V snahe porozumie¥ te≤rii kvantov²ch informaΦn²ch systΘmov sa spoΦiatku
budeme zaobera¥ najjednoduchÜφm kvantov²m systΘmom - jedin²m qubitom. Jeho
dvojrozmern² stavov² priestor si m⌠₧eme ╛ahko predstavi¥ a ani matematickΘ
vyjadrenie nespotrebuje ve╛a miesta. Qubit je zßrove≥ realistick²m modelom
spinu elektr≤nu alebo polarizßcie fot≤nu - fyzikßlnych systΘmov, ktorΘ tvoria
"materißlny" zßklad kvantov²ch informaΦn²ch technol≤giφ.
Podstatnou vlastnos¥ou spinu Φi polarizßcie je ich nedelite╛nos¥ na menÜie
jednotky. Nemo₧no vzia¥ "Φas¥" spinu a "ostatok" tam
necha¥! Je to jednoducho preto, ₧e sa tu skutoΦne jednß o zßkladn², ∩alej
nedelite╛n² bit informßcie. Nemo₧no ani ╛ubovo╛n²m sp⌠sobom tieto fyzikßlne
veliΦiny mera¥ bez toho, aby sa nenaruÜila ich orientßcia. To je d⌠sledkom
reverzibility, presnejÜie povedanΘ unitarity v²voja stavu v kvantov²ch
systΘmoch.
Reverzibilita (unitarita) vlastne znamenß, ₧e funkciu, ktor· kvantov²
systΘm vykonßva, mo₧no obrßti¥ jednoduchou zßmenou vstupu a v²stupu. To sa
pravda dß iba v prφpade, ₧e vstup aj v²stup maj· rovnak² poΦet qubitov, resp.
₧e poΦet mo₧n²ch stavov na vstupe aj v²stupe je rovnak². Kvantov² systΘm
vlastne iba priradzuje jednotlivΘ vstupnΘ stavy na ÜpecifickΘ, neopakuj·ce sa
stavy na v²stupe (ak by pre dva r⌠zne vstupnΘ stavy existoval iba jeden
v²stupn² stav, nebolo by to jednoznaΦnΘ priradenie a teda systΘm by nebol
unitßrny a reverzibiln²).
Predstavme si teraz, ₧e chceme vytvori¥ tak· trivißlnu funkciu, akou je
kopφrovanie qubitu na dva rovnakΘ qubity. V klasickom prφpade by sme to rieÜili
tak, ₧e jeden vstupn² bit by sme zadr⌠tovali do dvoch v²stupn²ch bitov -
kopφrovanie klasickej informßcie je to najjednoduchÜie, Φo si mo₧no predstavi¥!
Nie vÜak v kvantovom poΦφtaΦi. PredovÜetk²m, takΘto kvantovΘ hradlo (t.j.
zariadenie na vykonßvanie urΦitej logickej funkcie) nem⌠₧e ma¥ jeden vstup a
dva v²stupy. Musφ pribudn·¥ eÜte jeden vstupn² bit a funkcia hradla musφ by¥
unitßrna, reverzibilnß. RieÜenie je hradlo "riadenej logickej
negßcie", avÜak funguje to len vtedy, ke∩ pridan² qubit je nastaven² na
pevn· logick· nulu. Ako vÜak tak²to qubit vyrobi¥? OpΣ¥ si musφme nieΦo po₧iΦa¥
z okolia a vyfiltrova¥ to, Φo vÜak znamenß, ₧e v ÜirÜom okolφ hradla dochßdza k
zmene a meraniu qubitov. Z toho vypl²va, ₧e qubit nemo₧no len tak beztrestne
kopφrova¥: v₧dy sa Φosi naruÜφ.
