Stredná voľná dráha

Mám ideálny plyn s koncentraciou n. V takomto plyne si častice môžem predstaviť ako gulôčky s polomerom r, ktoré na seba vôbec nepôsobia. To potom znamená, že ak sa stredy týchto gulôčok dostanú do vzdialenosti menšej ako 2r, dôjde k ich zrážke. Ploche kružnice s takýmto polomerom sa hovorí zrážkový prierez a platí preň:

= 4r2.

Dĺžka voľnej dráhy ľubovolnej častice v takomto plyne je vlastne dĺžka dráhy, počas ktorej nenarazí do žiadnej inej častice. Táto dráha je v rámci istých pravidiel náhodná, a pohybuje sa okolo nejakej strednej hodnoty, ktorej sa hovorí stredná voľná dráha .

Definícia voľnej dráhy jednej častice znie:

= prejdená dráha / počet zrážok,

kde pod počtom zrážok sa rozumie počet zrážok na prejdenej dráhe. Mňa však zaujíma stredná voľná dráha, ktorú dostanem ako nejakú ustrednenú hodnotu z voľných dráh všetkých častíc v plyne. To isté ale dostanem tak, že do definície voľnej dráhy jednej častice dosadím výrazy, v ktorých budem používať už ustrednené veličiny (ustrednené cez všetky častice).

Takže na začiatku mám ideálny plyn, v ktorom sa častice pohybujú náhodnými rýchlosťami v náhodných smeroch. V skutočnosti sú tieto smery a veľkosti rýchlostí v ideálnom plyne dané Maxwellovým rozdelením, čo umožňuje vypočítať nejakú strednú rýchlosť v týchto častíc (napríklad strednú kvadratickú rýchlosť). Teraz nahradím môj ideálny plyn plynom, v ktorom sa častice pohybujú náhodnými smermi, ale všetky jednou rýchlosťou v. (Môj výpočet má odhadový charakter, preto bližšie nešpecifikujem túto rýchlosť.)

Teraz sa vrátim k definičnému vzťahu pre . Čitateľa zlomku už môžem veľmi ľahko určiť:

prejdená dráha = vt,

kde v je spomínaná stredná rýchlosť a t je nejaký časový interval.

K tomu, aby som odhadol menovateľa, chcem urobiť ešte jeden malý trik. Dá sa veľmi ľahko ukázať, že stredná relatívna rýchlosť veľkého množstva častíc pohybujúcich sa rýchlosťou v v náhodných smeroch je v2. (To je rýchlosť, akou vidí jedna gulička, že sa k nej približuje druhá.) Keď viem toto, potom môžem počet zrážok vybranej častice určiť ako počet zrážok častice pohybujúcej sa rýchlosťou v2 v statickej "mriežke" ostatných častíc rozmiestnených s koncentráciou n (pozri obrázok).

Počet zrážok v takejto situácii určím pomerne jednoducho. Za čas t prejde častica "relatívnu" vzdialenosť vt2. Keď túto dĺžku vynásobím zrážkovým prierezom , potom dostanem objem, ktorý keď prenásobím koncetráciou častíc v plyne n, tak dostanem počet zrážok za čas t. Dostal som teda, že:

počet zrážok = nvt2.

Možno ťa zarazí, že som nebral do úvahy zrážky pohybujúcej sa častice so statickými časticami. To môžem vysvetliť tým, že ak by sa aj častica v mojich úvahách odrazila, nič by sa nezmenilo. Koncetrácia je predsa vo všetkých smeroch rovnaká, zrážkový prierez je konštanta a stredná relatívna rýchlosť sa nemení, lebo sa nemení ani stredná rýchlosť všetkých častíc.

Keď nakoniec toto všetko spolu s výrazom pre prejdenú dráhu dosadím do definičného vzťahu pre voľnú dráhu jednej častice, dostanem strednú voľnú dráhu (ustrednenú cez všetky častice):

  = 1/(n2)

Takto som dostal užitočný vzťah, z ktorého viem určiť strednú voľnú dráhu častíc v plyne s určitou koncentráciou, ak poznám ich zrážkový prierez. Tento vzťah je užitočné ešte niekedy prepísať cez strednú rýchlosť v a strednú dobu medzi zrážkami :

nv2 = 1,

z neho, napríklad pre frekvenciu zrážok f = 1/, dostanem:

nv2 = f.

natT