- pozri obrßzok dole). Bude pozorovate╡, ktor² zachytφ tento fot≤n pozorova╗ rovnak· frevenciu? Zo zßkonov zachovania energie a hybnosti ti ukß╛em, ╛e nie!Predstav si at≤m o hmotnosti M pohybuj·ci sa r²chlos╗ou v (vo vz╗a╛nej s·stave pozorovate╡a), ktor² vy╛iarφ fot≤n s frekvenciou f (pod uhlom - pozri obrßzok dole). Bude pozorovate╡, ktor² zachytφ tento fot≤n pozorova╗ rovnak· frevenciu? Zo zßkonov zachovania energie a hybnosti ti ukß╛em, ╛e nie!
Najjednoduch╣ie sa tßto nutnß zmena frekvencie ukß╛e tak, ╛e budem uva╛ova╗ vy╛iarenie fot≤nu v smere vektora v (pre = 0). Takto vy╛iarenΘmu fot≤nu zodpovedß hybnos╗ p = E/c, kde E je jeho energia (pozri S·vis medzi energiou a hybnos╗ou). Potom zo zßkona zachovania hybnosti vypl²va, ╛e po vy╛iarenφ sa musφ hybnos╗ at≤mu, a teda aj jeho kinetickß energia, zmen╣i╗. Tßto energia, ktor· at≤m stratφ, zo zßkonu zachovania energie pripadne fot≤nu. Energia fot≤nu sa teda zv²╣i, a t²m sa zv²╣i aj jeho frekvencia, lebo platφ f = E/h, kde h je Planckova kon╣tanta.
Teraz teda v╣eobecne. Pod╡a obrßzku hore bude zßkon zachovania hybnosti znie╗:
| smer osi x: p = p'x + (hf'/c)cos, smer osi y: 0 = p'y + (hf'/c)sin , | (1) |
kde p = Mv. Zmena kinetickej energie at≤mu je:
 T = T' - T = (p'2 - p2)/2M. |
Pomocou vz╗ahov (1) si m⌠╛em vyjadri╗ p'2 = (p'x)2 + (p'y)2 a dostanem:
| T = [-2p(hf'/c)cos + (hf'/c)2]/2M. |
Druh² Φlen s·Φtu (h2f'2/2Mc2) v poslednom vz╗ahu je v be╛n²ch situßciach zanedbateln², preto pre zmenu kinetickej energie m⌠╛em pφsa╗:
| T = -hf'(v/c)cos. | (2) |
Nakoniec mi e╣te zostßva napφsa╗ zßkona zachovania energie pre moju situßciu:
| hf = hf' + T, | (3) |
po dosadenφ (2) do (3) dostanem v²sledok:
| f' = f/[1 - (v/c)cos] ~ f[1 + (v/c)cos] |
priΦom poslednΘ priblφ╛enie, kedy v << c, je nutnΘ, ke∩╛e som neuva╛oval relativisticky.
natT