Nedelite╛nos¥ qubitov mo₧no ╛ahko ilustrova¥ na prφklade Stern-Gerlachovho
experimentu (obr. 1). Z pece vyletuje kolimovan² paprÜlek at≤mov so spinom 1/2
(mohli by to by¥ aj elektr≤ny, ale tie s· ve╛mi ╛ahkΘ a mohli by sa vych²li¥ v
d⌠sledku in²ch vplyvov) a prechßdza skrz silne zakrivenΘ siloΦiary magnetickΘho
po╛a. Klasickß fyzika celkom sprßvne predpovedß, ₧e spiny Φi₧e magnetickΘ
momenty at≤mov bud· orientovanΘ v priestore nßhodne, avÜak m²li sa v tom, ako
bud· prelietava¥ cez magnetickΘ pole. At≤m so spinom hore v magnetickom poli
zakrivφ svoju drßhu smerom hore, a naopak, at≤m so spinom dole zakrivφ svoju
drßhu dole... Φo vÜak spravφ at≤m, ktorΘho spin je orientovan² do╛ava alebo
doprava? Pod╛a klasickej te≤rie niΦ - v⌠bec sa nezakrivφ. Pri experimente sa
vÜak takΘto drßhy nepozorovali! At≤my bu∩ iÜli jednoznaΦne hore alebo
jednoznaΦne dolu, ₧iadne drßhy "medzi" neexistovali. At≤m, ktorΘho
spin smeruje do╛ava Φi doprava sa v kolmo orientovanom magnetickom poli
"rozhodne" s 50% pravdepodobnos¥ou letie¥ hore a s 50%
pravdepodobnos¥ou dolu. Uvedomme si, ₧e nemal in· mo₧nos¥: pri tomto meranφ mohol
odovzda¥ iba jedin², zßkladn² bit informßcie, a teda ₧iadna tretia cesta pre
neho neexistovala! (Podobne, ako ke∩ vßm v ankete daj· iba dve mo₧nosti na
odpove∩ a vßm sa nepßΦi ani jedna, ale Φosi zakr·₧kova¥ musφte...)
Aby sa dalo s kvantov²mi stavmi a ich superpozφciami nejak pracova¥,
potrebujeme ma¥ pre ne matematick· reprezentßciu. Ako ve╛mi vhodnou sa ukßzala
predstava mnohorozmernΘho priestoru, ktorΘho ka₧dß s·radnica predstavuje urΦit²
bßzov² stav. Body tohto tzv. Hilbertovho priestoru potom mo₧no chßpa¥ ako
superpozφcie bßzov²ch vektorov nßsobenΘ r⌠znymi dσ₧kami - amplit·dami
pravdepodobnostφ v²skytu jednotliv²ch bßz. NaÜ¥astie, v prφpade jednΘho qubitu
vystaΦφme s dvojrozmern²m priestorom s bßzou 0 a 1, ktorΘ znßzornφme
jednotkov²mi vektormi na vodorovnej a zvislej s·radnicovej osi (obr. 2). Ak by
sme mali vyjadri¥ rovnovß₧nu superpozφciu stavov 0 a 1, Φo m⌠₧eme zapφsa¥
ako stav 0+1, urobφme to pomocou
vektora pod uhlom 45░, ktor² vznikol s·Φtom vektoru 0 s vektorom 1, a
skrßtenφm (normovanφm) na jednotkov· dσ₧ku.
V Hilbertovom priestore maj· vÜetky vektory r⌠znej dσ₧ky ale toho istΘho
smeru ten ist² v²znam. Dσ₧ka stavovΘho vektora vlastne nereprezentuje ₧iadnu
fyzikßlnu veliΦinu, preto₧e jedinΘ, Φo m⌠₧eme namera¥, je ko╛kokrßt sa vyskytol
stav 0 a ko╛kokrßt stav 1, t.j. akß je proporcionalita medzi t²mito stavmi. Teda zmysel mß len ke∩ sa
p²tame, ak² je pomer vßh jednotliv²ch
bßzov²ch stavov. Normovanie vektora na dσ₧ku jedna teda nijak neznehodnocuje
informßciu o stave, Φo je vÜak d⌠le₧itΘ, v tomto prφpade s· druhΘ mocniny
absol·tnych hodn⌠t s·radnφc Φφselne rovnΘ
pravdepodobnostiam v²skytu jednotliv²ch bßzov²ch stavov (obr. 3)! S·Φet
pravdepodobnostφ vÜetk²ch bßzov²ch stavov, t.j. s·Φet Ütvorcov nad jednotliv²mi
amplit·dami pravdepodobnostφ dßva jednotku, Φo je "pravdepodobnos¥, ₧e sa
stane v⌠bec nieΦo", ve∩ nieΦo sa sta¥ musφ!. Starß dobrß Pythagorova veta
- niΦ novΘ pod slnkom.
Aby sme vÜak nezabudli na druh· v²znamn· superpozφciu, kde jednotlivΘ bßzy
vstupuj· s opaΦn²mi znamienkami. Teda superpozφciu 0-1 resp. -0+1
(ani celkovΘ znamienko stavu nie je rozhoduj·ce!). Je znßzornenß na obr. 2 ako
jednotkov² vektor pod uhlom 135░.
