MokrΘ koleso

Zadanie: Po mokrej ceste sa r²chlos╗ou velkosti u valφ koleso o polomere R. Do akej maximßlnej v²╣ky m⌠╛e vyletie╗ kvapka, ktorß sa odtrhne od kolesa?

obrßzok Φ. 1

Rie╣enie: Na obrßzku Φ. 1 m⌠╛e╣ vidie╗, ╛e som si zvolil vz╗a╛n· s·tavu spojen· so stredom kolesa. Pre takΘ oznaΦenie, akΘ som si zvolil na obrßzku, m⌠╛em pre polohu konkrΘtneho bodu na obvode kolesa pφsa╗:

r = (x, y) = (Rcos , Rsin ),

kde sa menφ rovnomerne s Φasom t pod╡a vz╗ahu = t, priΦom platφ = u/R. Derivovanφm pod╡a Φasu dostanem r²chlos╗ danΘho bodu:

r' = v = (v_x, v_y) = (-usin , ucos ).

Teraz budem predpoklada╗, ╛e z ╡ubovolnΘho miesta na obvode kolese sa odtrhne kvapka. Potom vypoΦφtam v²╣ku, do akej vyletφ a nakoniec zistφm, pri akom bude tßto v²╣ka maximßlna. Koleso sa pohybuje do╡ava, teda smerom nahor bud· vytrhßvanΘ kvapky, pre ktorΘ platφ -/2 < < /2. Bud· sa pohybova╗ v homogΘnnom gravitaΦnom poli, a preto╛e ma zaujφma iba v²╣ka, do ktorej vyletia, bud· mi na to staΦi╗ tieto vz╗ahy z kinematiky:

kde y₀ je s·radnica miesta, z ktorΘho kvapka vyletφ a v_y0 je zlo╛ka r²chlosti, ktorou vyletφ. Platφ:

y₀ = Rsin ,
v_y0 = ucos .
(-/2 < < /2)

╧alej vypoΦφtam Φas, kedy bude r²chlos╗ v_y nulovß, a ten dosadφm do vz╗ahu pre y. Dostanem tak v²╣ku, do ktorej kvapka vyletφ v zßvislosti od miesta, z ktorΘho vyletela:

h = R + Rsin + (u²/2g)cos².

T·to rovnos╗ zderivujem pod╡a a dostanem miesto, z ktorΘho kvapky vylietßvaj· najvy╣╣ie. Po zderivovanφ:

0 = (cos )(R - (u²/g)sin ),

z toho dostanem podmienky:

0 = cos ,
Rg/u² = sin .

Prvß podmienka bude splnenß v╛dy, pre = /2, druhß iba vtedy, ak bude plati╗ Rg/u² < 1. To znamenß, ╛e ak bude r²chlos╗ kolesa u vaΦsia ako (Rg), musφm maximßlnu v²╣ku rßta╗ z podmienky Φ. 2 a kvapky vyletia aj vy╣╣ie ako 2R, v opaΦnom prφpade mi z podmienky Φ. 1 vypl²va, ╛e kvapky sa dostan· najviac do v²╣ky 2R. StruΦne zapφsanΘ:

hmax = 2R, pre u (Rg),   hmax = R + u2/2g + gR2/2u2, pre u (Rg)

by natT