Volßm sa Milan a budem rie╣i╗ jeden z ukß╛kov²ch prφkladov z elektriny. Pri rie╣enφ budem pou╛φva╗ matematick² aparßt, ktor² si vy╛aduje vedomosti prvßka na vysokej (t²m v╣ak nechcem odradi╗ na╛havenΘho stredo╣kolßka). ZaujφmavΘ na tomto prφklade je to, ╛e pre be╛nΘho "smrtelnφka" nie je rie╣iteln² priamoΦiaro, no bude rie╣iteln², ke∩ trochu pozmenφm zadanie a pou╛ijem trik znßmy ako met≤da imaginßrneho nßboja.
Zadanie: Vo vodivej uzemnenej sfΘre o polomere a je umiestnen² nßboj
q vo vzdialenosti d od stredu sfΘry (pozri Obr.1).
VypoΦφtaj:
a) akß sila p⌠sobφ na nßboj velkosti q?
b) ak² potencißl je vo vn·tri vodiΦa?
c) ako sa rozlo╛φ nßboj na vn·tornej stene vodiΦa?
Rie╣enie: Sk⌠r ako zaΦnem rie╣i╗ bod a), bude treba urobi╗ nßsleduj·cu ·vahu: VodiΦ je uzemnen², to znamenß, ╛e v╣etok nßboj z povrchu je odvßdzan² preΦ. Preto nßboj q vo vn·tri (vodiΦa) nem⌠╛e nijako ovply≥ova╗ elektrickΘ pole vonku. Pre jednoduhos╗ budem pova╛ova╗ elektrickΘ pole mimo vodiΦa za nulovΘ, a potom, ked╛e vonku nie je elektrickΘ pole, nebude vykonßvanß ╛iadnß prßca pri prenß╣anφ nßboja z nekoneΦna na povrch vodiΦa. Prßca je rozdiel potencißlov, preto potencißl na vodiΦi je rovnak² ako v nekoneΦne (povrch vodiΦa je ekvipotencißlna plocha). Ak budem potencißl V rßta╗ pomocou vzorca:
|
(1) |
(k je kon╣tanta ·mernosti) potom potencißl v nekoneΦne, teda aj na vodiΦi, bude nulov².
Teraz na chvφ╡u preru╣φm t·to ·vahu a pozriem sa na Obr.2. S· tam ekvipotencißlne hladiny dvoch opaΦne nabit²ch nßbojov v ich rovine. Pre ve╡kosti nßbojov platφ: |qvpravo| = 2|qv╡avo|. KladnΘ hodnoty potencißlu s· vynesenΘ Φervenou farbou, zßpornΘ modrou. A teda na rozhranφ modrej a Φervenej sa nachßdza nulov² potencißl. Toto rozhranie sa na obrßzku podobß na kru╛nicu. A Φo ak to je kru╛nica? A Φo ak to je v priestore sfΘra? Potom by som mohol do tohoto rozhrania vlo╛i╗ vodiv· uzemnen· sfΘru (teda s nulov²m potencißlom) urΦit²ch rozmerov a v⌠bec by neovplyvnila vzßjomne p⌠sobenie medzi t²mito nßbojmi.
Presne to teraz vyu╛ijem a pozriem sa na ∩a╡╣φ obrßzok - Obr.3. Na ≥om mo╛no vidie╗ siloΦiary t²ch ist²ch nßbojov a uzemnen² vodiΦ, ktor² teda svojou prφtomnos╗ou nemenφ elektrickΘ pole od t²chto dvoch nßbojov. SiloΦiary s· z definφcie kolmΘ na ekvipotencißlne plochy a teda aj na vodiΦ. Teraz je u╛ zrejmΘ (okrajovΘ podmienky), ╛e v okolφ nßboja qv╡avo bude rovnakΘ elektrickΘ pole, Φi na≥ p⌠sobφ imaginßrny nßboj qvpravo, alebo uzemnen² vodiΦ. A teda m⌠╛em si ·lohu p⌠sobenia vodiΦa na nßboj premeni╗ na ·lohu o p⌠sobenφ nßboja na nßboj.