Samozrejme ₧e poΦet vÜetk²ch mo₧n²ch superpozφciφ je nekoneΦn², preto₧e
jednotlivΘ stavy sa m⌠₧u vyskytova¥ v ╛ubovo╛nom pomere, avÜak pre naÜe ·Φely
bude staΦi¥, ak budeme pracova¥ iba s dvoma zßkladn²mi stavmi a ich dvoma
zßkladn²mi superpozφciami. Takto toti₧ pracuje vΣΦÜina navrhovan²ch kvantov²ch
informaΦn²ch systΘmov, ak²mi s· napr. super-bezpeΦnΘ Üifrovacie zariadenia a
mo₧no pomocou nich popφsa¥ aj prßcu "zßzraΦnej" kvantovej logiky
odha╛uj·cej spo╛ahlivos¥ nevybuchnut²ch b⌠mb!
Na prv² poh╛ad m⌠₧e "horizontßlna" a "vertikßlna"
polarizßcia fot≤nu sl·₧i¥ ako nßzorn² geometrick² model dvojrozmernΘho
stavovΘho priestoru s bßzami 0
(vodorovn² vektor) a 1 (zvisl²
vektor). Mß to vÜak znamena¥, ₧e superpozφcia 0+1, teda superpozφcia polarizßciφ
"horizontßlna"+"vertikßlna" dß polarizßciu v smere 45░?
┴NO, JE TO SKUTO╚NE TAK!
A ako sa o tom presvedΦi¥? Naprφklad m⌠₧eme pou₧i¥ rozdelenie l·Φa
horizontßlne polarizovan²ch fot≤nov pomocou polopriepustnΘho zrkadla na dva
l·Φe poloviΦnej intenzity, a potom ich podobnou met≤dou opΣ¥ spoji¥ dokopy. V
jednej z vetvφ potom umiestnime otßΦaΦ polarizßcie s prφspevkom 90░. Fot≤n,
prelietavaj·ci polopriepustn²m zrkadlom sa teda s amplit·dou pravdepodobnosti
0.707 (a s pravdepodobnos¥ou 0.7072=0.5) "ocitne" vo
vetve, kde bude jeho polarizßcia pretoΦenß na vertikßlnu, zatia╛Φo v druhej
vetve zostane jeho polarizßcia neporuÜenß. Ak zmeriame polarizßciu fot≤nov na
v²stupe zariadenia, kde sa u₧ obe vetvy opΣ¥ spojili, zistφme, ₧e vÜetky fot≤ny
maj· polarizßciu 45░.
Tento fakt pritom nemo₧no vysvetli¥ klasick²m sp⌠sobom, keby sme uva₧ovali,
₧e polovica fot≤nov preÜla jednou
vetvou bez zmeny polarizßcie a druhß polovica bola natoΦenß do kolmΘho smeru.
Takto by z prφstroja vylietavaj·ci s·bor bol Ütatistick²m zmieÜanφm
horizontßlne a vertikßlne orientovan²ch fot≤nov a cez polarizaΦnΘ sklo
nastavenΘ na 45 stup≥ov· polarizßciu by preÜla iba polovica z jedn²ch aj
druh²ch. To sa vÜak nestane: prejd· vÜetky! Intenzita vychßdzaj·ceho svetla,
hoci filtrovanß polarizaΦn²m sklom prep·Ü¥aj·cim 45░ je presne rovnakß, ako
intenzita horizontßlne polarizovanΘho svetla na vstupe zariadenia.
Fyzikßlne experimenty nßm vlastne iba hovoria, ₧e sa m⌠₧eme pohodlne
spo╛ahn·¥ na vektorov· algebru v stavovom priestore kvantovΘho systΘmu, bez
toho, aby sme museli dopodrobna rozobera¥ t·-ktor· fyzikßlnu situßciu. A to aj
urobφme. To je vlastne zmyslom kvantovej te≤rie informßcie: zdß sa, ₧e
konkrΘtna materializßcia qubitu, Φi u₧ vo forme spinu elektr≤nu alebo at≤mu,
polarizßcie fot≤nu alebo jeho priestorovej drßhy, energetickΘho stavu kvantovej
jamy at∩. at∩. je pre vysvetlenie funkcie nepodstatnß. StaΦφ vedie¥, ko╛ko je
tu qubitov a ako s· vzßjomne previazanΘ!
