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Funktionen/Numerik/Statistik

LCS ist mit einem Funktionsparser ausgestattet, d.h. es kann beliebige Funktionen symbolisch auswerten und berechnen. Dieser Parser kommt in sehr vielen Funktionen von LCS zum Einsatz. So wird er auch zum Lösen von Differentialgleichungen und in der Numerik oft verwendet.

Die numerischen Verfahren dienen hauptsächlich zur Bestimmung diverser Ausgleichskurven von Meßwerten, der Nullstellensuche und Integration. Die Statistik bietet eine Reihe von elementaren Tests für Ihr Datenmaterial an.

- Funktionsparser-Umfang

- Funktionsverwaltung

- DGL numerisch lösen

- Numerische Verfahren

- Statistische Tests


Funktionsparser-Umfang

In LCS wurde ein Funktionsparser zum symbolischen Lösen von Funktionen der Typen f(x) und f(x,y) integriert. Ein Funktionsparser ist in der Lage, eine Funktion, die vom Benutzer als Zeichenkette eingegeben wird, zu analysieren und dann für Berechnungen zu nutzen.

Der Funktionsparser von LCS kennt eine Reihe von mathematischen Funktionen, sowie die beiden Variablen X und Y. Somit ist er auch in der Lage, einfache Differentialgleichungen auszuwerten. Das Runge-Kutta Verfahren nutzt z.B. den Funktionsparser.

Der Funktionsparser arbeitet in 2 Schritten, um möglichst schnell Funktionen berechnen zu können. Im ersten Schritt wird die Formel überprüft und in einen Zwischencode (p-Code) transformiert. Dieser p-Code wird dann für beliebig häufige Berechnungen verwendet, was auch sehr schnell geht. Intern erfolgt die Verarbeitung nach dem stackbasierten UPN-Verfahren, was z.B. auch von den HP-Taschenrechnern her bekannt ist.

Funktionsumfang :

1. Grundrechenarten : +, -, * , /, ^

2. Funktionen : SIN   = Sinus-Funktion (in rad)

                COS   = Cosinus-Funktion

                TAN   = Tangens-Funktion

                ASIN  = Arcussinus-Funktion

                ACOS  = Arcuscosinus-Funktion

                ATAN  = Arcustangens-Funktion

                SINH  = Sinushyperbolikus-Funktion

                COSH  = Cosinushyperbolikus-Funktion

                TANH  = Tangenshyperbolikus-Funktion

                LOG   = natürlicher Logarithmus

                LOG10 = Logarithmus zur Basis 10

                EXP   = e-Funktion

                SQRT  = Quadratwurzel-Funktion

                SQR   = Quadrat-Funktion

                ABS   = Absolutwert

                REZ   = Reziprokwert (1/x)

3. Variablen  : X und Y

4. Konstanten : P für Pi

Während der Berechnungen überprüft der Parser, ob die Funktionen mit korrekten Werten versorgt werden. Bei Fehlern wird sofort abgebrochen, nur beim Zeichnen im Meßwertgraphen werden ungültige Werte übersprungen. Also, bevor Sie eine Berechnung starten, sollten Sie deren Rechenbereiche ersteinmal ungefähr abschätzen, um solche Fehlerquellen zu minimieren.

- Funktions-Hauptmenü


Funktionsverwaltung

LCS bietet eine kleine Verwaltung für Ihre eigenen Funktionen an. Diese Funktionen werden in der ASCII-Datei FUNKTION.DAT zeilenweise verwaltet. Normalerweise wird die Datei per LCS gepflegt, man kann sie aber auch mit einem Texteditor jederzeit editieren.

Man kann eine Funktion direkt eingeben oder laden. Diese Funktion bleibt solange erhalten, bis sie durch eine neue ersetzt wird. Beim Start von LCS ist keine Funktion vordefiniert.

Eine Funktion besteht immer aus ihrer Kurzbezeichnung und dem Funktionsausdruck, getrennt durch ein Gleichheitszeichen.

Beispiel: Testfunc = COS(X)+3

- Funktion manuell eingeben

- Funktion laden

- Funktion der Datei hinzufügen

- Funktion aus Datei löschen

- Funktionswert berechnen

- Hauptmenü Funktionen


DGL´s 1. Ordnung numerisch lösen
DGL numerisch lösen

Der Funktionsparser erlaubt neben der Variablen X auch die Variable Y. Man kann auch Gleichungen vom Typ f(x,y) aufbauen. Mit etwas Geschick kann man sogar eine Reihe einfacher Differentialgleichungen darstellen.

