< Módy | Odraz a prechod impulzu > |
Možno by si teraz čakal obrázok so štyrmi oscilátormi a ďalší spôsob riešenia problému ako popísať ich pohyb. V skutočnosti tie dva predchádzajúce spôsoby riešenia neboli rôzne. Boli to iba dva varianty realizácie tej istej myšlienky. Jeden variant si predral cestu od začiatku a druhý od konca. Priznám sa, že tu niekde, sa asi končia všetky moje tradičné vedomosti ohľadom riešenia takýchto systémov a neviem o ničom, čo by ma prinútilo riešiť štyri zviazané oscilátory na "papiery".
Nebudem riešiť štyri zviazané oscilátori ani žiaden ich konečný počet, no vyrieším nekonečné množstvo zviazaných oscilátorov.
Podľa obrázku č. 4 napíšem pohybovú rovnicu pre oscilátor v strede, podobne ako som to už robil v predchádzajúcich odsekoch. Dostávam diferenciálnu rovnicu:
Takáto rovnica platí pre každý oscilátor v nekonečnom rade oscilátorov. Teraz si premenujem výchylky oscilátorov, namiesto diskrétneho pomenovania zavediem spojité, pričom rovnovážnu vzdialenosť medzi dvoma susednými oscilátormi si označím b. Potom:
m(![]() ![]() | (1) |
podľa pána Taylora platí:
to keď dosadím do (1), tak dostanem vlnovú rovnicu:
Táto rovnica predstavuje parciálnu diferenciálnu rovnicu pre funkciu a = a(x,t). Keď si zavediem označenie v2 = kb2/m, potom ju môžem prepísať prehladnejšie:
![]() ![]() ![]() ![]() | (3) |
Dosadením sa môžeš presvedčiť, že riešeniami rovnice (3) sú všetky funkcie typu:
a = f(t ![]() | (4) |
teda také funkcie, ktoré sa pohybujú rýchlosťou v smerom doprava alebo doľava, pričom sa nemení ich tvar. Z toho vyplýva, že mechanické vlnenie v nekonečnom rade oscilátorov sa bude šíriť rýchlosťou:
v = b![]() | (5) |
kde b je rovnovážna vzdialenosť medzi oscilátormi o hmotnosti m a k je koeficient pružnosti pružín medzi nimi.
Ešte treba upozorniť na najpoužívanejšie riešenie rovnice (3), a tým je nekonečná monochromatická vlna s frekvenciou = 2
f:
a(x,t) = Asin[![]() ![]() ![]() ![]() | (6) |
pričom
d = ![]() ![]() ![]() ![]() | (7) |
kde = vT je vlnová dĺžka monochromatickej vlny.
by natT
< Módy | Odraz a prechod impulzu > |