, ktorou sa potom od neho ╣φri vlnenie (zvuk). Ak sa toto vlnenie ╣iri r²chlos╗ou c (napr. v atmosfΘre pri povrchu je to pribli╛ne 330 m.s-1), potom platφ:Tento jav budem kv⌠li lep╣ej predstave popisova╗ na akustickom vlnenφ v atmosfΘre, priΦom budem hovori╗ o zdroji zvuku (na obrßzkoch znaΦen² ako Z) a o pozorovate╡ovi, alebo ke∩ chce╣ o posluchßΦovu (na obrßzkoch ako P). Mojou ·lohou bude zisti╗, ako vnφma pozorovate╡ urΦit² t≤n, ktor² vysiela zdroj, ke∩ sa pohybuj· rovnomern²m pohybom voΦi povrchu Zeme, priΦom budem predpoklada╗, ╛e vzduch je voΦi povrchu Zeme nehybn².
ZaΦnem od najjednoduch╣ieho prφpadu, od relatφvneho pohybu pozorovate╡a a zdroja pozdσ╛ priamky. Nesk⌠r sa pozriem aj na v╣eobecn² pohyb, tzn. v priestore sa bude pozorovate╡ aj zdroj zvuku pohybova╗ ╡ubovoln²m smerom.
K²m zaΦnem, pripomeniem ti jednu variantu vz╗ahu s = vt. Je to vz╗ah medzi peri≤dou kmitania zdroja TZ (resp. jeho frekvenciou fZ) a vlnovou dσ╛kou , ktorou sa potom od neho ╣φri vlnenie (zvuk). Ak sa toto vlnenie ╣iri r²chlos╗ou c (napr. v atmosfΘre pri povrchu je to pribli╛ne 330 m.s-1), potom platφ:
| = cTZ = c/fZ. | (1) |
Z tohoto jednoduchΘho vz╗ahu vypl²va, ╛e vlnovΘ dσ╛ky be╛n²ch zvukov (okolo 1 kHz) s· rßdovo metre.
To╡ko na ·vod, teraz u╛ prejdem k prvΘmu prφpadu:
(i) Pohyb pozorovate╡a
(a) Pohyb pozorovate╡a od zdroja Tßto situßcia je schΘmaticky znßzornenß na obrßzku Φ. 1 vpravo. ╚o som sa na ≥om sna╛il znßzorni╗? Je to sekvencia troch momentov, ktorΘ nastali v Φase t = 0, TZ a 2TZ, kde TZ je peri≤da kmitov zdroja. V Φase t = 0 sa nachßdzaj· zdroj aj pozorovate╡ na rovnakom mieste, priΦom pozorovate╡ sa pohybuje smerom doprava r²chlos╗ou ve╡kosti u (na obrßzku u = c/2) a zdroj vysiela prv² signal. V nßsleduj·com okamihu t = TZ vysiela zdroj da╡╣φ signßl, zatia╡ ale pozorovate╡ pre╣iel drßhu uTZ (na obr. cTZ/2), a tak peri≤da, ktor· bude prijφma╗ pozorovate╡ TP, bude vlastne Φas, za ktor² k nemu d⌠jde druh² signßl - to je 3. okamih v Φase t = TP = 2TZ. To som rozoberal konkrΘtnu situßciu, kedy u = c/2. Pre ╡ubovolnΘ u ale m⌠╛em pφsa╗: teda h╡adßm Φas t, kedy druh² signßl dorazφ k pozorovate╡ovi, ak on prechßdzal okolo zdroja prßve vtedy, ke∩ bol vyslan² prv² signßl (v Φase t = 0). Rie╣enφm dostanem peri≤du, ktor· vnφma pozorovate╡: potom pre frekvenciu pod╡a vz╗ahu f = 1/T: | obrßzok Φ. 1
|
(b) Pohyb pozorovate╡a ku zdroju Druh² mo╛n² smer pohybu pozorovate╡a je smerom ku zdroju. OpΣ╗ najprv popφ╣em konkrΘtnu situßciu z obrßzku Φ. 2 vpravo (a opΣ╗ u = c/2). Nech v Φase t = 0 k pozorovate╡ovi prßve dorazil signßl a s·Φasne zdroj vysiela dal╣φ signßl. T²m, ╛e sa pozorovate╡ pohybuje smerom do╡ava, ide druhΘmu signßlu (vyslanΘmu v Φase t = 0) naproti a stretne sa s nφm v Φase t < TZ. Teda peri≤da kmitov pozorovate╡a TP bude men╣ia a jeho frekvencia fP vaΦ╣ia, ke∩ sa pribli╛uje k zdroju. Aby som zistil t·to pozorovate╡ov· peri≤du, h╡adßm vlastne Φas, kedy sa stretne s druh²m signßlom, vyslanom v Φase t = 0, kedy bol vo vzdialenosti 0 - ut = ct,ke∩╛e | obrßzok Φ. 2
