Frakt ln¡ geometrie
¬ten ýi, kteý¡ si nenechali uj¡t prvn¡ d¡l tohoto seri lu, u§ jistØ tuç¡: £chvatn  krajina v £vodn¡m obr zku se cele zrodila d¡ky aplikac¡m frakt ln¡ geometrie. V tomto pokraŸov n¡ si povçimneme dalç¡ch metod konstrukce frakt ln¡ch objekt… a zaŸneme se vØnovat nØkterìm oblastem praktick‚ho vyu§it¡ t‚to fascinuj¡c¡ discipl¡ny.

Kdy§ rozkvetou frakt ly... (2)

Dalç¡m algoritmem, kterìm lze zkonstruovat frakt ln¡ objekt, je tzv. TEA (Time Escape Algorithm). Tento algoritmus je tak‚ iteraŸn¡, prov d¡ ovçem dan‚ iterace jen do u§ivatelsky zvolen‚ hranice. Jeho hlavn¡m principem je sledov n¡ "£niku" dan‚ trajektorie z oblasti definovan‚ touto hranic¡.
TEA se pou§¡v  v komplexn¡ (definiŸn¡) oblasti a pracuje tak, §e odtud bere bod po bodu a jako inicializaŸn¡ hodnoty pro start pou§ije komplexn¡ souýadnice jednotlivìch bod…. Po t‚to inicializaci probØhne pý¡sluçn  transformace a vyhodnot¡ se, zda modul vìsledn‚ho komplexn¡ho Ÿ¡sla pýesahuje hranice zadan‚ oblasti. Pokud ne, novØ vypoŸ¡tan‚ komplexn¡ Ÿ¡slo se pou§ije pro iteraci v kroku dalç¡m a opØt se kontroluje pýekroŸen¡ hranice. To se neust le opakuje, dokud nen¡ vyŸerp n u§ivatelsky zadanì poŸet cykl….
Pokud trajektorie, vznikl  tØmito iteracemi, z…st v  uvnitý hranic oblasti, pak se dan‚mu startovn¡mu bodu pýiýad¡ Ÿern  barva. Dojde-li k jejich pýekroŸen¡, iteraŸn¡ proces se zastav¡ a pý¡sluçn‚mu startovn¡mu bodu se pýiýad¡ barva "£mØrn " poŸtu iterac¡, kter‚ byly potýebn‚ pro pýekroŸen¡ hranice. Celì princip zn zoråuj¡ obr zky 1 a 2.
Aplikac¡ uveden‚ho algoritmu vznikaj¡ atraktivn¡ grafick‚ objekty, kter‚ svou kr sou mo§n  pýedŸ¡ nejen lidsk‚ umØleck‚ vìtvory, ale i kreace matky pý¡rody sam‚. Na poŸ¡taŸovou veýejnost zap…sobily tak silnØ, §e dokonce vznikl novì umØleckì smØr, tzv. "artware" - snad v s o p…sobivosti tØchto dØl pýesvØdŸ¡ naçe mal  galerie, kter  tento Ÿl nek doprov z¡.
Frakt ly vznikl‚ pomoc¡ IFS a TEA pochopitelnØ mohou poslou§it nejen pro umØleck‚ potýeby, ale i v pr…myslu, kde je lze pou§¡t na vzory l tek. Uplatåuj¡ se i v poŸ¡taŸovìch hr ch, napý¡klad pro tvorbu krajin. O tom, §e frakt ly nejsou jen hezkou hraŸkou, kter  se d¡ky poŸ¡taŸ…m vymanila z podruŸ¡ "Ÿistìch" matematik…, se ostatnØ pýesvØdŸ¡te v dalç¡m textu, kde si pýibl¡§¡me jejich praktick‚ pou§it¡ v predikci, çifrov n¡ a v poŸ¡taŸov‚m vidØn¡.

Frakt ly v predikci
Po mnohalet‚m pozorov n¡ hodinovìch dat na burze v New Yorku objevil jistì pan R. N. Elliot zaj¡mavou z konitost, pozdØji po nØm nazvanou Elliotova vlna. Vznik, Ÿi snad l‚pe objeven¡ Elliotovy vlny a popis jej¡ho chov n¡ lze datovat do obdob¡ let 1935 - 1947, bØhem nich§ pan Elliot shrom §dil mno§stv¡ empirickìch znalost¡ o struktuýe a vz jemnìch souvislostech mezi jednotlivìmi f zemi Elliotovìch vln. Teprve pozdØji, v druh‚ polovinØ naçeho stolet¡, bylo zjiçtØno, §e Elliotovy vlny nejsou nic jin‚ho ne§ frakt ly.
