Sečteno, zváženo, rozděleno (Svět čísel v lidských dějinách) Počítačový svět nul a jedniček je někdy chápán jako vrchol racionálního přístupu ke světu. Můžeme slyšet fráze o "odlidštěné matematické logice". Mnozí lidé prohlašující se sami za mágy nebo duchovní učitele s oblibou používají větu "všechno se nedá sečíst ani zvážit". Pokusy kvantifikovat okolní skutečnost ovšem nikterak nejsou produktem moderní doby a záliba v číslech se táhla napříč mezi vzájemně si protiřečícími filozofickými školami i náboženskými směry. Navíc nám dějiny matematiky přinášejí i řadu dalších zajímavých problémů: jak se zapisovala čísla ve starých písmech? Uměli lidé dříve zapisovat číslice nebo piktogramy? A z jakého historického podhoubí vlastně vyrostla ta ultramoderní dvojková soustava? Ještě ze školy si většina z nás zřejmě pamatuje, že naše desítková soustava není rozhodně jediná možná. Pokud by se v dějinách prosadila jiná, měla by celá matematika a tudíž i dnešní věda nějak zásadně odlišnou podobu? A jsou čísla skutečně něčím magická? Pokusme se najít odpověď na podobné otázky. Zrod čísla Samotný pojem čísla není kupodivu tak docela samozřejmý. Existují (nebo přinejmenším ještě před nedávnem existovaly) mezi přírodními národy populace, které k této abstrakci nikdy nedošly. Na téma jazyků podobných společenství se v etnografické literatuře zmiňuje řada poměrně humorných příkladů: tak třeba u australských domorodců je zaznamenáno, že jejich slovo pro "starou vačici, která vylezla na strom a zase slezla" je zcela odlišné od slova vyjadřujícího stav, kdy se vačice rozhodla na stromě zůstat. Analogicky u řady kmenů neexistují látková podstatná jména: je pojem říční vody a vody dešťové, nikoliv obecné slovo pro vodu. Podobně je tomu i s pojmem čísla, respektive s abstrakcí, která jej jaksi vytrhuje ze skutečnosti a z vazby na konkrétní hmotný předmět. O primitivních (nebo lépe řečeno zásadně odlišných) jazycích pojednávají mj. i některé z geniálních Borgesových povídek (např. Tlön, Brodiova zpráva), jež tímto vřele doporučuji (česky vše vyšlo v odeonském výboru Zrcadlo a maska). Počítání v nejstarších dobách Bez ohledu na nepřítomnost číslic u některých přírodních národů pocházejí první doklady o počítání zřejmě již z doby mladšího paleolitu (tedy víceméně období kryjícího se s "lovci mamutů"). Lze důvodně předpokládat, že rovnoběžné a různě dělené vrypy do klů a kostí odpovídají provádění operací s čísly. Někteří z vědců, kteří se studiem nálezů zabývali, došli k názoru, že nejstaršími početními úkony bylo snad sčítání, ale především dělení. Spekuluje se o tom, že příčinou byla především potřeba spravedlivě rozdělit kořist mezi členy tlupy. Na druhé straně lze ovšem pochybovat, že několik fragmentů je dostatečným podkladem pro konstrukce tohoto typu. Vznik písma Číslice byly přítomné v nejstarších písmech, třebaže ještě nikoliv ve zcela abstraktní formě, ale např. jako počet čárek doprovázejících obrázek. Odpovídá to teorii o vzniku písemných systémů především díky vzrůstajícím potřebám účetní evidence. Čím dál složitějším ekonomickým vztahům musel matematický aparát poskytnout vhodné nástroje. S tím koresponduje i vznik prvních vzorců pro výpočet obsahů a objemů geometrických útvarů, ale také kupříkladu počítání s úroky, které bylo ve starověké Mezopotámii poměrně rozvinuté. Zatímco první fází abstrakce bylo oddělení číslice od konkrétního předmětu, nyní vede další zobecnění ke vzniku pojmu veličiny, tedy symbolu, za nímž se může skrývat libovolné číslo (respektive číslo určité kategorie: např. přirozené apod.). Kalendář