superpozície bázových vektorov násobené rôznymi dĺžkami - amplitúdami pravdepodobností výskytu jednotlivých báz. Našťastie, v prípade jedného qubitu vystačíme s dvojrozmerným priestorom s bázou 0 a 1, ktoré znázorníme jednotkovými vektormi na vodorovnej a zvislej súradnicovej osi (obr. 2). Ak by sme mali vyjadriť rovnovážnu superpozíciu stavov 0 a 1, čo môžeme zapísať ako stav 0+1, urobíme to pomocou vektora pod uhlom 45°, ktorý vznikol súčtom vektoru 0 s vektorom 1, a skrátením (normovaním) na jednotkovú dĺžku.

V Hilbertovom priestore majú všetky vektory rôznej dĺžky ale toho istého smeru ten istý význam. Dĺžka stavového vektora vlastne nereprezentuje žiadnu fyzikálnu veličinu, pretože jediné, čo môžeme namerať, je koľkokrát sa vyskytol stav 0 a koľkokrát stav 1, t.j. aká je proporcionalita medzi týmito stavmi. Teda zmysel má len keď sa pýtame, aký je pomer váh jednotlivých bázových stavov. Normovanie vektora na dĺžku jedna teda nijak neznehodnocuje informáciu o stave, čo je však dôležité, v tomto prípade sú druhé mocniny absolútnych hodnôt súradníc číselne rovné pravdepodobnostiam výskytu jednotlivých bázových stavov (obr. 3)! Súčet pravdepodobností všetkých bázových stavov, t.j. súčet štvorcov nad jednotlivými amplitúdami pravdepodobností dáva jednotku, čo je "pravdepodobnosť, že sa stane vôbec niečo", veď niečo sa stať musí!. Stará dobrá Pythagorova veta - nič nové pod slnkom.

Aby sme však nezabudli na druhú významnú superpozíciu, kde jednotlivé bázy vstupujú s opačnými znamienkami. Teda superpozíciu 0-1 resp. -0+1 (ani celkové znamienko stavu nie je rozhodujúce!). Je znázornená na obr. 2 ako jednotkový vektor pod uhlom 135°.

Samozrejme že počet všetkých možných superpozícií je nekonečný, pretože jednotlivé stavy sa môžu vyskytovať v ľubovoľnom pomere, avšak pre naše účely bude stačiť, ak budeme pracovať iba s dvoma základnými stavmi a ich dvoma základnými superpozíciami. Takto totiž pracuje väčšina navrhovaných kvantových informačných systémov, akými sú napr. super-bezpečné šifrovacie zariadenia a možno pomocou nich popísať aj prácu "zázračnej" kvantovej logiky odhaľujúcej spoľahlivosť nevybuchnutých bômb!

 

NÁZORNÁ REPREZENTÁCIA QUBITU

Na prvý pohľad môže "horizontálna" a "vertikálna" polarizácia fotónu slúžiť ako názorný geometrický model dvojrozmerného stavového priestoru s bázami 0 (vodorovný vektor) a 1 (zvislý vektor). Má to však znamenať, že superpozícia 0+1, teda superpozícia polarizácií "horizontálna"+"vertikálna" dá polarizáciu v smere 45°? ÁNO, JE TO SKUTOČNE TAK!

A ako sa o tom presvedčiť? Napríklad môžeme použiť rozdelenie lúča horizontálne polarizovaných fotónov pomocou polopriepustného zrkadla na dva lúče polovičnej intenzity, a potom ich podobnou metódou opäť spojiť dokopy. V jednej z vetví potom umiestnime otáčač polarizácie s príspevkom 90°. Fotón, prelietavajúci polopriepustným zrkadlom sa teda s amplitúdou pravdepodobnosti 0.707 (a s pravdepodobnosťou 0.707²=0.5) "ocitne" vo vetve, kde bude jeho polarizácia pretočená na vertikálnu, zatiaľčo v druhej vetve zostane jeho polarizácia neporušená. Ak zmeriame polarizáciu fotónov na výstupe zariadenia, kde sa už obe vetvy opäť spojili, zistíme, že všetky fotóny majú polarizáciu 45°.