JeçtØ pozdØji se uk zalo, §e celì jev £zce souvis¡ s chov n¡m na prvn¡ pohled chaotickìch syst‚m…, jakìm je napý. burza. Elliotovy vlny samozýejmØ nejsou v z ny jen na Ÿinnost burzy, ale lze je pozorovat i v chov n¡ jinìch dynamickìch syst‚m… (napý. sluneŸn¡ aktivita); zde si je - i z historickìch pý¡Ÿin - uk §eme na pý¡kladu burzy.
To, §e Elliotova vlna je frakt l, je d no skuteŸnost¡, §e se jej¡ motiv (tvar) s m v sobØ opakuje - jak v¡me, jde o z kladn¡ charakteristiku frakt l…. 
Dobr  znalost teorie Elliotovìch vln dokonce umo§åuje pý¡padn‚mu z jemci s velkou pravdØpodobnost¡ urŸit mo§n‚ zlomy v cenov‚m vìvoji, a t¡m minimalizovat riziko obchodov n¡ na burze. Jinìmi slovy, Elliotovy vlny jsou Ÿ sti Ÿasovìch ýad, kter‚ se daj¡ pou§¡t k jejich predikci.
Cel  podstata Elliotovìch vln vych z¡ z poznatku o existenci cyklu, kterì se skl d  ze dvou f z¡, a to z f ze impulzn¡ (vìvoj ve smØru trendu) a korekŸn¡ (vìvoj proti smØru trendu) - vzpomeåte si na Noem…v a Josef…v efekt, o nich§ jsme se zm¡nili minule. Ka§d  impulzn¡ f ze se skl d  ze tý¡ "podvln" vzestupnìch (pØt zlom…) a ka§d  korekŸn¡ f ze ze dvou "podvln" sestupnìch (týi zlomy), jak je vid¡te na obr. 3.
Pou§it¡ Elliotovìch vln pro urŸov n¡ budouc¡ho vìvoje je relativnØ jednoduch‚. Jestli§e se v burzovn¡m vìvoji vyskytne vlna, kter  se jev¡ jako Elliotova, lze po p t‚m zlomu vlny impulzn¡ (5) anebo po týet¡m zlomu vlny korekŸn¡ (c) oŸek vat zmØnu ceny opaŸnìm smØrem, ne§ jakìm se ub¡ral dosavadn¡ trend. SamozýejmØ to nen¡ v§dy tak snadn‚, ponØvad§ Elliotovy vlny bìvaj¡ velmi Ÿasto r…znØ deformov ny, co§ se tak‚ prom¡t  do budouc¡ho pr…bØhu vìvoje ceny. Z deformac¡, kter‚ zkresluj¡ jinak ide ln¡ vzhled Elliotovìch vln, lze mnohdy vyŸ¡st, v jak‚m stavu se trh (nebo jakìkoliv syst‚m) moment lnØ nach z¡ - a tedy tak‚, co by mohlo n sledovat. Vzhledem k tomu, §e se Elliotovy vlny v Ÿist‚ podobØ (obr. 3) vyskytuj¡ v porovn n¡ s vlnami zkreslenìmi vz cnØji, uvedeme i popis nØkterìch zkreslen¡ a jejich vìznam.
Z kladn¡ impulzn¡ vlna je ve smØru trendu rozdØlena do pØti segment…. Tato vlna bìv  Ÿasto deformov na v nØkolika variac¡ch, z nich§ nejd…le§itØjç¡ se zpravidla nazìvaj¡
Extension (rozç¡ýen ), Diagonal Fifth (diagon ln¡ p t ), a vyskytuje se i Failed Fifth (ne£spØçn  p t ).
KorekŸn¡ vlny se objevuj¡ po vlnØ impulzn¡ a p…sob¡ proti jej¡mu trendu - koriguj¡ ji. Tyto vlny mohou m¡t komplikovanØjç¡ tvar ne§ vlny impulzn¡. Týi z kladn¡ typy korekŸn¡ch vln jsou Zigzag (cikcak), Flat (hladk , ploch ), Triangle (troj£heln¡k).
Pro uk zku si prohl‚dnØme jednoduchì pý¡klad vìvoje na obr. 4. Zde je jasnØ vidØt Elliotova vlna, kter  se po p t‚m zlomu skuteŸnØ lom¡ dol…, jak to urŸuj¡ obecn  pravidla (na obr. 5 tak‚). Po tomto zlomu n sleduje i korekŸn¡ vlna "a-b-c". V tomto vìvoji vçak lze rozeznat i korekŸn¡ podvlnu "troj£heln¡k" (zn mou jako formace z technickìch ukazatel…), kter  je opuçtØna cenovìm vìvojem skuteŸnØ ve smØru pýedch zej¡c¡ho trendu.
V t‚to ElliotovØ vlnØ jsou tedy dvØ cesty, jimi§ se bude vyv¡jet cena, a to smØrem nahoru (troj£heln¡k) a smØrem dol… (zlom po p t‚m vrcholu).
