Raketa

Zadanie: Predstav si raketu, ktorß je v pokoji a mß poΦiatoΦn· hmotnos╗ M0, priΦom 90% tejto hmotnosti tvorφ palivo. Toto palivo sa zaΦne postupne spalova╗ tak, ╛e bude unika╗ kon╣tantnou r²chlos╗ou c = 1000 m.s-1 s hmotnostn²m tokom w = 500 kg.s-1. Ak· maximßlnu r²chlos╗ raketa zφska?

Rie╣enie: Predstav si raketu tesne pred t²m ako z jej trysiek vyletφ prv² "k·sok" spßlenΘho paliva. Zo zßkona zachovania hybnosti musφ plati╗, ╛e hybnos╗ tohoto k·sku sa musφ rovna╗ zmene hybnosti rakety:

cm = (M0 - m)v,

kde m je hmotnos╗ k·sku a v je prφslu╣nß zmena r²chlosti rakety.

Hmotnos╗ rakety sa bude postupom Φasu ·bytkom paliva zmen╣ova╗, no pre ka╛d² Φas t m⌠╛em pφsa╗ analogick· rovnicu:

cm = (M(t) - m)v,

priΦom poznßm aj zßvislo╗ M = M(t). Preto╛e plyny unikaj· kon╣tantnou r²chlos╗ou, bude plati╗: M = M0 - wt. To m⌠╛em dosadi╗ do poslednej rovnice a po zanedbanφ s·Φinu mal²ch Φφsel dostanem diferencißlnu rovnicu:

cw/(M0 - wt) = dv/dt.

Po zintegrovanφ a zohladnenφm toho, ╛e na zaΦiatku bola r²chlos╗ rakety nulovß, dostanem:

 v(t) = c ln(M0 / (M0 - wt)) 

Ke∩ sem dosadφm Φφsla so zadania, pre koneΦn· r²chlos╗ rakety dostanem pribli╛ne hodnotu v ~ 2,3 km.s-1.

by natT