Tento fakt pritom nemožno vysvetliť klasickým spôsobom, keby sme uvažovali, že polovica fotónov prešla jednou vetvou bez zmeny polarizácie a druhá polovica bola natočená do kolmého smeru. Takto by z prístroja vylietavajúci súbor bol štatistickým zmiešaním horizontálne a vertikálne orientovaných fotónov a cez polarizačné sklo nastavené na 45 stupňovú polarizáciu by prešla iba polovica z jedných aj druhých. To sa však nestane: prejdú všetky! Intenzita vychádzajúceho svetla, hoci filtrovaná polarizačným sklom prepúšťajúcim 45° je presne rovnaká, ako intenzita horizontálne polarizovaného svetla na vstupe zariadenia.

 

ALGEBRA KVANTOVÝCH STAVOV

Fyzikálne experimenty nám vlastne iba hovoria, že sa môžeme pohodlne spoľahnúť na vektorovú algebru v stavovom priestore kvantového systému, bez toho, aby sme museli dopodrobna rozoberať tú-ktorú fyzikálnu situáciu. A to aj urobíme. To je vlastne zmyslom kvantovej teórie informácie: zdá sa, že konkrétna materializácia qubitu, či už vo forme spinu elektrónu alebo atómu, polarizácie fotónu alebo jeho priestorovej dráhy, energetického stavu kvantovej jamy atď. atď. je pre vysvetlenie funkcie nepodstatná. Stačí vedieť, koľko je tu qubitov a ako sú vzájomne previazané!

Pozrime sa na tabuľku na obr. 4. V riadkoch označených rímskymi I až IV sú znázornené jednotlivé zaujímavé polarizácie fotónu od 0° do 135° s krokom po 45°. V stĺpcoch A až D je podobne po 45° natáčané polarizačné skielko (znázorňujú ho rovnobežné línie pod daným uhlom natočenia). Jednotlivé políčka tejto tabuľky vyjadrujú pravdepodobnosť, s akou prejde fotón s danou polarizáciou skrz polarizačné sklo. Tieto výsledky nie sú určite ničím prekvapivým. Teraz však natočte celý časopis o 45° proti smeru hodinových ručičiek. Stalo sa niečo?

Polarizácia fotónu v riadku II je z vášho pohľadu teraz "vertikálna", a polarizácia v riadku IV "horizontálna". Čo sa stane, keď teraz tieto zdanlivo bázové polarizácie dáme do superpozície? Môžeme to urobiť geometricky, tak, ako je to na obr. 5, na ktorý sa tiež treba pozerať zošikma.  Na obr. 5a je znázornený ich súčet a na obr. 5b rozdiel. Ako vidno, súčtom sme získali polarizáciu III, t.j. pôvodnú "vertikálnu" polarizáciu a rozdielom polarizáciu I, pôvodnú "horizontálnu". Superpozícia superpozícií dáva opäť bázový stav!

Môžeme sa o tom presvedčiť aj čisto matematicky. Označme základné superpozície takto:

 

0' = 0+1

1' = -0+1

 

Potom superpozície superpozícií dávajú

 

0'+1' = 0+1-0+1 = 2*1 = 1

-0'+1' = -0-1-0+1 = -2*0 = 0,

 

čo sú základné bázové stavy. Pri týchto vektorových algebraických operáciách sme samozrejme využili poznatok, že stavový vektor vynásobený ľubovoľným nenulovým číslom znamená ten istý fyzikálny stav.

 

KOMPLEMENTÁRNE BÁZY

V praxi to znamená, že na systém qubitov vždy možno nazerať z dvoch komplementárnych, v princípe rovnocenných pozícií: z pohľadu v báze základných stavov a z pohľadu v báze pootočenej o 45°. Ak pootočíme bázy a uvedomíme si aj príslušné zmeny v logickej funkcii systému, bude všetko fungovať rovnako dobre, ako v pôvodnej báze, t.j. fyzika systému sa nezmení. Na druhej strane to ešte neznamená, že všetky možné bázy sú rovnocenné. V praxi totiž budeme používať hradlá v priestore lokalizované a nejak natočené, a prítomnosť fotónov budeme merať fotonásoničmi, ktoré sú tiež lokalizované a nie sú v superpozícii dvoch alebo viacerých priestorových polôh. Toto teda určuje preferovanú bázu pre experiment, t.j. to, čo bude pre nás znamenať stavy 0 a 1.