Tam, kde nevznikly písemné systémy a rozvoj matematiky si nevynucovaly komplikující se ekonomické vztahy, existovaly podněty jiného charakteru. Pokud se podíváme na Stonehenge a uvědomíme si jeho roli coby gigantického kamenného kalendáře, je jasné, že i při astronomických pozorováních musí být empirie doprovázena vhodnými nástroji. Navíc zde nacházíme první slibovaný doklad vazeb čísel a matematiky na kultovní sféru. Existuje dokonce i názor, který dává starověké kalendáře a astronomii do souvislosti výlučně s náboženstvím a argumentuje tím, že tehdejší zemědělci nepotřebovali k praktickému životu žádný přesný kalendář, protože např. dobu potřebnou k setbě mohli velmi jednoduše odhadnout ze změn probíhajících v okolní přírodě. Předkolumbovská Amerika Stojí za pozornost, že nejstarší písma předkolumbovské Ameriky byla vlastně pouze číslicemi označujícími především kalendářní údaje. I později jsou čísla doprovázena mnohdy pouze krátkými texty a numerický systém je např. v písmu Olméků (nejstarší vysoká kultura předkolumbovské Mesoameriky) to jediné, co se nám dnes podařilo dešifrovat. Z předkolumbovské Ameriky také známe představu, že jednotlivá období světa jsou od sebe oddělena obrovskými živelnými katastrofami, které přicházejí vždy po nějaké přesně stanovené době. Aztékové a Mayové přikládali magický význam zejména cyklu 52 let, po jehož uplynutí vždy očekávali konec světa. Nejstarší číselné systémy Ze školy si zřejmě pamatujeme, jak psali Egypťané a jiné starověké národy. Určitý počet jednotek (dejme tomu čárek) se označoval řekněme ibisem, určitý počet ibisů kupříkladu slonem. Máme zde tedy vyjádření řádů, zdánlivě velmi podobné tomu současnému. Uvidíme však brzy, že analogie není zdaleka tak silná, jak by se mohlo zdát. Pamatujeme si většinou i Babylóňany a jejich dvanáctkovou číselnou soustavu, která dnes ještě stále přetrvává v úhlovém dělení kružnice či v dělení dne na hodiny, a další časové jednotky. Existují i stopy soustavy dvacítkové (francouzština, baskičtina), kterou používali i Mayové; tato analogie nemohla přirozeně ujít těm, kdo hledají argumenty pro existenci Atlantidy. Má význam, jaká je číselná soustava? Odpověď na takto položenou otázku je dvojí. V první řadě magie čísel (ještě se k ní dostaneme) ovládá do značné míry celý náš život. Žijeme v jistém ohledu periodicky; většina lidí slaví různá výročí. Jistě bychom žili jinak, kdyby základní jednotka určující náš pracovní rytmus (týden) měla jiný počet dnů. Dnes se již délka period ne vždy kryje s tím, jaký je základ naší soustavy (týden nemá deset dní). Nicméně přesto existuje tendence přiřazovat "kulatým" číslům nějaký vyšší význam. Aniž bych chtěl hlásat jakýkoliv determinismus, lze jistě připustit, že tak jako je lidské myšlení do jisté míry ovlivněno jazykem a jeho pojmy, tak v něm obdobnou roli hraje i číselný systém. To byla tedy odpověď z hlediska psychologie. Má však charakter soustavy význam i v matematice? Ačkoliv jsem se už setkal i s opačným názorem, výsledek matematických úkonů není samozřejmě ovlivněn formou jejich vyjádření -- konec konců, kdyby tomu tak nebylo, výsledky počítačů pracujících ve dvojkové (respektive šestnáctkové) soustavě by nebyly naprosto kompatibilní s lidským světem. Hovoří se o tom, že babylónská dvanáctková soustava je v jistém ohledu výhodnější než desítková z důvodu, že číslo 12 je beze zbytku dělitelné na třetiny a čtvrtiny. To je pravda, nicméně je třeba si uvědomit, že dělitelnost v žádném případě NENĺ vlastností konkrétního systému zápisu čísel. 