⌐φrenie impulzu

Mo╛no by si teraz Φakal obrßzok so ╣tyrmi oscilßtormi a ∩al╣φ sp⌠sob rie╣enia problΘmu ako popφsa╗ ich pohyb. V skutoΦnosti tie dva predchßdzaj·ce sp⌠soby rie╣enia neboli r⌠zne. Boli to iba dva varianty realizßcie tej istej my╣lienky. Jeden variant si predral cestu od zaΦiatku a druh² od konca. Priznßm sa, ╛e tu niekde, sa asi konΦia v╣etky moje tradiΦnΘ vedomosti oh╡adom rie╣enia tak²chto systΘmov a neviem o niΦom, Φo by ma prin·tilo rie╣i╗ ╣tyri zviazanΘ oscilßtory na "papiery".

systΘm Φ. 4

Nebudem rie╣i╗ ╣tyri zviazanΘ oscilßtori ani ╛iaden ich koneΦn² poΦet, no vyrie╣φm nekoneΦnΘ mno╛stvo zviazan²ch oscilßtorov.

obrßzok Φ. 4

Pod╡a obrßzku Φ. 4 napφ╣em pohybov· rovnicu pre oscilßtor v strede, podobne ako som to u╛ robil v predchßdzaj·cich odsekoch. Dostßvam diferencißlnu rovnicu:

Takßto rovnica platφ pre ka╛d² oscilßtor v nekoneΦnom rade oscilßtorov. Teraz si premenujem v²chylky oscilßtorov, namiesto diskrΘtneho pomenovania zavediem spojitΘ, priΦom rovnovß╛nu vzdialenos╗ medzi dvoma susedn²mi oscilßtormi si oznaΦφm b. Potom:

m(a2/t2) = ka(x-b) - 2ka(x) + ka(x+b),

(1)

pod╡a pßna Taylora platφ:

a(x-b) = a(x) + (a(x)/x)(-b) + (²a(x)/x²)(-b)² + ..,

a(x+b) = a(x) + (a(x)/x)(+b) + (²a(x)/x²)(+b)² + ..,

to ke∩ dosadφm do (1), tak dostanem vlnov· rovnicu:

m(²a(x,t)/t²) = kb²(²a(x,t)/x²).

Tßto rovnica predstavuje parcißlnu diferencißlnu rovnicu pre funkciu a = a(x,t). Ke∩ si zavediem oznaΦenie v² = kb²/m, potom ju m⌠╛em prepφsa╗ prehladnej╣ie:

2a/t2 = v2 2a/x2.

(3)

Dosadenφm sa m⌠╛e╣ presvedΦi╗, ╛e rie╣eniami rovnice (3) s· v╣etky funkcie typu:

a = f(t x/v),

(4)

systΘm Φ. 4

teda takΘ funkcie, ktorΘ sa pohybuj· r²chlos╗ou v smerom doprava alebo do╡ava, priΦom sa nemenφ ich tvar. Z toho vypl²va, ╛e mechanickΘ vlnenie v nekoneΦnom rade oscilßtorov sa bude ╣φri╗ r²chlos╗ou:

v = b(k/m),

(5)

kde b je rovnovß╛na vzdialenos╗ medzi oscilßtormi o hmotnosti m a k je koeficient pru╛nosti pru╛φn medzi nimi.

E╣te treba upozorni╗ na najpou╛φvanej╣ie rie╣enie rovnice (3), a t²m je nekoneΦnß monochromatickß vlna s frekvenciou = 2f:

a(x,t) = Asin[(t - x/v)] = Asin(t - x/v) = Asin(t - dx),

(6)

priΦom

d = /v = 2/(Tv) = 2/,

(7)

kde = vT je vlnovß dσ╛ka monochromatickej vlny.

by natT