Raketa

Zadanie: Predstav si raketu, ktorá je v pokoji a má počiatočnú hmotnosť M0, pričom 90% tejto hmotnosti tvorí palivo. Toto palivo sa začne postupne spalovať tak, že bude unikať konštantnou rýchlosťou c = 1000 m.s-1 s hmotnostným tokom w = 500 kg.s-1. Akú maximálnu rýchlosť raketa získa?

Riešenie: Predstav si raketu tesne pred tým ako z jej trysiek vyletí prvý "kúsok" spáleného paliva. Zo zákona zachovania hybnosti musí platiť, že hybnosť tohoto kúsku sa musí rovnať zmene hybnosti rakety:

cm = (M0 - m)v,

kde m je hmotnosť kúsku a v je príslušná zmena rýchlosti rakety.

Hmotnosť rakety sa bude postupom času úbytkom paliva zmenšovať, no pre každý čas t môžem písať analogickú rovnicu:

cm = (M(t) - m)v,

pričom poznám aj závisloť M = M(t). Pretože plyny unikajú konštantnou rýchlosťou, bude platiť: M = M0 - wt. To môžem dosadiť do poslednej rovnice a po zanedbaní súčinu malých čísel dostanem diferenciálnu rovnicu:

cw/(M0 - wt) = dv/dt.

Po zintegrovaní a zohladnením toho, že na začiatku bola rýchlosť rakety nulová, dostanem:

 v(t) = c ln(M0 / (M0 - wt)) 

Keď sem dosadím čísla so zadania, pre konečnú rýchlosť rakety dostanem približne hodnotu v ~ 2,3 km.s-1.

by natT