|
(ii) Pohyb zdroja
|
Na obrßzku Φ. 3 s· dvaja pozorovatelia P1, P2 a zdroj Z, ktor² sa pohybuje smerom doprava r²chlos╗ou v. K pozorovate╡ovi P2 sa pribli╛uje a od pozorovate╡a P1 sa vz∩aluje. Pri poh╡ade na Φasov² v²voj je vidie╗, ╛e prieseΦnφky prvej a druhej vlnoplochy s kladnou x-ovou osou sa vzßjomne pohybuj· r²chlos╗ou c - v a prieseΦnφky so zßpornou x-ovou osou r²chlos╗ou c + v. To mi umo╛nuje zisti╗ vlnov· dl╛ku 1 = (c + v)TZ,2 = (c - v)TZ,to pod╡a (1) pre periodu a frekvenciu pozorovate╡a P1 znamenß: Podobne pre pozorovate╡a P2: | obrßzok Φ. 3
|
Zhrnutie (i) a (ii)
Predchßdzaj·ce ╣tyri prφpady sa daj· zhrn·╗ do jedinΘho vzorca, ale treba predpoklada╗, ╛e zdroj zvuku bude naprφklad na╡avo od pozorovate╡a (obrßzok Φ. 4). Doteraz som bral r²chlosti u a v ako absolutnΘ hodnoty, no ke∩ zavediem ux a vx, ktorΘ m⌠╛u by╗ kladnΘ (smer doprava) aj zßpornΘ (smer do╡ava), potom vo vz╗a╛nej s·stave spojenej s povrchom Zeme platφ:
| fP = ((c - ux)/(c - vx))fZ |
kde fZ je pokojovß frekvencia zdroja, fP je frekvencia, ktor· pozoruje (poΦuje) pozorovate╡ pohybuj·ci sa r²chlos╗ou ux vzh╡adom na prostredie, v ktorom sa ╣φri vlnenie (v na╣om prφpade vzduch alebo povrch Zeme), priΦom zdroj sa pohybuje r²chlos╗out vx (vzh╡adom na povrch Zeme). Ale pozor! Ako som u╛ povedal, dopredu som si zvolil, ╛e zdroj je na╡avo od pozorovate╡a, a tak tento vz╗ah treba pou╛φva╗. (V opaΦnom prφpade by v ≥om boli plusy.)
(iii) V╣eobecn² pohyb
Doteraz som uva╛oval pohyb zdroja a pozorovate╡a, ktor² prebiehal podσ╛ ich spojnice a t· som polo╛il na os x. Teraz si zvolφm s·radnicov· s·stavu ne╣pecißlne a namiesto zlo╛iek r²chlostφ do smeru s·radnicov²ch osφ budem pou╛φva╗ zlo╛ky r²chlostφ do spojnice ZP (a kolmice na ≥u v danom bode), priΦom kladn² smer bude smer od zdroja k pozorovate╡ovi. Na obrßzku Φ. 5 hore som zv²raznil radißlne zlo╛ky r²chlostφ v smere ZP, ktorΘ budem znaΦi╗ vr a ur. UrΦite platφ:
,
,Aby som si zjednodu╣il ∩al╣φ postup na zaΦiatok budem predpoklada╗, ╛e pozorovate╡ stojφ a zdroj sa pohybuje rovnomern²m pohybom, ktor² je dan² ╡ubovoln²m vektorom v (obrßzok Φ. 5 hore s t²m, ╛e zatia╡ u = 0). Nesk⌠r budem postupne pridßva╗ ∩al╣ie komplikßcie tak, aby som sa nakoniec dopracoval k Φo najv╣eobecnej╣iemu pohybu. Teraz je zatia╡ nenulov² iba vektor v, ktor² zviera so spojnicou zdroj-pozorovate╡ (ZP) uhol , priΦom u╛ vyrie╣en² prφpad (ii) predstavuje ╣pecißlne rie╣enia pre = 0 a = 
.
