Spriahnuté oscilátory > |
Prvý systém pozostáva z častice o hmotnosti m, ktorá je prichytená na pružinku. Častica sa nachádza v rovnovážnej polohe, nehýbe sa. Ak jej udelíš impulz, narušíš túto rovnováhu a na časticu začne pôsobiť pružinka. Bude pôsobiť silou, a to tak, že sa bude snažiť vrátiť ju späť do rovnovážnej polohy. Klikni na obrázok hore, udel častici impulz a uvidíš, čo sa bude diať pri pôsobení takejto sily.
V dôsledku síl, ktorých výslednica pôsobí proti výchylke z rovnovážnej polohy, teda nastáva kmitanie. Ako to však zapísať matematicky? Dá sa to urobiť mnohými spôsobmi, no najjednoduchším, a pritom dostatočne pravdivým, je tento: F ~ -x (x je klasická súradnica s nulou v rovnovážnej polohe). V reči slov: velkosť výslednej sily pôsobiacej na časticu je lineárne úmerná výchylke a je orientovaná opačne.
Pre úplnosť mi ešte chýba konštanta úmernosti - označím ju k a pomenujem koeficient pružnosti, ktorý v našom prípade charakterizuje tuhosť pružinky, resp. pružnosť materiálu, z ktorého je vyrobená. Teda:
F = -kx. | (1) |
Z Newtonovho pohybového zákona, potom dostanem takúto rovnicu pre pohyb častice:
mx''(t) = -kx(t), | (1a) |
kde x(t) je funkcia polohy závislá od času, pričom x''(t) je jej druhá derivácia podľa času, a platí x'' = a. Neznámou v tejto rovnici je teda funkcia x(t), ktorú keď nájdem, tak som zistil polohu častice v každom čase, teda som popísal jej pohyb. Táto rovnica sa tiež volá diferenciálna a keď chcem nájsť jej konkrétne riešenie, musím zadať počiatočné podmienky, tj. polohu častice a jej rýchlosť v nejakom konkrétnom čase. My sme v čase t = 0 udelili častici v jej rovnovážnej polohe určitý impulz, teda rýchlosť v0, a preto platí:
x|t=0 = 0, x'|t=0 = v0. | (1b) |
Riešenie diferenciálnej rovnice (1a) pre počiatočné podmienky (1b) je (pozri príklad č. 1):
x(t) = Asin(2![]() | (2) |
A = v0(m/k)1/2, T = 2![]() | (2a,b) |
kde A je maximálna výchylka, ktorú častica dosiahne - amplitúda. T je perióda, typický čas pre dané usporiadanie, pričom platí x(t) = x(t + T), čo znamená, že pohyb sa periodicky opakuje a do toho istého bodu sa častica dostane za čas T.
Pretože na časticu pôsobí výsledná sila (1), a pretože sínus je harmonická funkcia, takéto kmitanie voláme lineárne alebo harmonické a pre nekoršie účely bude ešte výhodné zistiť, aká je mechanická energia častice, ktorá koná harmonický kmitavý pohyb. Keďže na začiatku bola častica v pokoji, jej mechanická energia (kinetická + potenciálna) bola nulová. Tvojím úderom do častice si jej udelil určitú počiatočnú rýchlosť v0, teda kinetickú energiu T:
T = 1/2 mv02. | (3a) |
Keď si vyjadrím v0 zo vzťahu (2a) a dosadím to do posledného výrazu (3a), dostanem užitočnejší tvar:
T = 1/2 kA2. |
Toto platí pre kinetickú energiu častice tesne po tvojom impulze. No keďže platí zákon zachovania energie pre izolované sústavy, platí to aj pre celkovú mechanickú energiu častice počas celého jej pohybu:
E = 1/2 kA2. | (3b) |
Keď to všetko zhrniem - ak na časticu pôsobí výsledná sila F = -kx, potom pri počiatočných podmienkach (1b) sa bude pohybovať tak, že x(t) = Asin(2t/T) s celkovou mechanickou energiou E = 1/2 kA2. Takýto pohyb voláme harmonický kmitavý pohyb.
by natT
Vyzerá to všetko jednoducho, no či tomu naozaj rozumieš, sa budeš môcť presvedčiť na nasledujúcich dvoch krátkych príkladoch.
1. Zadanie: Zisti ako sa bude pohybovať častica v systéme na obrázku č. 1 pri ľubovolných počiatočných podmienkach. Inými slovami - rieš diferenciálnu rovnicu (1a) pri takýchto počiatočných podmienkach:
x|t=0 = x0, dx/dt|t=0 = v0. |
Riešenie: Najprv si rovnicu (1a) upravím na tvar:
x''(t) = -(k/m)x(t). |
Teraz vidím, že mojou úlohou je nájsť takú funkciu x(t), ktorú keď dvakrát zderivujem, tak dostanem tú istý funkciu s opačným znamienkom až na konštantu k/m - tú si kvôli zjednodušenie ďalšieho zápisu označím 2. Mám teda rovnicu pre funkciu x(t):
x''(t) = -![]() |
Funkcie, ktoré spĺňajú túto rovnosť, mi napadnú hneď dve, a to sin(t) a cos(
t). Lebo po dvoch derivovaniach sa zmení znamienko, funkcie zostanú a potrebná konštanta so dostane von. Keď si premyslím, ako sa tieto dve funkcie derivujú v mojej rovnici, zistím, že riešením môže byť aj ľubovolná kombinácia týchto funkcií:
kde A a B sú ľubovolné reálne konštanty. A to je presne to, čo potrebujem. Našiel som riešenie s dvoma neznámymi konštantami a mám dve známe počiatočné podmienky. Dosadím počiatočné podmienky (teda v čase t = 0):
a dostanem:
Teda hladané riešenie je:
kde = (k/m)1/2.
2. Zadanie: Predstav si dva systémy - jeden podľa obrázku č. 2a a druhý podľa obrázku č. 2b. Prezradím ti, že častice v oboch systémoch budú konať harmonický kmitavý pohyb (premysli si to). Tvojou úlohou bude vyjadriť konštanty tuhosti týchto systémov pomocou konštánt k1 a k2.
![]() | ![]() |
obrázok č. 2a | obrázok č. 2b |
Riešenie: Skús sa potrápiť a napíš mi tvoj názor. V dohladnej dobe uvediem samozrejme aj riešenie.
by natT
Spriahnuté oscilátory > |