LCS verwendet einige numerische Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen. Hier werden also DGLs gelöst, die einer bestimmten Anfangsbedingung genügen.

Beispiel DGL :    y' = y - t*t + 1

                  Anfangswert : y(0) = 0.5

Eingabe in LCS :  Kurzbezeichung    : DGL

                  Funktionsausdruck : Y - X*X + 1

LCS bietet folgende numerische Methoden an :

- Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung

- Runge-Kutta Fehlberg-Verfahren

- Lösung steifer Differentialgleichungen

- Hauptmenü Funktionen


Numerische Verfahren

LCS stellt eine Reihe numerische Verfahren zur Approximationen von Ausgleichskurven bereit. Diese Ausgleichkurven können zusätzlich auch als Meßwertgraphen dargestellt werden. Grundsätzlich sollten Sie sich Ihre Approximationen einmal als Meßwertgraph ansehen, um die Abweichungen von den Meßwerten in Augenschein zu nehmen, dies sagt mehr als alle Zahlen.

Weitere numerische Verfahren gelten der Integration und Nullstellensuche.

- Lineare Regression

- Polynom-Approximation 2. - 5.Grades

- Spezielle Approximationen

- Fourier-Approximation (reell)

- Numerische Integration nach Simpson

- Romberg-Integration

- Nullstellensuche nach Newton

- Funktions-Hauptmenü


Statistische Tests

Neben der allgemeinen Fehlerrechnung müssen oft statistische Tests des Datenmaterials durchgeführt werden. LCS bietet hier eine ganze Reihe elementarer Testmethoden der Statistik an.

Einige Tests erfordern mehrere Meßreihen, die von der Festplatte entsprechend automatisch geladen werden. Für den Bartlett-Test und die einfache Varianzanalyse müssen die Meßwertdateien mit speziellen Endungen versehen werden. Lesen Sie dazu bitte dazu den Hilfepunkt ´Statistikdateien verwalten´.

- Statistikdateien verwalten

- Q-Test (Ausreißertest n <= 10)

- Ausreißertest (n>10)

- t-Test

- F-Test

- Bartlett-Test

- Gamma-Funktion

- Einfache Varianzanalyse

- Korrelationskoeffizient

- Nachweisgrenze

- Funktions-Hauptmenü


Funktion manuell eingeben

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Neue Funktion eingeben (Taste F2)

Hier wird eine Funktion manuell neu eingetippt und dann vom Funktionsparser überprüft.

Beispiel:

Kurzbezeichnung der Funktion : Testfunktion

Funktionsausdruck            : SIN(X)

Jede Funktion hat in LCS eine Kurzbezeichnung, hier Testfunktion. Dieser Name dient zu Verwaltungszwecken beim Laden von Funktionen. LCS schlägt Ihnen immer eine Kurzbezeichung wie z.B. F7 vor. So spart man sich eigene Grübeleien nach der perfekten Kurzbezeichnung, wenn man den Vorschlag einfach übernimmt.

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Aktuelle Funktion editieren (Taste F3)

Ab und zu möchte man auch mal seine alte Funktion etwas anpassen bzw. korrigieren, dazu dient dieser Menüpunkt.

Achten Sie darauf:

Der Name einer Funktion ist immer individuell (also nicht y) und darf nicht doppelt vorkommen. LCS beschwert sich sonst und bittet um eine andere Kurzbezeichnung. Wenn Sie Funktionen mit Meßwerten zusammen darstellen möchten, dann dürfen dies nur Funktionen vom Typ f(x) sein. Funktionsterme vom Typ f(x,y), die die Variable Y enthalten, sind nicht zulässig.

- Funktionsverwaltung


Funktion laden

In der Datei FUNKTION.DAT kann sich der Anwender beliebig viele Funktionen hinterlegen. Die Datei wird normalerweise automatisch von LCS verwaltet.

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Funktion laden (Taste F1)

LCS spiegelt hier eine Sammlung von vordefinierten Funktionen als Listbox ein. Sie können eine Funktion per Doppelklick aus dieser Sammlung selektieren und somit übernehmen. Diese Funktion bleibt solange die aktuelle Funktion, wie Sie keine andere laden.

Die Funktion kann auch in anderen LCS-Berechnungen verwendet werden.

- Funktionsverwaltung


Funktion der Datei hinzufügen

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt In Funktionsdatei einfügen

Möchte man eine neue Funktion der Datei FUNKTION.DAT hinzufügen, so muß man diese erstmal manuell per Funktionseingabe (Taste F2) eingeben. Eingefügt wird immer die aktuelle definierte Funktion.