Tam, kde nen¡ cyklus Elliotovy vlny dokonŸen, nen¡ samozýejmØ analìza tak jist  jako v naçem pý¡padØ (kdy cyklus dokonŸen je), nicm‚nØ zkuçenì analytik ve spolupr ci s dobrìm softwarem a podporou dalç¡ch ukazatel… m…§e bìt schopen velmi solidn¡ch predikc¡.
To, co jsme zde o Elliotovìch vln ch uvedli, je samozýejmØ jen zlomek cel‚ teorie. A je týeba tak‚ zd…raznit, §e tato teorie m  skuteŸnØ efektivn¡ uplatnØn¡ jen tehdy, jsou-li k dispozici solidn¡ data o syst‚mu, kterì je produkuje. 
Jako n zornì pý¡klad m…§e poslou§it uk zka hned tý¡ vìskyt… Elliotovìch vln v r…znìch Ÿasovìch ýad ch. Na obr zc¡ch 4 a 5 rozpozn v me takov‚ vlny ve vìvoji cen akci¡ na burze. Z jejich pr…bØhu je vidØt, §e se chovaj¡ zhruba tak, jak by se "sluçn " Elliotova vlna chovat mØla. Na obr. 5 je ovçem v jej¡m chov n¡ jist  deformace, a to vymizen¡ korekŸn¡ sekvence - ta je nahrazena prudkìm sp dem dol….
Na obr. 6 vid¡me uk zku Elliotovìch vln nalezenìch autorem v grafu sluneŸn¡ aktivity (data z Aé AV ¬R Ondýejov). ParalelnØ s vlnami byly nalezeny i zn m‚ formace jako "troj£heln¡k" a dalç¡. Co je pý¡Ÿinou tØchto zaj¡mavìch jev…, nen¡ dodnes hodnovØrnØ objasnØno.
Prozat¡m se nab¡zej¡ dvØ mo§n  vysvØtlen¡. Prvn¡m z nich je tzv. intermittence neboli obŸasnost, stý¡davost (viz [10]; seznam literatury bude uveden v z vØreŸn‚ Ÿ sti seri lu), co§ je zhruba Ÿasov‚ obdob¡, kdy pý¡sluçnì dynamickì syst‚m pýech z¡ z chov n¡ deterministick‚ho do chaotick‚ho a naopak. V takov‚m obdob¡ pak vznikaj¡ v chov n¡ syst‚mu £tvary jako "troj£heln¡k", "vlajka" a jin‚, kter‚ jsou velmi dobýe zn my z burz cel‚ho svØta [11].
Druhou mo§nost¡ je tzv. samoorganizace [9]. Samoorganizace je mimoý dnØ fascinuj¡c¡ jev, jeho§ vysvØtlen¡ by se mohlo st t mostem pýes propast, kterou pro n s doposud znamen  hranice mezi §ivìm a ne§ivìm. Tento fenom‚n je pýitom relativnØ dobýe pops n a prostudov n ve fyzik ln¡ch, biologickìch a sociologickìch syst‚mech. V jeho pr…bØhu se obrovsk‚ mno§stv¡ nez vislìch jednotek (lid¡, molekul, apod.) zaŸne chovat jako jedinì §ivì a komplikovanì "organismus". Statis¡ce lid¡ si najednou zaŸnou poŸ¡nat jakoby podle spoleŸn‚ho sc‚n ýe (vzpomeåme na burzu a Elliotovy vlny), miliony molekul zaŸnou tvoýit velmi komplikovan‚ a v Ÿase se mØn¡c¡ £tvary, kter‚ pak vykazuj¡ frakt ln¡ strukturu (viz napý. sluneŸn¡ aktivita).
Takov‚ chov n¡ vçak nevykazuj¡ jen nejni§ç¡ "element rn¡ Ÿ steŸky" dan‚ho syst‚mu, ale i jeho subsyst‚my. Velmi hezkìm pý¡kladem samoorganizace je napý. BØlousovova-¦abotinsk‚ho reakce, kter  byla poprv‚ prezentov na na mezin rodn¡m sympoziu v Praze r. 1968. Tato reakce vytv ý¡ opakuj¡c¡ se komplikovan‚ vzory s frakt ln¡ strukturou. Miliony molekul jednotlivìch chemickìch slouŸenin se chovaj¡ velmi organizovanØ a uspoý danØ [9].
Jakkoli to zn¡ neuvØýitelnØ, vçechny tyto rozd¡ln‚ syst‚my - burza (lid‚), chemick‚ reakce (molekuly), sluneŸn¡ Ÿinnost (atomy) - se pravdØpodobnØ ý¡d¡ stejnìmi z kony, a tud¡§ se d  tak‚ oŸek vat i podobn‚ chov n¡, kter‚ lze skuteŸnØ vypozorovat.
Pý¡çtØ se pod¡v me na vyu§it¡ frakt l… v oblasti, kde bychom je asi opravdu neŸekali, toti§ v çifrov n¡.
Ivan Zelinka (zelinka@zlin.vutbr.cz)