12ka je beze zbytku dělitelná na třetiny i čtvrtiny v soustavě 17kové i libovolné jiné. Z tohoto hlediska je tedy víceméně jedno, jaký číselný systém máme k dispozici. Desítka je nejpřirozenější asi hlavně kvůli počtu prstů. Pokud je základ soustavy příliš nízký, jsou zápisy čísel neúměrně dlouhé. Naopak, ve dvacítkové soustavě se musíme naučit devatenáct symbolů pro jednotlivé číslice, což je zase poněkud namáhavější. Poziční a absolutní číselné soustavy Mluvili jsme již o tom, že z hlediska matematického nemá příliš význam, jaká soustava vlastně je. Zmínili jsme i o stupňovité výstavbě čísel a systémů zápisu. Deseti čárkám odpovídá ibis, deseti ibisům slon. Ale pozor: systém lze nyní konstruovat i tak, že 20 slonům bude odpovídat znak nosorožce a 6 nosorožcům symbol pro moře (což řekněme vyjadřuje jakousi obdobu "velmi mnoho"). Přepočet prvků může být libovolný. Takto kombinované číselné soustavy se v dějinách vyskytovaly a setkáváme se s nimi i dnes. Počítá se s nimi poněkud nepohodlně, ale jde to. Další nevýhodou takové soustavy je i fakt, že v ní nelze napsat libovolně velké číslo. Každý řád má svůj vlastní znak a tato řada někde musí končit. A počítání v těchto soustavách je rovněž značně nepohodlné, pravidla pro mechanické sčítání, odčítání a násobení "pod sebou" jsou zde mnohem méně triviální. V rozvoji matematiky (respektive aritmetiky) byl jedním z rozhodujících momentů objev poziční číselné soustavy, vcelku lhostejno o jakém základu. Udál se podle všeho pouze na dvou místech; nezávisle na sobě k němu došlo u Mayů a Indů -- a z našeho hlediska přirozeně významnější byl fakt, že k objevu došlo ve staré Indii. V našem příkladu s ibisy a slony nezáleželo na tom, v jakém pořadí je číslo napsáno. Poziční číselná soustava naopak postuluje význam relativního umístění číslice (která podle této pozice vlastně znamená násobek mocniny základu číselné soustavy, tedy 205 je 2 * 10 na 2 + 0 * 10 na 1 + 5 * 10 na 0). K tomu, aby šlo tímto způsobem psát, musí být tedy také "vymyšlena" nula. I tu objevili nezávisle na sobě Indové a Mayové. Antický svět Staří Řekové posunuli jistě nemalou měrou rozvoj lidského poznání a matematiku začali jako první budovat deduktivně. Přesto však v aritmetice žádných zvláštních úspěchů nedosáhli. Hlavní příčinou byl fakt, že jejich číselná soustava nebyla poziční (řády se označovaly písmeny alfabety) a byl zde mj. i problém s vysokými čísly. Ono velmi hezky znějící řecké slovo myriáda, používané i dnes ve významu "velmi mnoho", znamenalo kupodivu pouze 10 000. Lépe na tom nebyli ani staří Římané. Zkuste si pod sebou počítat s římskými číslicemi, a pochopíte proč. Poziční číselné soustavy v Evropě Už byla řeč o původu naší desítkové soustavy ve staré Indii. Jak se k nám dostala? O tom dobře vypovídá označení, které se občas používá i dnes: "arabské číslice". Islámský svět zprostředkoval Evropě řadu ztracených znalostí antického období i mnoho jiných objevů, mezi jinými i naše čísla. Hodnota číslice původně odpovídala počtu ostrých úhlů, jež obsahuje odpovídající čára. Je celkem zábavné rekonstruovat si pro sebe, jaké tvary tedy číslice měly původně. Mimochodem, když už je řeč o úhlech. Jednou z vlastností digitálních displejů je skutečnost, že číslice zde jsou zobrazovány jako pravoúhlé objekty. Někteří estetikové a psychologové v tom dnes spatřují nebezpečný trend, kdy ve světě kolem nás stále silněji převládají pravoúhlé a rovné struktury na úkor struktur diagonálních a křivých (viz např. i panelové domy). Magie čísel Skutečnost, že světu kolem jsou vlastní jisté kvantitativní údaje, vedla od počátku ke vzniku číselné