< Módy Odraz a prechod impulzu >

Šírenie impulzu

Možno by si teraz čakal obrázok so štyrmi oscilátormi a ďalší spôsob riešenia problému ako popísať ich pohyb. V skutočnosti tie dva predchádzajúce spôsoby riešenia neboli rôzne. Boli to iba dva varianty realizácie tej istej myšlienky. Jeden variant si predral cestu od začiatku a druhý od konca. Priznám sa, že tu niekde, sa asi končia všetky moje tradičné vedomosti ohľadom riešenia takýchto systémov a neviem o ničom, čo by ma prinútilo riešiť štyri zviazané oscilátory na "papiery".


systém č. 4

Nebudem riešiť štyri zviazané oscilátori ani žiaden ich konečný počet, no vyrieším nekonečné množstvo zviazaných oscilátorov.


obrázok č. 4

Podľa obrázku č. 4 napíšem pohybovú rovnicu pre oscilátor v strede, podobne ako som to už robil v predchádzajúcich odsekoch. Dostávam diferenciálnu rovnicu:

m(dan2/dt2) = kan-1 - 2kan + kan+1,

Takáto rovnica platí pre každý oscilátor v nekonečnom rade oscilátorov. Teraz si premenujem výchylky oscilátorov, namiesto diskrétneho pomenovania zavediem spojité, pričom rovnovážnu vzdialenosť medzi dvoma susednými oscilátormi si označím b. Potom:

m(a2/t2) = ka(x-b) - 2ka(x) + ka(x+b), (1)

podľa pána Taylora platí:

a(x-b) = a(x) + (a(x)/x)(-b) + (2a(x)/x2)(-b)2 + ..,
a(x+b) = a(x) + (a(x)/x)(+b) + (2a(x)/x2)(+b)2 + ..,

to keď dosadím do (1), tak dostanem vlnovú rovnicu:

m(2a(x,t)/t2) = kb2(2a(x,t)/x2).

Táto rovnica predstavuje parciálnu diferenciálnu rovnicu pre funkciu a = a(x,t). Keď si zavediem označenie v2 = kb2/m, potom ju môžem prepísať prehladnejšie:

2a/t2 = v2 2a/x2. (3)

Dosadením sa môžeš presvedčiť, že riešeniami rovnice (3) sú všetky funkcie typu:

a = f(t x/v), (4)


systém č. 4

teda také funkcie, ktoré sa pohybujú rýchlosťou v smerom doprava alebo doľava, pričom sa nemení ich tvar. Z toho vyplýva, že mechanické vlnenie v nekonečnom rade oscilátorov sa bude šíriť rýchlosťou:

v = b(k/m), (5)

kde b je rovnovážna vzdialenosť medzi oscilátormi o hmotnosti m a k je koeficient pružnosti pružín medzi nimi.

Ešte treba upozorniť na najpoužívanejšie riešenie rovnice (3), a tým je nekonečná monochromatická vlna s frekvenciou = 2f:

a(x,t) = Asin[(t - x/v)] = Asin(t - x/v) = Asin(t - dx), (6)

pričom

d = /v = 2/(Tv) = 2/, (7)

kde = vT je vlnová dĺžka monochromatickej vlny.

by natT

< Módy Odraz a prechod impulzu >