< Spriahnuté oscilátory Šírenie impulzu >

Módy


systém č. 3

Majme opäť systém podobný ako v predchádzajúcich odstavcoch, ibaže s troma časticami. Výchylky častíc si označím pomocou súradníc x1, x2, x3 (častice majú hmotnosti m a pružinky koeficienty pružnosti k). V tomto odstavci ti ukážem iný spôsob riešenia ako pomocou prechodu k prirodzeným súradniciam daného systému. Aj keď samozrejme aj toto by sa dalo tak riešiť.

Opäť si ako prvé treba napísať pohybové rovnice, podobne ako sme to už robili v odstavci Spriahnuté oscilátory:

mx"1 = -kx1 + k(x2 - x1),
mx"2 = -k(x2 - x1) + k(x3 - x2),
mx"3 = -k(x3 - x2) - kx3.
(1)

Na riešenie tejto sústavy diferenciálnych rovníc využijem skúsenosti, ktoré máme z predchádzajúceho odstavca. Všimol som si, že všeobecné riešenie sa dalo napísať superpozíciou špeciálnych riešení - módov. Tak teda budem predpokladať, že aj teraz sa to bude dať spraviť podobne a budem hladať takéto módy - stavy, kedy všetky častice kmitajú s rovnakou frekvenciou. Hladám teda riešenia napríklad v tvare:

x1 = Asin(t),
x2 = Csin(t),
x3 = Esin(t),
(2)

kde A, C, E a sú neznáme. Po dosadení (2) do (1) a po úprave dostanem takúto sústavu 3 obyčajných rovníc o 4 neznámych:

A(2k - m2) - Ck = 0,
-Ak + C(2k - m2) - Ek = 0,
-Ck + E(2k - m2) = 0,
(3)

To by mohlo na prvý pohľad vyzerať beznádejne, no lepšie to bude, keď si uvedomím, že nepotrebujem vedieť presné hodnoty konštánt A, C a E. Stačí mi, keď budem poznať ich pomery, a potom z počiatočných podmienok si určím ich hodnoty. Na čom mi záleží viac, je, či sa budú dať zistiť hodnoty pre jednotlivé módy.

Sústava (3) je homogénna (na pravých stranách má samé 0), preto jej riešením je aj A, C, E,  = 0. No ja hľadám netriviálne riešenie, a také budem mať šancu nájsť vtedy, ak determinant takejto sústavy bude 0. (Prečo je to tak? Na to prídeš vtedy, keď popremýšlaš nad tým, ako sa sústava rovníc rieši pomocou Cramerových determinantov.)

det2k - m2-k0 =
-k2k - m2-k
0-k2k - m2
= (2k - m2)[(2k - m2) - k2] - k2(2k - m2) =
= (2k - m2)[(2k - m2) - 2k2] =
= (2k - m2)(m24 - 4km2 + 2k2) = 0.

Riešením tejto rovnice pre neznámu dostanem:

1 = 2k/m,
2 = (2 + 2)k/m,
3 = (2 - 2)k/m.
(3a)

A spätným dosadením týchto riešení do sústavy (3) dostanem vzťahy pre A, C, E:

A = -E, C = 0 pre 1,
A = E, C = -A2 pre 2,
A = E, C = A2 pre 3.
(3b)

To isté by som dostal, keby som hľadal módy v tvare:

x1 = Bcos(t),
x2 = Dcos(t),
x3 = Fcos(t),

kde B, D, F sú reálne konštanty.

To znamená, že som našiel takéto 3 módy môjho systému:

(1)x1(t) = A1sin(1t) + B1cos(1t),
(1)x2(t) = 0,
(1)x3(t) = -A1sin(1t) - B1cos(1t).

(2)x1(t) = A2sin(2t) + B2cos(2t),
(2)x2(t) = -A22sin(2t) - B22cos(2t),
(2)x3(t) = A2sin(2t) + B2cos(2t).

(3)x1(t) = A3sin(3t) + B3cos(3t),
(3)x3(t) = A32sin(3t) + B32cos(3t),
(3)x3(t) = A3sin(3t) + B3cos(3t).

Všeobecné riešenie má teda tvar:

x1(t) = (1)x1(t) + (2)x1(t) + (3)x1(t),
x2(t) = (1)x2(t) + (2)x2(t) + (3)x2(t),
x3(t) = (1)x3(t) + (2)x3(t) + (3)x3(t),

pričom konštanty A1, A2, A3 a B1, B2, B3 treba určiť z počiatočných podmienok.

by natT

< Spriahnuté oscilátory Šírenie impulzu >