LCS hängt nun die Funktion ans Ende der Datei an. In der späteren Listbox erscheinen allerdings alle Funktionen nach Kurzbezeichnung aufsteigend sortiert.

Sollte eine Funktion mit der gleichen Kurzbezeichnung existieren, so wird die Übernahme abgelehnt. Ändern Sie in diesem Fall die Kurzbezeichnung per Funktionseingabe.

- Funktionsverwaltung


Funktion aus Datei löschen

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Funktion aus Datei löschen

Im Laufe der Zeit sammeln sich eine Reihe von Funktionen in der Datei FUNKTION.DAT an, die nicht mehr benötigt werden. Mit der Löschfunktion kann man eine beliebige Funktion entfernen.

Man selektiert die Funktion per Doppelklick in der Listbox und schon wird sie aus der Datei entfernt.

- Funktionsverwaltung


Fourier-Approximation (reell)

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Numerik -> Fourier-Analyse

Zur Approximation perodischer Funktionen aus einer Meßreihe bietet sich die reele Fourier-Transformation an.

Man beschränkt sich dabei auf 2*Pi-periodische Funktionen. Andere Funktionen müssen mittels x'=2*Pi*x/Periodenlänge transformiert werden. Der Abstand zwischen den X-Werten muß äquidistant sein.

LCS-Eingaben:

LCS benötigt die X-Werte zur Berechnung nicht, stattdessen werden die jeweiligen Funktionswerte Y in die X-Spalte des Meßwertfensters eingetragen.

Beispiel (X-Spaltenwerte):

Y[0] = 0

Y[1] = -0.67

Y[2] =.-0.70

Y[3] = -0.50

Y[4] = 0.03

Y[5] = 1.00

Y[6] = 1.50

Y[7] = 0.48

Man beachte, daß der letzte Y-Wert nicht bereits der Beginn der nächsten Periode ist.

LCS-Ausgabe:

LCS berechnet stets die Fourierkoeffizienten zum Grad 16. Im LCS-Workpad werden dann die Fourier-Koeffizienten a[0] bis a[15], sowie b[1] bis b[15] ausgegeben.

Beispielausgabe:

Fourier-Approximation (n=16)

a[ 0] =   2.8500000000E-01

a[ 1] =  -1.2947591975E-01   b[ 1] =  -1.0184582425E+00

a[ 2] =  -1.9250000000E-01   b[ 2] =   8.7500000000E-02

a[ 3] =   1.1447591975E-01   b[ 3] =   8.1541757464E-02

a[ 4] =   1.3000000000E-01   b[ 4] =  -4.6861928400E-17

a[ 5] =   1.1447591975E-01   b[ 5] =  -8.1541757464E-02

a[ 6] =  -1.9250000000E-01   b[ 6] =  -8.7500000000E-02

a[ 7] =  -1.2947591975E-01   b[ 7] =   1.0184582425E+00

a[ 8] =   2.8500000000E-01   b[ 8] =  -8.5209075039E-16

a[ 9] =  -1.2947591975E-01   b[ 9] =  -1.0184582425E+00

a[10] =  -1.9250000000E-01   b[10] =   8.7500000000E-02

a[11] =   1.1447591975E-01   b[11] =   8.1541757464E-02

a[12] =   1.3000000000E-01   b[12] =  -1.4058578520E-16

a[13] =   1.1447591975E-01   b[13] =  -8.1541757464E-02

a[14] =  -1.9250000000E-01   b[14] =  -8.7500000000E-02

a[15] =  -1.2947591975E-01   b[15] =   1.0184582425E+00

- Hauptmenü Funktion


Funktionswert berechne
Funktionswert berechnen

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Funktionswert berechnen (Taste F4)

LCS kann man auch als kleinen Taschenrechner mißbrauchen, um die Funktionswerte einer Funktion zu bestimmen. Wenn eine Funktion definiert ist, so können hier die Variablen X und Y eingegeben werden. Der Funktionswert wird dann umgehend berechnet. Mit der Taste F4 kann man sich so bequem beliebig oft Funktionswerte berechnen lassen.

Hinweis: Die Zahl Pi kann man mit der Abkürzung P eingeben

- Funktionsverwaltung


Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung

Das Runge-Kutta Verfahren ist eines der am häufigsten verwendeten Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen von DGLs.

