Mokré koleso

Zadanie: Po mokrej ceste sa rýchlosťou velkosti u valí koleso o polomere R. Do akej maximálnej výšky môže vyletieť kvapka, ktorá sa odtrhne od kolesa?


obrázok č. 1

Riešenie: Na obrázku č. 1 môžeš vidieť, že som si zvolil vzťažnú sútavu spojenú so stredom kolesa. Pre také označenie, aké som si zvolil na obrázku, môžem pre polohu konkrétneho bodu na obvode kolesa písať:

r = (x, y) = (Rcos , Rsin ),

kde sa mení rovnomerne s časom t podľa vzťahu = t, pričom platí = u/R. Derivovaním podľa času dostanem rýchlosť daného bodu:

r' = v = (vx, vy) = (-usin , ucos ).

Teraz budem predpokladať, že z ľubovolného miesta na obvode kolese sa odtrhne kvapka. Potom vypočítam výšku, do akej vyletí a nakoniec zistím, pri akom bude táto výška maximálna. Koleso sa pohybuje doľava, teda smerom nahor budú vytrhávané kvapky, pre ktoré platí -/2 < < /2. Budú sa pohybovať v homogénnom gravitačnom poli, a pretože ma zaujíma iba výška, do ktorej vyletia, budú mi na to stačiť tieto vzťahy z kinematiky:

y = y0 + vy0t - 1/2 gt2,
vy = vy0 - gt

kde y0 je súradnica miesta, z ktorého kvapka vyletí a vy0 je zložka rýchlosti, ktorou vyletí. Platí:

y0 = Rsin ,
vy0 = ucos .
(-/2 < < /2)

Ďalej vypočítam čas, kedy bude rýchlosť vy nulová, a ten dosadím do vzťahu pre y. Dostanem tak výšku, do ktorej kvapka vyletí v závislosti od miesta, z ktorého vyletela:

h = R + Rsin + (u2/2g)cos2.

Túto rovnosť zderivujem podľa a dostanem miesto, z ktorého kvapky vylietávajú najvyššie. Po zderivovaní:

0 = (cos )(R - (u2/g)sin ),

z toho dostanem podmienky:

0 = cos ,
Rg/u2 = sin .

Prvá podmienka bude splnená vždy, pre = /2, druhá iba vtedy, ak bude platiť Rg/u2 < 1. To znamená, že ak bude rýchlosť kolesa u vačsia ako (Rg), musím maximálnu výšku rátať z podmienky č. 2 a kvapky vyletia aj vyššie ako 2R, v opačnom prípade mi z podmienky č. 1 vyplýva, že kvapky sa dostanú najviac do výšky 2R. Stručne zapísané:

 hmax = 2R, pre u (Rg), 
 hmax = R + u2/2g + gR2/2u2, pre u (Rg

by natT