Spomínané pohľady z rôznych komplementárnych báz pozná kvantová mechanika vlastne už od samého začiatku: napríklad pozorovateľné "poloha" a "hybnosť" sú zviazané práve týmto druhom komplementarity! Ak presne určíme polohu, t.j. ak systém v tejto báze nastavíme do nejakého základného stavu, bude sa z komplementárnej bázy jeho stav javiť "rozplíznutý" po všetkých merateľných stavoch, t.j. neurčitosť v meraní hybnosti bude maximálna. A naopak. Zo snahy nejak rozumne namerať jeden aj druhý parameter potom vyplynul slávny Heisenbergov princíp neurčitosti: "neurčitosť v polohe" krát "neurčitosť v hybnosti" je vždy viac než Planckova konštanta delená 4π.

 

KOPÍROVANIE JE NEMOŽNÉ!

Prediskutujme ešte zariadenie na obr. 6. Je to zariadenie na kopírovanie informácie uloženej v polarizácii fotónov a mohlo by sa použiť ako špionážny prístroj zapojený do systému optickej káblovej komunikácie! Vstup tohto zariadenia tvorí kryštál kalcitu (uhličitan vápenatý) rozdeľujúci fotóny s rôznymi polarizáciami do dvoch dráh. Tam sú im potom postavené do cesty fotonásobiče, pripojené k signalizácii udalosti preletu fotónu a k počítaču, registrujúcemu na displeji reťazec vo forme núl a jedničiek, informujúci o polarizácii prichádzajúcich fotónov a teda zobrazujúci prijímanú dvojkovú informáciu. Informácia z fotonásobičov sa ďalej vedie ku generátorom svetla, ktoré vždy vygenerujú iba jediný fotón príslušnej polarizácie. Vetvy vygenerovaných fotónov sa potom spájajú dovedna a vysielajú ďalej.

Nech odosielateľ správy kóduje 0 do "horizontálnej" a 1 do "vertikálnej" polarizácie. Po dopade na kryštál je fotón vedený jednou z dráh a zachytený vo fotonásobiči. Počítač zaregistruje signál, vypíše na displeji nulu alebo jednotku a zároveň dá pokyn k vygenerovaniu jedného fotónu tej polarizácie, aká bola prijatá. Tento fotón, na nerozoznanie od svojho zachyteného predchodcu, poletí ďalej k skutočnému adresátovi správy, ktorý správu prijme, netušiac, že nastal "únik informácií".

Avšak odosielateľ mohol správu rovnako dobre kódovať aj v systéme pootočenom o 45°. Teda namiesto 0 a 1 by vysielal 0' a 1'. Musel by len s adresátom správy dohodnúť použitú bázu. Prijatý fotón poletí vždy oboma dráhami, pokiaľ nenarazí na meracie zariadenie pozostávajúce z fotonásobičov a ďalších registračných systémov. Jediný qubit informácie, daný znamienkom medzi váhami možných dráh fotónu sa rýchlo stratí v procese kopírovania, zosilňovania a interakcie s okolím. Bez ohľadu na to, či bol prijatý stav 0' alebo 1', bude výsledkom merania náhoda: v 50% prípadov sa zobrazí nula a v 50% prípadov jednotka. To zároveň znamená, že "skopírované" fotóny nebudú v kvantovej superpozícii, ale budú tvoriť štatistický súbor s rovnovážnym rozdelením stavov 0 a 1. Čisté stavy 0' a 1' sa na výstupe  nebudú nachádzať! Adresát prijme naprosto nezmyselnú skomoleninu núl a jednotiek, čo pre neho jednoznačne indikuje snahu o únik informácií, a môže teda rýchlo zjednať v tomto smere nápravu.

V tomto spočíva vlastne celý trik absolútne bezpečného šifrovania správ, aj keď na dosiahnutie matematickej istoty musia účastníci (v literatúre sa vžilo trochu familiárne pomenovanie účastníkov komunikácie - odosielateľom správy je Alice a adresátom Bob, špiónuje vždy Eva) komunikovať obojsmerne a dodržiavať určitý špecifický protokol komunikácie, pomocou ktorého si predávajú nielen vlastnú správu, ale aj prepotrebné (rovnako tajné) informácie o natočení polarizačnej bázy.