Wer tiefer in die Materie der numerischen Lösungsverfahren von DGLs einsteigen möchte, dem sei folgendes Buch empfohlen :

Numerische Methoden

J. Douglas Faires/Richard L. Burden

Spektrum Akademischer Verlag

ISBN 3-86025-332-8  (68.-DM)

Exemplarisch sei einmal die Lösung einer DGL nach Runge-Kutta mittels LCS durchgespielt.

Beispiel DGL :    y' = y - t*t + 1

                  Anfangswert : y(0) = 0.5  (Grenzen 0<=t<=2)

Die DGL wird über die Funktionseingabe (Taste F2) erst einmal definiert:

Eingabe in LCS :  Kurzbezeichung    : DGL

                  Funktionsausdruck : Y - X*X + 1

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Runge-Kutta Verfahren 4.Ordnung

1. Eingabe X-Startwert   : 0

2. Eingabe X-Endwert     : 2

3. Anfangswert           : 0.5

4. Anzahl Teilintervalle : 64

Die Ergebnisse werden dem Meßwertfenster übergeben und können dort betrachtet werden. In unserem Fall sind dies 64 Teilintervalle von X=0 bis X=2. Die Y-Spalte zeigt die berechneten Werte nach dem Runge-Kutta Verfahren 4.Ordnung (w(i)) an.

Beispielausgabe :

 0.0000   0.5000

 0.0312   0.5476

 ..

 1.9688   5.2326

 2.0000   5.3054

Wichtige Formeln des Runge-Kutta Verfahrens 4. Ordnung :

w(0) = Anfangswert

h = Intervallbreite

k1 = h * f(t(i),w(i))

k2 = h * f(t(i) + h/2,w(i)+1/2*k1)

k3 = h * f(t(i) + h/2,w(i)+1/2*k2)

k4 = h * f(t(i+1),w(i)+k3)

w(i+1) = w(i) + 1/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

- Funktion-Hauptmenü


Lösung steifer Differentialgleichungen

Steife Differentialgleichungen bilden ein Problem für die gängigen numerischen Lösungsverfahren von Anfangswertproblemen. Im schlimmsten Fall entstehen total falsche Ergebnisse oder die internen Rechenbereiche der Computerarithmetik werden gesprengt.

Steife Differentialgleichungen sind DGLs, in deren genauer Lösung ein Term vom Typ e^(-ct) vorkommt, wobei c eine große positive Konstante ist.

LCS verwendet für solche steifen DGLs ein Verfahren namens Implizite Trapezmethode, welches zur Approximation das Newton-Verfahren verwendet. Die genaue Beschreibung des Verfahrens finden Sie wiederum im Buch Numerische Methoden von J. Douglas Faires (S. 233).

Beispiel:  y' = 5 * e^5t * (y-t)^2 + 1    y(0) = -1   0<=t<=1

Die DGL wird über die Funktionseingabe (Taste F2) erst einmal definiert:

Eingabe in LCS :  Kurzbezeichnung   : DGL

                  Funktionsausdruck : 5*EXP(5*X)*SQR(Y-X)+1

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Lösung steifer DGL´s

1. X-Startwert        : 0

2. X-Endwert          : 1

3. Anfangswert        : -1

4. Fehlertoleranz     : 0.00001

5. Anzahl Intervalle  : 4  (h=0.25)

6. Anzahl Iterationen : 10 (mittels Newton)

Die Ergebnisse werden dem Meßwertfenster übergeben und können dort betrachtet werden.

Beispielausgabe :

 0.0000   -1.0000

 0.2500    0.0054

 0.5000    0.4267

 0.7500    0.7291

 1.0000    0.9940

- Funktions-Hauptmenü


Runge-Kutta Fehlberg-Verfahren
Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren

Das Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren ist eine Erweiterung des bekannten Verfahrens 4. Ordnung. Es ist ein sogenanntes adaptives Verfahren. Dieses Verfahren paßt die Anzahl der Approximationen dem jeweiligen Knoten an, wobei der Abbruchfehler innerhalb einer spezifizierten Grenze bleibt.

Exemplarisch sei einmal die Lösung einer DGL nach Runge-Kutta mittels LCS durchgespielt.

Beispiel DGL :    y' = y - t*t + 1

                  Anfangswert : y(0) = 0.5  (Grenzen 0<=t<=2)

Die DGL wird über die Funktionseingabe (Taste F2) erst einmal definiert:

Eingabe in LCS :  Kurzbezeichung    : DGL

                  Funktionsausdruck : Y - X*X + 1

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Runge-Kutta Fehlberg-Verfahren

1. Eingabe X-Startwert    : 0

2. Eingabe X-Endwert      : 2

3. Max. Schrittweite hmax : 0.25

4. Min. Schrittweite hmin : 0.01

5. Anfangswert            : 0.5

6. Fehlertoleranz         : 0.0001

Die Ergebnisse werden dem Meßwertfenster übergeben und können dort betrachtet werden.