ProblΘm v╣ak nastßva u╛ hne∩ na zaΦiatku, ke∩ si uvedomφm, ╛e pohybom zdroja sa zßrove≥ menφ aj uhol v Φase. Tento problΘm sa dß vyrie╣i╗, ale na to treba Φo to zintegrova╗ (pozri prφklad o Dopplerovom jave). Na tomto mieste si v╣ak poviem, ╛e vzdialenos╗ medzi pozorovate╡om a zdrojom je rßdovo vΣΦ╣ia ako vlnovß dσ╛ka sk·manΘho vlnenia. V na╣om prφpade je t²m vlnenφm zvuk, ktor² mß vlnovΘ dσ╛ky rßdovo metre, tak╛e dostanem podmienku:
| |ZP| >> 0 (~ 1 m). | (2) |
|
Potom m⌠╛em uhol Chcem vlastne vedie╗ radißlnu vzdialenos╗ dvoch kru╛nφc (vlnopl⌠ch) rßtan· v ╡ubovolnom smere, ktor² je dan² uhlom |  obrßzok Φ. 6 |
ak tento vz╗ah prepφ╣em do polßrnych s·radnφc, potom:
cos + vTZ)2 + (sin)2 = (cTZ)2,z toho po ·prave:
= cTP = [c
(1 - (v/c)2sin2) - vcos]TZ,a koneΦne:
| TP = [(1 - (v/c)2sin2) - (v/c)cos]TZ. | (3) |
E╣te sa m⌠╛e╣ presvedΦi╗, ╛e ak za dosadφ╣ 0 alebo , tak dostane╣ ╣pecißlny prφpad (ii).
Teraz by som u╛ rßd do v²sledku zahrnul aj pohyb pozorovate╡a, no najprv zoberiem do ·vahy pozorovate╡a, ktor² sa pohybuje iba pozdσ╛ spojnice ZP. Vtedy jednoduch²m zlo╛enφm vz╗ahu (3) a analogickΘho vz╗ahu pre prφpad (i) dostanem:
| TP = TZ[(c2 - v2sin2) - vcos]/[c - ur], | (4) |
kde ur = +u alebo -u, pod╡a toho Φi uhol na obrßzku Φ. 5 je 0 alebo .
Teraz nech sa zaΦne pozorovate╡ pohybova╗ aj kolmo na spojnicu ZP (in²mi slovami uhol je ╡ubovoln²), ke∩╛e platφ podmienka (2), uhol ani sa s Φasom meni╗ nebud· (tzn. bud· sa meni╗ iba zanedbatelne). Z tejto podmienky v╣ak e╣te vypl²va aj to, ╛e gu╡ovΘ vlnenie ╣iriace sa od zdroja m⌠╛em v okolφ pozorovate╡a nahradi╗ vlnenφm rovinn²m (pozri okolie pozorovate╡a na obrßzku Φ. 5).
╧alej, aby som sa vyhol zlo╛it²m geometrick²m kon╣trukcißm, zavediem e╣te jedno podstatnΘ zjednodu╣enie. Bude to podmienka, aby r²chlos╗ zdroja bola rßdovo men╣ia, ako r²chlos╗ ╣irenia sa vlnenia. Teda:
| v << c, | (5) |
Teraz m⌠╛em v okolφ pozorovate╡a aproximova╗ gu╡ovΘ vlnenie od zdroja rovinn²m vlnenφm, ale kolm²m na spojnicu ZP, Φo vo v╣eobecnosti, u╛ pri poh╡ade na obrßzok Φ. 5, plati╗ nemusφ. ╚o som zφskal t²m, ╛e rovinn²m a kolm²m na spojnicu ZP? Zφskal som to, ╛e zmenu peri≤dy bude sp⌠sobovat iba radißlna zlo╛ka r²chlosti pozorovate╡a a nie jeho pozdσ╛na zlo╛ka r²chlosti - pozri obrßzok Φ. 7. Pou╛itß podmienka (5) mi ale zßrave≥ sp⌠sobφ, ze m⌠╛em zanedba╗ druh² Φlen pod odmocninu vo vz╗ahu (4). Tak dostanem vz╗ah pre ╡ubovoln² uhol pri mal²ch r²chlostiach zdroja:
)/(c - ucos),potom pre frekvencie:
| fP ~ fZ(c - ucos)/(c - vcos) |
kde vcos, resp. ucos s· zlo╛ky r²chlostφ zdroja, resp. pozorovate╡a v smere spojnice ZP (radißlne zlo╛ky). E╣te pripomeniem, ╛e fZ je pokojovß frekvencia t≤nu, ktor² vydßva zdroj, fP je frekvencia, ktor· vnφma pozorovate╡ a c je r²chlos╗ zvuku.
natT