Pozrime sa na tabu╛ku na obr. 4. V riadkoch oznaΦen²ch rφmskymi I a₧ IV s·
znßzornenΘ jednotlivΘ zaujφmavΘ polarizßcie fot≤nu od 0░ do 135░ s krokom po
45░. V stσpcoch A a₧ D je podobne po 45░ natßΦanΘ polarizaΦnΘ skielko
(znßzor≥uj· ho rovnobe₧nΘ lφnie pod dan²m uhlom natoΦenia). JednotlivΘ polφΦka
tejto tabu╛ky vyjadruj· pravdepodobnos¥, s akou prejde fot≤n s danou
polarizßciou skrz polarizaΦnΘ sklo. Tieto v²sledky nie s· urΦite niΦφm
prekvapiv²m. Teraz vÜak natoΦte cel² Φasopis o 45░ proti smeru hodinov²ch
ruΦiΦiek. Stalo sa nieΦo?
Polarizßcia fot≤nu v riadku II je z vßÜho poh╛adu teraz
"vertikßlna", a polarizßcia v riadku IV "horizontßlna". ╚o
sa stane, ke∩ teraz tieto zdanlivo bßzovΘ polarizßcie dßme do superpozφcie?
M⌠₧eme to urobi¥ geometricky, tak, ako je to na obr. 5, na ktor² sa tie₧ treba
pozera¥ zoÜikma.á Na obr. 5a je
znßzornen² ich s·Φet a na obr. 5b rozdiel. Ako vidno, s·Φtom sme zφskali
polarizßciu III, t.j. p⌠vodn· "vertikßlnu" polarizßciu a rozdielom
polarizßciu I, p⌠vodn· "horizontßlnu". Superpozφcia superpozφciφ dßva
opΣ¥ bßzov² stav!
M⌠₧eme sa o tom presvedΦi¥ aj Φisto matematicky. OznaΦme zßkladnΘ
superpozφcie takto:
0' = 0+1
1' = -0+1
Potom superpozφcie
superpozφciφ dßvaj·
0'+1' = 0+1-0+1 = 2*1 = 1
-0'+1' = -0-1-0+1 = -2*0 = 0,
Φo s· zßkladnΘ bßzovΘ
stavy. Pri t²chto vektorov²ch
algebraick²ch operßcißch sme samozrejme vyu₧ili poznatok, ₧e stavov² vektor
vynßsoben² ╛ubovo╛n²m nenulov²m Φφslom znamenß
ten ist² fyzikßlny stav.
V praxi to znamenß, ₧e na systΘm qubitov v₧dy mo₧no nazera¥ z dvoch
komplementßrnych, v princφpe rovnocenn²ch pozφciφ: z poh╛adu v bßze zßkladn²ch
stavov a z poh╛adu v bßze pootoΦenej o 45░. Ak pootoΦφme bßzy a uvedomφme si aj
prφsluÜnΘ zmeny v logickej funkcii systΘmu, bude vÜetko fungova¥ rovnako dobre,
ako v p⌠vodnej bßze, t.j. fyzika systΘmu sa nezmenφ. Na druhej strane to eÜte
neznamenß, ₧e vÜetky mo₧nΘ bßzy s· rovnocennΘ. V praxi toti₧ budeme pou₧φva¥
hradlß v priestore lokalizovanΘ a nejak
natoΦenΘ, a prφtomnos¥ fot≤nov budeme mera¥ fotonßsoniΦmi, ktorΘ s· tie₧
lokalizovanΘ a nie s· v superpozφcii dvoch alebo viacer²ch priestorov²ch pol⌠h.
Toto teda urΦuje preferovan· bßzu pre experiment, t.j. to, Φo bude pre nßs znamena¥ stavy 0 a 1.
SpomφnanΘ poh╛ady z r⌠znych komplementßrnych bßz poznß kvantovß mechanika
vlastne u₧ od samΘho zaΦiatku: naprφklad pozorovate╛nΘ "poloha" a
"hybnos¥" s· zviazanΘ prßve t²mto druhom komplementarity! Ak presne
urΦφme polohu, t.j. ak systΘm v tejto bßze nastavφme do nejakΘho zßkladnΘho
stavu, bude sa z komplementßrnej bßzy jeho stav javi¥ "rozplφznut²"
po vÜetk²ch merate╛n²ch stavoch, t.j. neurΦitos¥ v meranφ hybnosti bude
maximßlna. A naopak. Zo snahy nejak rozumne namera¥ jeden aj druh² parameter
potom vyplynul slßvny Heisenbergov princφp neurΦitosti: "neurΦitos¥ v
polohe" krßt "neurΦitos¥ v hybnosti" je v₧dy viac ne₧ Planckova
konÜtanta delenß 4π.