Beispielausgabe :

 0.0000   0.5000

 0.2500   0.9204

 ..

 1.9793   5.2574

 2.0000   5.3054

- Funktions-Hauptmenü


Lineare Regression

Die Lineare Regession berechnet Ihnen eine Ausgleichsgerade durch Ihre Meßwerte. Dabei wird die Gerade berechnet, deren Summe der Fehlerquadrate der Y-Werte ein Minimum bildet.

Beispiel-Meßreihe (x,y):

1.00   2.015

2.00   2.994

3.00   4.002

4.00   4.998

5.00   6.012

Die Ausgleichsgerade lautet : G(x) = 0.9998x + 1.0048

Summe der Fehlerquadrate      = 3.2439E-04

Standardabweichung der Fehler = 1.0398E-02

Korrelationskoeffizient r     = 9.9998E-01

- Numerische Methoden


Polynom-Approximation 2. - 5.Grades

LCS ist in der Lage, Ausgleichspolynome vom 2. bis zum 5.Grad für Meßwerte zu berechnen. Verwendet wird hier die Methode der kleinsten Quadrate. Die Polynome können auch als Meßwertgraph erzeugt werden.

Beispiel-Meßreihe (x,y):

1.00    1.012

2.00    3.994

3.00    9.002

4.00   15.998

5.00   25.012

Als Beispiel selektieren wir einmal ein Ausgleichspolynom 2. Grades:

Das Ausgleichspolynom 2.Grades lautet :

P(x) = 1.003428571x^2 - 0.020571429x + 0.028400000

Summe der Fehlerquadrate = 3.86285714285883E-05

Standardabw. der Fehler  = 3.58834090858103E-03

- Numerische Methoden


Spezielle Approximationen

Neben den klassischen Approximationen, wie der Polynom-Approximation oder der Linearen Regression, bietet LCS noch einige spezielle Ausgleichskurven an.

Folgende 4 Approximationen stehen Ihnen zur Verfügung :

1. A(x) = a * e^(bx)

2. A(x) = a * x^b

3. A(x) = a + b * ln(x)

4. A(x) = a + b * 1/x

Sollten Ihnen keine der Approximationen von LCS genügen, dann bietet die Meßwertgraphen-Darstellung noch zusätzlich die kubische Spline-Approximation an. Sie ergibt zwar keine direkte Funktionausgabe, dafür glättet sie Graphen sehr schön (die klassische 'Mogelkurve'). Sie kann über das  Meßgraphenfenster Symbol 1 leicht selektiert werden.

- Numerische Methoden


Numerische Integration nach Simpson

Das klassische Verfahren zur Integration von Meßwerten ist die Simpson-Regel. Beachten Sie allerdings, daß die Simpson-Regel einige Dinge voraussetzt, sonst erhalten Sie falsche Werte.

Die Abstände zwischen den X-Werten müssen äquidistant sein, also stets gleich groß. Negative Y-Werte dürfen nicht auftreten.

LCS berechnet die Fläche nach der zusammengesetzten Simpson-Regel.

Genaue Angaben über die zusammengesetzte Simpson-Regel finden Sie im Buch Numerische Methoden von J. Douglas Faires (S.118-120).

- Numerische Methoden


Romberg-Integration

Die Romberg-Integration wird zur Integration beliebiger Funktionen benutzt. Sie verwendet die zusammengesetzte Trapezregel für die einleitende Approximation und ein Beschleunigungsverfahren, die sogenannte Richardson-Extrapolation, um verbesserte Approximationen zu erhalten.

Genaue Angaben zur Romberg-Integration finden Sie im Buch Numerische Methoden von J.Douglas Faires (S.132-138).

Beispiel : F = Integral sin(x)dx  von 0 bis Pi

LCS-Eingaben :

Die Funktion wurde vorher per Funktionseingabe (Taste F2) definiert:

Kurzbezeichnung der Funktion : Flaeche

Funktionsausdruck            : sin(x)

1. Integral-Startwert : 0

2. Integral-Endwert   : P

3. Fehlerschranke     : 0.000001

Ausgabe der Fläche : Fläche = 1.999999995

Anmerkung:

LCS erlaubt für Pi und -Pi die Verwendung der Zeichen P und -P bei Funktionsberechnungen.