To je v╣etko peknΘ, no neuverφm tomu, k²m to nespoΦφtam. ZaΦnem t²m, ╛e nßjdem ekvipotencißlnu plochu dvoch opaΦne nabit²ch, inßΦ ╡ubovo╡n²ch nßbojov q a q'. Pre urΦitos╗ si zvolφm nßboj q zßporn² a nßboj q' kladn². S·radnicov· s·stavu a ostatnΘ oznaΦenia si zavediem pod╡a Obr.1 a Obr.4 (Os x je Φervenß, y zelenß a z modrß.) A poΦφtam:
Potencißl V od nßboja q v ╡ubovolnom bode priestoru bude:
 |
(2a) |
kde rq je poloha nßboja q. Podobne potencißl V' od nßboja q':
 |
(2b) |
(Pripomφnam, ╛e nßboj q' som si zvolil kladn².)
Chcem nßjs╗ nulov· ekvipotencißlnu hladinu, teda chcem zisti╗, kde le╛ia body, ktorΘ spσ≥aj·: V + V' = 0. Postupne dostanem:
 |
(3a) |
 |
(3b) |
 |
(3c) |
| ... | |
 |
(3d) |
kde
   |
(3e) |
Tak╛e hladina nulovΘho potencißlu je naozaj sfΘrou so stredom v bode [0, y0, 0] a s polomerom r, ako som oΦakßval. Teraz v╣ak musφm nastavi╗ ve╡kos╗ a vzdialenos╗ imaginßrneho nßboja q' tak, aby mi hladina nulovΘho potencißlu (medzi q a q') presne sadla na moju sfΘru zo zadania.
Z vo╡by s·radnφc vypl²va, ╛e musφm polo╛i╗: y0 = 0 a r = a, potom:
  |
(4a) |
Rie╣enφm t²chto podmienok dostanem h╡adan· polohu a ve╡kos╗ imaginßrneho nßboja:
  |
(4b) |
A teraz mi u╛ niΦ nebrßnφ poΦφta╗ t·to ·lohu ako ·lohu o p⌠sobenφ dvoch nßbojov.
a) Z CoulombovΘho zßkona nßboj q' (a teda vodiΦ) p⌠sobφ na nßboj q silou:
 |
(5a) |
vyu╛itφm (4b), odpove∩ na otßzku a) bude:
 |
(5b) |
b) Ke∩ u╛ viem ve╡kos╗ imaginßrneho nßboja a jeho umiestnenie, potom je odpove∩ na b) jednoduchß, staΦφ mi v priestore sfΘry sΦφta╗ potencißly (2a) a (2b) od oboch nßbojov.
 |
(6a) | |
S vyu╛itφm (4b) dostanem odpove∩ na otßzku b):
 |
(6b) | |
Pribli╛n· predstavu o tom, ako to vyzerß pre |q'| = 2|q|, d = 1 a D = 5, mo╛no zφska╗ z Obr.6a,b,c,d, kde je naΦrtnutß funkcia V(x, y) v rovine nßbojov. (Rozhranie modrej a Φervenej zodpovedß umiestneniu vodiΦa.)
c) Zisti╗, ako sa rozlo╛φ nßboj na vn·tornej stene vodiΦa, u╛ nebude takΘ
jednoduchΘ. Najprv si musφm uvedomi╗, ╛e rozlo╛enie elektrickΘho nßboja na ploche
mi charakterizuje fyzikßlna veliΦina 
- plo╣nß hustota nßboja, ktorej definφcia je:
 |
(7) |
Z tohoto vyjadrenia ve╡a toho nevypoΦφtam a aby som zφskal lep╣ie, budem musie╗ pou╛i╗ Gaussov zßkon, ktor² hovorφ: Tok elektrickej intenzity E cez uzavret· plochu S je ·mern² celkovΘmu nßboju vo vn·tri tejto plochy - Q, teda:
 |
(8) |
kde k' je kon╣tanta ·mernosti.
Plocha, ktor· som si zvolil pre Gaussov zßkon, mß tvar "plechovky" (pozri Obr.7). V²╣ku plechovky si zvolφm ve╡mi (infinitezimßlne) mal·. To znamenß tak· mal·, ╛e ju bude mo╛nΘ zanedba╗ v porovnanφ s rozmermi sfΘry (aj ke∩ na obrßzku to tak nevyzerß). Potom budem m⌠c╗ pova╛ova╗ tok vektora E boΦn²mi stenami za nulov². Podstavu plechovky si zvolφm opΣ╗ infinitezimßlne mal· (celß podstava bude rovnobe╛nß s povrchom sfΘry). Mimo vodiΦa nie je ╛iadne elektrickΘ pole, preto tok elektrickej intenzity podstavou mimo vodiΦa bude nulov². Tok vn·tornou podstavou bude: EdS (E je ve╡kos╗ vektora E a dS je ve╡kos╗ infinitezimßlnej pl⌠╣ky, ktorou vektor E prechßdza kolmo).