magie. V pravděpodobně nejpropracovanější podobě s tím přišli pythagorejci, v jejichž podání existovala posvátná čísla a z matematiky byla odvozována metafyzika. Každému živlu odpovídal v představách této filozofie nějaký pravidelný geometrický útvar. Svět čísel byl čímsi, co bylo nadřazeno světu hmotnému. Je zajímavé si uvědomit, že ony často citované eleatské aporie (letící šíp a želva závodící s Achilleem) jsou ve své podstatě problémy nikoliv filozofické (v dnešním chápání tohoto pojmu), ale "pouze" matematické -- a to ještě problémy nijak obecné, nýbrž jde jen o speciální otázky nekonečných (avšak spočitatelných) řad. Podobnou úlohu hraje číselná magie v kabale nebo i kupříkladu v astrologii. Stranou nezůstává ani Bible, číslo šelmy je 666, je určitý počet spravedlivých a zapomínat bychom neměli ani na příběh proroka Daniela, kdy konec vlády krále Baltazara vyjevuje neviditelná ruka, píšící na zeď hodovní síně slova "mene, tekel, ufarsin", tedy "sečteno, zváženo, rozděleno." Můžeme se přemístit i do oblastí běžného života. Všichni jsme se někdy setkali s různými magickými čtverci. Známe výrok "ty jsi ale číslo". Jsou čísla šťastná a nešťastná. A tak dále. Věda Dosavadní výklad by mohl vést k dojmu, že vše nějak spjaté s čísly je spíše pověra. Na druhé straně ale ani úloha matematiky v postdescartesovském světě není prosta podobných, tedy filozofických (respektive metafyzických) aspirací. Samotný Descartes soudil, že matematika je to jediné, co funguje stejně ve světě bdělém i snovém. Nechci zlehčovat snahy o přesnou kvantifikaci přírodních zákonů, nalézání různých kosmologických konstant apod. Soudím však, že tyto snahy nejsou tak docela odlišné od postupů magických, respektive mezi vědu a magii nelze položit dělítko na základě jejich odlišného vztahu k číslům. Příčiny magie čísel Kvantitativní údaje představují jistou abstraktní reprezentaci objektu (nebo subjektu). Ať už předmět nakreslíme, pojmenujeme či popíšeme rovnicí, v zásadě lze tento úkon interpretovat stále stejně -- jako získání moci nad tímto předmětem prostřednictvím jeho popisu, vytvořením již zmíněné reprezentace. Pokud známe rovnici pohybu planet, dává nám to jistý pocit moci nad nebeskými tělesy. Domnívám se, že podobný pocit zažíval pravěký šaman provádějící vražedný rituál na způsob vúdú, při němž vrážel jehlici do sošky představující někoho z lovců. Obě dvě víry jsou jaksi stejně bytostně iracionální (skoro se mi chce říci "stejně neodůvodněné"). Logika, která zrodila oba postupy, je také v zásadě stejná a nazývá se sympatetická magie; velice hezky o ní pojednal např. Frazer ve Zlaté ratolesti. Sympatetickou magii najdeme téměř všude kolem nás a lze ji vyjádřit jako víru v moc podobnosti. Jde jen o to, jak se tato víra aplikuje (např. buď jako klasická medicína, nebo jako homeopatie; buď jako reprezentace člověka jeho probodnutou figurkou, jeho horoskopem nebo jeho digitálním podpisem, přiřazením indexu výsledku marketingového průzkumu či čísla kreditní karty). Závěr Neměl jsem zde v úmyslu spekulovat o podobnosti či rozdílnosti (nebo opodstatněnosti či dokonce "správnosti") magie a vědy. Spíše mi šlo o to ukázat, že fenomén čísla se táhne lidskými dějinami od jejich počátků, a není tedy rozhodně objevem (či dokonce neduhem) moderní civilizace technického typu. Číslice je objekt vědecký stejně jako magický, racionální i iracionální (ostatně, vždyť se čísla tak sama označují, najdeme zde dokonce jako jeden typ i čísla imaginární), a pokud si vzpomeneme na přesná metrická pravidla starší poezie, jistě také umělecký.
Pavel Houser |