Zotrvačné sily


obrázok č. 1

Nech sústava S je spojená so mnou a pozerám sa na sústavu S', ktorá sa voči mne pohybuje tak, že poznám R = R(t), teda polohu jej počiatku v každom čase. Nech ešte rotuje tak, že poznám = (t). Ďalej mám časticu, ktorej poloha je určená polohovým vektorom r, resp. r'. Keby na túto časticu nepôsobili žiadne reálne sily, potom by som mal v sústave S, podľa zákona zotrvačnosti, pozorovať jej rovnomerný priamočiarý pohyb. No keď prejdem do sústavy S', ktorá môže vo všeobecnosti konať ľubovolný pohyb voči S popísaný pomocou R(t) a (t), určite nebudem pozorovať rovnomerný priamočiarý pohyb tejto častice. Pri pohľade zo sústavy S' sa mi bude zdať, že na ňu pôsobia (zotrvačné) sily. Podľa obrázku č. 1 môžem pre polohu častice písať:

r = r' + R.

Toto prepíšem cez bázové vektory sústavy S':

r - R = x'i' + y'j' + z'k'

a zderivujem podľa času:

v - V = (dx'/dt)i' + (dy'/dt)'j' + (dz'/dt)'k' + x'(di'/dt) + y'(dj'/dt) + z'(dk'/dt).

Aby som mohol pokračovať ďalej, budem musieť zistiť, čomu sa rovnajú časové derivácie čiarkovaných bázových vektorov podľa času. Skúsim teda rozlúštiť napríklad deriváciu di'/dt.


obrázok č. 2

Nasledujúca úvaha sa bude opierať o obrázok č. 2. Zoberiem si infinitezimálny čas dt a zistím k nemu prislúchajúcu zmenu di'. Veľkosť tejto zmeny bude |di'| = |i'|.d = 1.||dt. Smer tejto zmeny bude kolmý na vektor i' aj , preto (di')0 = 0 x i'. Keď to spojím dokopy, dostanem: di' = ( x i')dt, z teho teda di'/dt = x i'. Teraz sa vrátim k môjmu dlhému výrazu a postupnou úpravou dostanem:


v - V = v' + x i' + x j' + x k' = v' + x r'.

Keďže chcem dostať sily, musím sa dopracovať až k zrýchleniam, a teda znovu derivovať. No teraz už viem, že pri derivovaní čiarkovaného vektora podľa času, dostanem akoby jeho deriváciu a ešte jeho vektorový súčin s vektorom . Tento poznatok teraz využijem a dostanem:

a - A = a' + x v' + E x r' + x (v' + x r').
a - A = a' + 2( x v') + E x r' + x ( x r'),

kde E = d/dt je úhlové zrýchlenie. Posledný výraz ešte upravím a vynásobím hmotnosťou častice:

 ma' = ma - mA - 2m( x v') - m(E x r') - m( x ( x r')) 

Dostal som teda, že na časticu bude pôsobiť reálna sila F = ma, ktorú by som pozoroval aj v sústave S. Ďalej dobré známa zotrvačná sila Fz = -mA. Potom menej známa Corriolisova sila FC = -2m( x v'). Ešte Eulerova sila FE = -m(E x r') a nakoniec odstredivá sila Fo = -m( x ( x r')).

natT