Celkov² tok elektrickej intenzity E mojou plechovkou teda bude:
 |
(9) |
(vektor dS smeruje v╛dy von z uzavretej plochy) no tento tok je ·mern² (Gaussov zßkon) celkovΘmu nßboju vo vn·tri
plechovky, ktor² sa nachßdza na infinitezimßlnej pl⌠╣ke ve╡kosti dS z vn·tra
sfΘry. Ke∩╛e tßto pl⌠╣ka je ve╡mi malß, m⌠╛em predpoklada╗, ╛e je na nej nßboj
rozmiestnen² rovnomerne, a potom m⌠╛em priamo pou╛i╗ definφciu plo╣nej hustoty
(7) na vyjadrenie tohoto nßboja:
 |
(10) |
Dosadenφm (9) a (10) do Gaussovho zßkona (8) dostanem:
 |
(11) |
Dostal som tak u╛itoΦnej╣ie vyjadrenie pre plo╣n· hustotu nßboja ,
ktorΘ mi hovorφ, ╛e ak chcem zisti╗ rozlo╛enie nßboja na sfΘre, musφm vlastne zisti╗
rozlo╛enie ve╡kosti elektrickej intenzity E. A teraz mi nepom⌠╛e u╛ niΦ inΘ,
iba zaΦa╗ rßta╗:
Najprv zistφm, akß je intenzita E v ╡ubovolnom bode sfΘry (xs, ys, zs). To zistφm jednoduch²m sΦφtanφm (pozri Obr.8) intenzφt E1 a E2 od nßbojov q a q' v bode (xs, ys, zs):
 |
(12) |
(E╣te raz pripomφnam, ╛e nßboj q je kladn² a q' zßporn².)
M≥a ale zaujφma ve╡kost vektora elektrickej intenzity. Ve╡kos╗ vektora dostanem naprφklad tak, ╛e ho skalßrne prenßsobφm jednotkov²m vektorom, ktor² mß rovnak² smer ako dan² vektor. Ked╛e vektor E je kolm² na sfΘru s poΦiatkom v bode [0, 0, 0], m⌠╛em jeho ve╡kos╗ urΦi╗ tak, ╛e ho skalßrne prenßsobφm jednotkov²m radißlnym vektorom nr (pozri Obr.9):
 |
(13a) |
ke∩ teraz dosadφm (12) do tohoto vyjadrenia dostanem:
 |
(13b) |
T²m je bod c) prakticky vyrie╣en². StaΦφ u╛ iba dosadi╗ posledn² v²raz do
(11). Dostal by som v╣ak plo╣n· hustotu
ako funkciu troch premenn²ch: xs, ys,
zs. Ked╛e v╣ak popisujem rozlo╛enie nßboja na ploche, potom
urΦite existuj· takΘ s·radnice, v ktor²ch mo╛no napφsa╗ ako funkciu
dvoch premenn²ch. Tak²mi s·radnicami s· naprφklad takΘ ako na Obr.10.
Pod╡a tohoto obrßzka platφ:
 |
(14) |
Dosadenφm t²chto transformaΦn²ch vz╗ahov do (13b) dostanem:
 |
(13c) |
po vyu╛itφ (4b) a po ·prave:
 |
(13d) |
a teda pre plo╣n· hustotu elektrickΘho nßboja na sfΘre pod╡a (11):
 |
(15) |
Nakoniec vy╣la ako funkcia iba jednej premennej. ╚o sa dalo
v tomto prφpade Φaka╗, preto╛e ·loha je symetrickß vzh╡adom na os, ktorß prechßdza
nßbojmi q a q'. Ka╛dß symetria znamenß zjednodu╣enie a v tomto prφpade
nezßvisφ od 
.
Nßzorne mo╛no vidie╗ rozlo╛enie elektrickΘho nßboja na vodivom uzemnenom vodiΦi v tvare sfΘry na obrßzku Obr.11 pre d/a = 1/4 (zelenß), d/a = 1/2 (Φervenß) a d/a = 3/4 (modrß).
Ak mß╣ dajakΘ otßzky, pripomienky, alebo mßm niekde chybu k╡udne mi napφ╣ na natt@pobox.sk
by natT (29.12.2001)