M≤dy

systΘm Φ. 3

Majme opΣ╗ systΘm podobn² ako v predchßdzaj·cich odstavcoch, iba╛e s troma Φasticami. V²chylky Φastφc si oznaΦφm pomocou s·radnφc x₁, x₂, x₃ (Φastice maj· hmotnosti m a pru╛inky koeficienty pru╛nosti k). V tomto odstavci ti ukß╛em in² sp⌠sob rie╣enia ako pomocou prechodu k prirodzen²m s·radniciam danΘho systΘmu. Aj ke∩ samozrejme aj toto by sa dalo tak rie╣i╗.

OpΣ╗ si ako prvΘ treba napφsa╗ pohybovΘ rovnice, podobne ako sme to u╛ robili v odstavci SpriahnutΘ oscilßtory:

Na rie╣enie tejto s·stavy diferencißlnych rovnφc vyu╛ijem sk·senosti, ktorΘ mßme z predchßdzaj·ceho odstavca. V╣imol som si, ╛e v╣eobecnΘ rie╣enie sa dalo napφsa╗ superpozφciou ╣pecißlnych rie╣enφ - m≤dov. Tak teda budem predpoklada╗, ╛e aj teraz sa to bude da╗ spravi╗ podobne a budem hlada╗ takΘto m≤dy - stavy, kedy v╣etky Φastice kmitaj· s rovnakou frekvenciou. Hladßm teda rie╣enia naprφklad v tvare:

x1 = Asin(t), x2 = Csin(t), x3 = Esin(t),

(2)

kde A, C, E a s· neznßme. Po dosadenφ (2) do (1) a po ·prave dostanem tak·to s·stavu 3 obyΦajn²ch rovnφc o 4 neznßmych:

A(2k - m2) - Ck = 0, -Ak + C(2k - m2) - Ek = 0, -Ck + E(2k - m2) = 0,

(3)

To by mohlo na prv² poh╡ad vyzera╗ beznßdejne, no lep╣ie to bude, ke∩ si uvedomφm, ╛e nepotrebujem vedie╗ presnΘ hodnoty kon╣tßnt A, C a E. StaΦφ mi, ke∩ budem pozna╗ ich pomery, a potom z poΦiatoΦn²ch podmienok si urΦφm ich hodnoty. Na Φom mi zßle╛φ viac, je, Φi sa bud· da╗ zisti╗ hodnoty pre jednotlivΘ m≤dy.

S·stava (3) je homogΘnna (na prav²ch stranßch mß samΘ 0), preto jej rie╣enφm je aj A, C, E,  = 0. No ja h╡adßm netrivißlne rie╣enie, a takΘ budem ma╗ ╣ancu nßjs╗ vtedy, ak determinant takejto s·stavy bude 0. (PreΦo je to tak? Na to prφde╣ vtedy, ke∩ poprem²╣la╣ nad t²m, ako sa s·stava rovnφc rie╣i pomocou Cramerov²ch determinantov.)

det		2k - m2	-k	0		=
		-k	2k - m2	-k
		0	-k	2k - m2

= (2k - m2)[(2k - m2) - k2] - k2(2k - m2) =

= (2k - m2)[(2k - m2) - 2k2] =

= (2k - m2)(m24 - 4km2 + 2k2) = 0.

Rie╣enφm tejto rovnice pre neznßmu dostanem:

1 = 2k/m, 2 = (2 + 2)k/m, 3 = (2 - 2)k/m.

(3a)

A spΣtn²m dosadenφm t²chto rie╣enφ do s·stavy (3) dostanem vz╗ahy pre A, C, E:

A = -E, C = 0 pre 1, A = E, C = -A2 pre 2, A = E, C = A2 pre 3.

(3b)

To istΘ by som dostal, keby som h╡adal m≤dy v tvare:

x1 = Bcos(t), x2 = Dcos(t), x3 = Fcos(t),

kde B, D, F s· reßlne kon╣tanty.

To znamenß, ╛e som na╣iel takΘto 3 m≤dy m⌠jho systΘmu:

	(1)x1(t) = A1sin(1t) + B1cos(1t), (1)x2(t) = 0, (1)x3(t) = -A1sin(1t) - B1cos(1t).
	(2)x1(t) = A2sin(2t) + B2cos(2t), (2)x2(t) = -A22sin(2t) - B22cos(2t), (2)x3(t) = A2sin(2t) + B2cos(2t).
	(3)x1(t) = A3sin(3t) + B3cos(3t), (3)x3(t) = A32sin(3t) + B32cos(3t), (3)x3(t) = A3sin(3t) + B3cos(3t).

V╣eobecnΘ rie╣enie mß teda tvar:

x₁(t) = ⁽¹⁾x₁(t) + ⁽²⁾x₁(t) + ⁽³⁾x₁(t),
x₂(t) = ⁽¹⁾x₂(t) + ⁽²⁾x₂(t) + ⁽³⁾x₂(t),
x₃(t) = ⁽¹⁾x₃(t) + ⁽²⁾x₃(t) + ⁽³⁾x₃(t),

priΦom kon╣tanty A₁, A₂, A₃ a B₁, B₂, B₃ treba urΦi╗ z poΦiatoΦn²ch podmienok.

by natT

< SpriahnutΘ oscilßtory

⌐φrenie impulzu >