- Numerische Methoden


Nullstellensuche nach Newton

LCS kann mittels des Newton-Verfahrens die Nullstellen für beliebige Funktionen suchen. Dabei legt der Anwender zur Suche einen Startwert vor, und das Newton-Verfahren zieht sich automatisch an die Nullstelle heran. Den Startwert kann man frei wählen, klüger ist es jedoch, sich erstmal den Graphen der Funktion anzuschauen.

Das Newton-Verfahren arbeitet nach folgender Formel:

  x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)

Die Ableitung bildet LCS numerisch.

Beispiel: f(x) = x*x - x - 1.5

Kurzbezeichnung   : FX

Funktionsausdruck : SQR(X)-X-1.5

Startwert      : 10

Fehlertoleranz : 0.00001

Ausgabe : Nullstelle bei 1.822875

Die Funktion hat allerdings 2 Nullstellen. Die andere Nullstelle findet man bei der Eingabe des Startwertes -10. Als Ergebnis ergibt sich dann -0.822875. Man sollte sich also den Graphen vorher einmal ansehen, um keine Nullstelle zu übersehen.

- Numerische Methoden


Statistikdateien verwalten

Statistische Daten werden in vielen Fällen von der Festplatte geladen.

Für den F- oder t-Test werden jeweils 2 Meßwertdateien von Typ .MSW benötigt.

Der Bartlett-Test und die einfache Varianzanalyse können bis zu 10 Meßwertdateien automatisch laden und auswerten. Diese Dateien sind vom Benutzer mit den Dateiendungen .MS0 bis .MS9 zu versehen (bereits beim Speichern der Meßwerte !).

Die Varianzanalyse bzw. der Bartlett-Test benötigen zur Berechnung nur die Anwahl einer .MS0-Datei.

Beispiel:

Eine Versuchsreihe besteht aus 3 Meßwertreihen namens PROBE :

- die 1. Meßwertreihe heißt PROBE.MS0

- die 2. Meßwertreihe dann PROBE.MS1

- die letzte dann PROBE.MS2

Nach der Anwahl von PROBE.MS0 werden PROBE.MS1 und PROBE.MS2 automatisch nachgeladen. Die Anzahl wird automatisch erkannt, hierum braucht der Anwender sich nicht zu kümmern.

- Statistische Tests


Gamma-Funktion

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Gamma-Funktion

Die Gamma-Funktion spielt in der Statistik eine große Rolle. Sie wird bei der Berechnung von Verteilungen benutzt. Wird der Gamma-Funktion eine ganze Zahl übergeben, so berechnet sie die Fakultät.

LCS kann die Gamma-Funktion für beliebige Werte zwischen 1 und 170 bestimmen. Größere Werte sprengen den Rechenbereich mit max. 1E+308.

- Menüpunkt Statistik

- Hauptmenü Funktion


Q-Test (Ausreißertest n <= 10)

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Q-Test

Der Q-Test ermöglicht es, Ausreißer in einer Meßreihe festzustellen. Allerdings ist die Meßreihe auf max. 10 Meßwerte begrenzt.

1. Datei muß nach X-Werten sortiert sein

2. Haben mehrere Meßwerte den gleichen Betrag, so darf nur einer davon in den Test übernommen werden !

- Meßwertdatei mit der Endung .MSW. laden

- Nummer des zu überprüfenden X-Werts eingeben

Man kann zwischen einer Wahrscheinlichkeit P von 0.9, 0.95 und 0.99 wählen.

Ergebnis:

Ist Q > Q(P,n), so ist der Meßwert als Ausreißer identifiziert.

- Statistische Tests


Ausreißertest (n>10)

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Ausreißer-Test (n>10)

Für Messungen mit mehr als 10 Werten wird ein Ausreißer nach folgender Definition identifiziert. Ist der Abstand zwischen dem zu untersuchenden Wert und dem Mittelwert größer als 4x die Standardabweichung, dann gilt er als Ausreißer.

Mittelwert und Standardabweichung werden vorher neu berechnet, der zu testende Meßwert wird bei der Berechnung weggelassen.

Meßwertdatei mit der Endung .MSW laden.

Eingabe: Nummer des X-Meßwerts in der Meßwert-Eingabe

Ausgabe: Meldung, ob 4x die Standardabweichung überschritten wurde

Literatur: s. Statistik in der analytischen Chemie, Doerffel S. 116

- Statistische Tests


t-Test

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> t-Test -> t, t(P,f)

Mit dem t-Test (Student-Test) kann man zwei Mittelwerte miteinander vergleichen (für unverbundene Stichproben).