Prediskutujme eÜte zariadenie na obr. 6. Je to zariadenie na kopφrovanie
informßcie ulo₧enej v polarizßcii fot≤nov a mohlo by sa pou₧i¥ ako Üpionß₧ny
prφstroj zapojen² do systΘmu optickej kßblovej komunikßcie! Vstup tohto
zariadenia tvorφ kryÜtßl kalcitu (uhliΦitan vßpenat²) rozde╛uj·ci fot≤ny s
r⌠znymi polarizßciami do dvoch drßh. Tam s· im potom postavenΘ do cesty
fotonßsobiΦe, pripojenΘ k signalizßcii udalosti preletu fot≤nu a k poΦφtaΦu,
registruj·cemu na displeji re¥azec vo forme n·l a jedniΦiek, informuj·ci o
polarizßcii prichßdzaj·cich fot≤nov a teda zobrazuj·ci prijφman· dvojkov·
informßciu. Informßcia z fotonßsobiΦov sa ∩alej vedie ku generßtorom svetla,
ktorΘ v₧dy vygeneruj· iba jedin² fot≤n prφsluÜnej polarizßcie. Vetvy
vygenerovan²ch fot≤nov sa potom spßjaj· dovedna a vysielaj· ∩alej.
Nech odosielate╛ sprßvy k≤duje 0
do "horizontßlnej" a 1 do
"vertikßlnej" polarizßcie. Po dopade na kryÜtßl je fot≤n veden²
jednou z drßh a zachyten² vo fotonßsobiΦi. PoΦφtaΦ zaregistruje signßl, vypφÜe
na displeji nulu alebo jednotku a zßrove≥ dß pokyn k vygenerovaniu jednΘho
fot≤nu tej polarizßcie, akß bola prijatß. Tento fot≤n, na nerozoznanie od
svojho zachytenΘho predchodcu, poletφ ∩alej k skutoΦnΘmu adresßtovi sprßvy,
ktor² sprßvu prijme, netuÜiac, ₧e nastal "·nik informßciφ".
AvÜak odosielate╛ mohol sprßvu rovnako dobre k≤dova¥ aj v systΘme
pootoΦenom o 45░. Teda namiesto 0 a 1 by vysielal 0' a 1'. Musel by len s
adresßtom sprßvy dohodn·¥ pou₧it· bßzu. Prijat² fot≤n poletφ v₧dy oboma drßhami, pokia╛ nenarazφ na
meracie zariadenie pozostßvaj·ce z fotonßsobiΦov a ∩alÜφch registraΦn²ch
systΘmov. Jedin² qubit informßcie, dan² znamienkom medzi vßhami mo₧n²ch drßh
fot≤nu sa r²chlo stratφ v procese kopφrovania, zosil≥ovania a interakcie s
okolφm. Bez oh╛adu na to, Φi bol prijat² stav 0' alebo 1', bude
v²sledkom merania nßhoda: v 50% prφpadov sa zobrazφ nula a v
50% prφpadov jednotka. To zßrove≥ znamenß, ₧e
"skopφrovanΘ" fot≤ny nebud· v kvantovej superpozφcii, ale bud· tvori¥
Ütatistick² s·bor s rovnovß₧nym rozdelenφm stavov 0 a 1. ╚istΘ stavy 0' a 1' sa na v²stupeá nebud· nachßdza¥! Adresßt prijme naprosto
nezmyseln· skomoleninu n·l a jednotiek, Φo pre neho jednoznaΦne indikuje snahu o ·nik informßciφ, a m⌠₧e teda
r²chlo zjedna¥ v tomto smere nßpravu.
V tomto spoΦφva vlastne cel² trik absol·tne bezpeΦnΘho Üifrovania sprßv, aj
ke∩ na dosiahnutie matematickej
istoty musia ·Φastnφci (v literat·re sa v₧ilo trochu familißrne pomenovanie
·Φastnφkov komunikßcie - odosielate╛om sprßvy je Alice a adresßtom Bob,
Üpi≤nuje v₧dy Eva) komunikova¥ obojsmerne a dodr₧iava¥ urΦit² Üpecifick²
protokol komunikßcie, pomocou ktorΘho si predßvaj· nielen vlastn· sprßvu, ale
aj prepotrebnΘ (rovnako tajnΘ) informßcie o natoΦenφ polarizaΦnej bßzy.