< Harmonick² oscilßtor M≤dy >

SpriahnutΘ oscilßtory

Klikni sem
systΘm Φ. 2

SystΘm Φ. 2 je tvoren² dvomi rovnak²mi Φasticami s hmotnos╗ami m a tromi rovnak²mi pru╛inkami s koeficientami pru╛nosti k. Klikni na obrßzok hore a uvidφ╣ ako sa tak² systΘm sprßva. Na prv² poh╡ad je patrnΘ, ╛e to nie je trivißlny pohyb. No aj napriek tomu sa ti pok·sim vysvetli╗ ako sa dß popφsa╗.

Najprv samozrejme musφm napφsa╗ pohybovΘ rovnice pre tak²to systΘm, priΦom si zavediem dve s·radnice - x1 a x2 - pod╡a obrßzku Φ. 3. Predstav si konkrΘtnu situßciu, ke∩ je pru╛inka 1 vych²lena doprava o x1 a pru╛inka 2 taktie╛ doprava o x2, a pre urΦitos╗ nech platφ, ╛e x2 > x1.

Sem neklikaj
obrßzok Φ. 3

Teraz m⌠╛em naprφklad napφsa╗, akß sila p⌠sobφ na Φasticu 1. No urΦite to bude v²slednica dvoch sφl, a to sily od pru╛inky I a sily od pru╛inky II. Pru╛inka I je natiahnutß, sna╛φ sa skrßti╗, a teda ╗ahß Φasticu 1 do zßpornΘho smeru (do╡ava). Pru╛inka II je taktie╛ natiahnutß, lebo x2 - x1 > 0, sna╛φ sa preto skrßti╗, a tak ╗ahß Φasticu 1 v kladnom smere (doprava). Pre Φasticu 1 m⌠╛em teda pφsa╗:

mx''1 = -kx1 + k(x2 - x1).(1a)

Podobnou ·vahou d⌠jdem k takejto rovnici pre Φasticu 2:

mx''2 = -k(x2 - x1) - kx2.(1b)

Dostal som teda dve zviazanΘ diferencißlne rovnice pre funkcie x1(t) a x2(t), Φo sa vo v╣eobecnosti rie╣i dos╗ ╗a╛ko. Iba╛e by sa mi ich podarilo "rozviaza╗". A to sa naozaj dß! Takouto transformßciou s·radnφc (substit·ciou):

q1 = x2 - x1,
q2 = x2 + x1,
(2a)

Φomu zodpovedß inverznß transformßcia:

x1 = (q2 - q1)/2,
x2 = (q2 + q1)/2.
(2b)

Ke∩ dosadφm zßmenu s·radnφc (2b) do rovnφc (1a) a (1b), potom po ·prave dostanem:

q''1 = -(3k/m)q1,
q''2 = -(k/m)q2,
(3)

teda dve nezßvislΘ diferencißlne rovnice, ktorΘ sme u╛ rie╣ili v odstavci Harmonick² oscilßtor a v²sledok je:

q1(t) = 2Csin(At) + 2Dcos(At),
q2(t) = 2Asin(St) + 2Bcos(St),

priΦom som si zaviedol oznaΦenia A = (3k/m)1/2, S = (k/m)1/2 a A, B, C, D s· reßlne kon╣tanty urΦenΘ poΦiatoΦn²mi podmienkami.

A preΦo sme dostali v t²chto s·radniciach takΘ jednoduchΘ rie╣enie? Pravdu povediac nerozumiem tomu a╛ tak, aby som ti to vedel vysvetli╗. M⌠╛em ti v╣ak ukßza╗, Φo s· to m≤dy - stavy systΘmu, kedy v╣etky Φastice v ≥om kmitaj· s rovnakou frekvenciou. Aby si videl, Φo mßm na mysli, polo╛me naprφklad kon╣tanty A a B rovnΘ nule, potom bude plati╗:

q1(t) = 2Csin(At) + 2Dcos(At),
q2(t) = 0.

A toto je prv² m≤d, preto╛e ke∩ sa vrßtim do p⌠vodn²ch s·radnφc pomocou vz╗ahov (2b), dostanem:

x1(t) = -Csin(At) - Dcos(At),
x2(t) = Csin(At) + Dcos(At),

teda obidve Φastice kmitaj· s rovnakou frekvenciou A, Φo sa dß schematicky znßzorni╗ takto:


antisymetrick² m≤d

Druh² m≤d dostanem tak, ╛e polo╛φm C a D rovnΘ nule. Potom d⌠jdem k symetrickΘmu m≤du:

x1(t) = Asin(St) + Bcos(St),
x2(t) = Asin(St) + Bcos(St),

alebo schematicky:


symetrick² m≤d

Viacej o m≤doch sa m⌠╛e╣ doΦφta╗ v ∩al╣om odstavci - M≤dy. Pre ·plnos╗ e╣te napφ╣em v╣eobecnΘ rie╣enie v x-ov²ch s·radniciach pomocou vz╗ahov (2b):

x1(t) = Asin(St) + Bcos(St) - Csin(At) - Dcos(At),
x2(t) = Asin(St) + Bcos(St) + Csin(At) + Dcos(At).

Pripomφnam, ╛e kon╣tanty A, B, C, D s· urΦenΘ poΦiatoΦn²mi podmienkami.

by natT

< Harmonick² oscilßtor M≤dy >