Annahme: die Mittelwerte ähneln sich

- Laden der 1. Meßreihe vom Dateityp .MSW

- Eingabe des Vertrauensintervalls P  90%, 95% oder 99%

- Laden der 2. Meßreihe vom Dateityp .MSW

Ausgabe : t und t(P,f)

Die Differenz zwischen 2 Mittelwerten gilt als nicht beweiskräftig, wenn t < t(P,f) ist.

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> t-Test -> Var1 = Var2 => t, P

Annahme: signifikant unterschiedliche Mittelwerte

         Varianzen seien ähnlich

- Laden der 1. Meßreihe vom Dateityp .MSW

- Laden der 2. Meßreihe vom Dateityp .MSW

Ausgabe : t und P

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> t-Test -> Var1 <> Var2 => t, P

Annahme: signifikant unterschiedliche Mittelwerte

         Varianzen seien signifikant verschieden

- Laden der 1. Meßreihe vom Dateityp .MSW

- Laden der 2. Meßreihe vom Dateityp .MSW

Ausgabe : t und P

- Statistische Tests


F-Test

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> F-Test -> f, f(P,fg1,fg2)

Vergleich zweier Varianzen (für unverbundene Stichproben)

- Laden der 1. Meßreihe vom Dateityp .MSW

- Eingabe des Wahrscheinlichkeitsintervalls P  90%, 95% oder 99%

- Laden der zweiten Meßreihe vom Dateityp .MSW.

Ausgabe : f und f(P,f1,f2)

f1,f2 = Freiheitsgrade

Die geprüfte Hypothese Varianz1^2 = Varianz2^2 = Varianz^2 ist zu verwerfen, wenn

f > f(P,f1,f2).

Der f(P,f1,f2)-Wert wird von LCS approximiert. Die Approximation finden Sie im Buch Dialogorientierte Statistik für PC´s aus dem IWT-Verlag.

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> F-Test -> f, P

- Laden der 1. Meßreihe vom Dateityp .MSW

- Laden der zweiten Meßreihe vom Dateityp .MSW.

Ausgabe : f und P

- Statistische Tests


Bartlett-Test

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Bartlett-Test

Vergleich mehrerer Standardabweichungen (Chi^2-Verteilung)

Es sind max. 10 Meßreihen zum Bartlett-Test zugelassen. Diese Meßreihen müssen als Dateien mit den Endungen .MS0 bis .MS9 vorliegen.

Vorbereitung:

Beispiel: 5 Meßreihen wie folgt abspeichern :

z.B. TEST.MS0, TEST.MS1, TEST.MS2, TEST.MS3, TEST.MS4

Die Endungen (.MS0 - .MS4) sind beim Menü 'Meßwerte speichern' mit einzugeben, ansonsten müssen die Dateien entsprechend umbenannt werden.

Beachten Sie die Dateiendung z.B.:

 5 Dateien = .MS0 bis .MS4

10 Dateien = .MS0 bis .MS9

1. Eingabe des Vertrauensintervalls P:

Auswahl: P = 0.500

         P = 0.900

         P = 0.950

         P = 0.990

         P = 0.995

2. Startdatei mit Endung .MS0 laden

In unserem Beispiel ist die Startdatei TEST.MS0. Die restlichen Dateien werden automatisch von LCS nachgeladen.

Ausgabe :

- Berechnetes Chi^2 der Meßreihen

- Chi*^2 = Chi^2/C

- Chi^2(P,f)

f  = Freiheitsgrad (Anzahl Meßreihen - 1)

fg = Summe aller Einzelfreiheitsgrade

fj = Freiheitsgrade der j.ten Meßreihe

           Sum(1/fj) - 1/fg

       C = -------------- + 1

               3 * f

Sollte Chi^2 den Wert Chi(P,f) nur geringfügig überschreiten, so kann man den korrigierten Wert Chi*^2 benutzen.

Überschreitet Chi*^2 dennoch Chi(P,f), so ist ein signifikanter Unterschied zwischen den Standardabweichungen festgestellt worden.

Literatur: s. Statistik in der analytischen Chemie, Doerffel S. 107

- Statistische Tests


Einfache Varianzanalyse

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Einfache Varianzanalyse

Die einfache Varianzanalyse erlaubt den Vergleich von mehr als 2 Mittelwerten.

Es sind max. 10 Meßreihen wie beim Bartlett-Test, zugelassen. Diese Meßreihen müssen als Datei mit den Endungen .MS0 bis .MS9 vorliegen.

