< Harmonický oscilátor | Módy > |
Systém č. 2 je tvorený dvomi rovnakými časticami s hmotnosťami m a tromi rovnakými pružinkami s koeficientami pružnosti k. Klikni na obrázok hore a uvidíš ako sa taký systém správa. Na prvý pohľad je patrné, že to nie je triviálny pohyb. No aj napriek tomu sa ti pokúsim vysvetliť ako sa dá popísať.
Najprv samozrejme musím napísať pohybové rovnice pre takýto systém, pričom si zavediem dve súradnice - x1 a x2 - podľa obrázku č. 3. Predstav si konkrétnu situáciu, keď je pružinka 1 vychýlena doprava o x1 a pružinka 2 taktiež doprava o x2, a pre určitosť nech platí, že x2 > x1.
Teraz môžem napríklad napísať, aká sila pôsobí na časticu 1. No určite to bude výslednica dvoch síl, a to sily od pružinky I a sily od pružinky II. Pružinka I je natiahnutá, snaží sa skrátiť, a teda ťahá časticu 1 do záporného smeru (doľava). Pružinka II je taktiež natiahnutá, lebo x2 - x1 > 0, snaží sa preto skrátiť, a tak ťahá časticu 1 v kladnom smere (doprava). Pre časticu 1 môžem teda písať:
mx''1 = -kx1 + k(x2 - x1). | (1a) |
Podobnou úvahou dôjdem k takejto rovnici pre časticu 2:
mx''2 = -k(x2 - x1) - kx2. | (1b) |
Dostal som teda dve zviazané diferenciálne rovnice pre funkcie x1(t) a x2(t), čo sa vo všeobecnosti rieši dosť ťažko. Ibaže by sa mi ich podarilo "rozviazať". A to sa naozaj dá! Takouto transformáciou súradníc (substitúciou):
q1 = x2 - x1, q2 = x2 + x1, | (2a) |
čomu zodpovedá inverzná transformácia:
x1 = (q2 - q1)/2, x2 = (q2 + q1)/2. | (2b) |
Keď dosadím zámenu súradníc (2b) do rovníc (1a) a (1b), potom po úprave dostanem:
q''1 = -(3k/m)q1, q''2 = -(k/m)q2, | (3) |
teda dve nezávislé diferenciálne rovnice, ktoré sme už riešili v odstavci Harmonický oscilátor a výsledok je:
pričom som si zaviedol označenia A = (3k/m)1/2,
S = (k/m)1/2 a A, B, C, D sú reálne konštanty určené počiatočnými podmienkami.
A prečo sme dostali v týchto súradniciach také jednoduché riešenie? Pravdu povediac nerozumiem tomu až tak, aby som ti to vedel vysvetliť. Môžem ti však ukázať, čo sú to módy - stavy systému, kedy všetky častice v ňom kmitajú s rovnakou frekvenciou. Aby si videl, čo mám na mysli, položme napríklad konštanty A a B rovné nule, potom bude platiť:
A toto je prvý mód, pretože keď sa vrátim do pôvodných súradníc pomocou vzťahov (2b), dostanem:
teda obidve častice kmitajú s rovnakou frekvenciou A, čo sa dá schematicky znázorniť takto:
Druhý mód dostanem tak, že položím C a D rovné nule. Potom dôjdem k symetrickému módu:
alebo schematicky:
Viacej o módoch sa môžeš dočítať v ďalšom odstavci - Módy. Pre úplnosť ešte napíšem všeobecné riešenie v x-ových súradniciach pomocou vzťahov (2b):
Pripomínam, že konštanty A, B, C, D sú určené počiatočnými podmienkami.
by natT
< Harmonický oscilátor | Módy > |