- Laden der Start-Meßwertdatei mit der Endung .MS0.

- Eingabe der Wahrscheinlichkeit P= 90%, 95% oder 99%

Ausgabe :

1. Barlett-Test Chi^2-Test

2. F-Test

3. Streuung zwischen den Meßreihen, Varianz

4. Streuung innerhalb der Meßreihen, Varianz

5. Streuung insgesamt

6. Arithmetisches Mittel und mittlerer Fehler des Mittelwerts

- Beispielausgabe Varianzanalyse

- Statistische Tests


Korrelationskoeffizient

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient dient zur Prüfung der Abhängigkeit zweier Variablen. r mißt die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen 2 Meßreihen.

Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient r = sxy/(sx*sy)

sxy = Kovarianz

sx un sy = Standardabweichung

Die beiden Meßreihen sind diesmal in einer Datei zusammengefaßt. Die 1. Meßreihe liegt in der X-Spalte und die 2. Meßreihe in der Y-Spalte der Meßwerttabelle.

- Laden der Datei vom Dateityp .MSW

Ausgabe : Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient r

Man beachte, daß beide Meßwertspalten die gleiche Anzahl an Meßwerten enthalten müssen.

Literatur: Dialogorientierte Statistik für PC´s, IWT-Verlag

- Statistische Tests


Nachweisgrenze

Funktions-Fenster

-> Menüpunkt Statistik -> Nachweisgrenze

Bei der Bestimmung von sehr geringen Gehalten machen sich Verunreinigungen bestörend bemerkbar. Man bestimmt deshalb den mittleren Blindwert aus einer Reihe von Blindanalysen und leitet daraus die Nachweisgrenze ab.

Wichtige Bezeichner :

yb = mittlerer Blindwert

ob = Standardabweichung Blindwerte

np = Anzahl Parrallelbestimmungen

b  = Empfindlichkeit

xmin = Nachweisgrenze

Berechnung :

ymin = yb + (3 * ob)/ Wurzel(np)

xmin = (ymin - yb) / b

Eingaben :

- Laden der Blindwerte-Datei von Typ .MSW

- Eingabe der Anzahl der Parallelbestimmungen np

  (Hinweis Anzahl Blindwerte >> np)

- Eingabe der Empfindlichkeit b

Ausgaben :

- Mittelwert der Blindwerte

- Standardabweichung der Blindwerte

- Anzahl Parallelbestimmungen np

- Ausgabe der Nachweisgrenze

Literatur: Statistik in der analytischen Chemie, Doerffel, S.91

- Beispiel Nachweisgrenze

- Statistische Tests


Beispielausgabe Varianzanalyse

Einfache Varianzanalyse (Beispielausgabe) :

1. Variabilität zwischen den Meßreihen

   - Freiheitsgrade : 3

   - Summe Abweichungsquadrate : 8.17717391299766E-04

   - Durchschnittsquadrate : 2.72572463766589E-04

2. Variabilität innerhalb der Meßreihen

   - Freiheitsgrade : 19

   - Summe Abweichungsquadrate : 0.012547500

   - Durchschnittsquadrate : 6.60394736842300E-04

Gesamt-Freiheitsgrade : 22

Gesamtsumme Abweichungsquadrate : 0.013365217

F-Wert =    2.42

F(P=90% approx.) = 5.78

f <= f(p) Nullhypothese annehmen

- Einfache Varianzanalyse


Beispiel Nachweisgrenze

Dieses Beispiel stammt aus dem Buch Statistik in der analytischen Chemie, K. Doerffel, Verlag Chemie.

Es sollen Eisenspuren photometrisch in Reinstaluminium nachgewiesen werden.

Fall 1:

Extinktion mittels Sulfosalicylsäure (e = b = 5.6*10^3 l/(mol*cm))

Küvetten mit d = 1 cm

- Eb = yb sei 0.08

- ob sei 0.02

- np sei 2

Emin = 0.08 + (3*0.02)/Wurzel(2) = 0.122

cmin = (0.122-0.08)/(1*5.6*10^3) = 2.18*10^-5 mol/l

Fall 2:

Extinktion mittels Triazin (e = b = 2.25*10^4 l/(mol*cm))

Küvetten mit d = 5 cm

- Eb = yb sei 0.4

- ob sei 0.1

- np sei 2

Emin = 0.4 + (3*0.1)/Wurzel(2) = 0.612

cmin = (0.612-0.4)/(5*2.25*10^4) = 0.187*10^-6 mol/l

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