Konvexni uhel Cabri II Nekonvexni uhel Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II

Uhly

Obsah :



Uhel

Pojem uhlu patri k nejzakladnejsim pojmum geometrie. Zajimave je, ze uhel muzeme definovat nekolika ruznymi zpusoby, z nichz ma kazdy sve opodstatneni.

Nejzakladnejsi definice rika:

Uhel je cast roviny omezena dvema poloprimkami se spolecnym pocatkem.

Pri takto definovanem uhlu si vsak musime uvedomit, ze poloprimky VA a VB vymezuji dva ruzne uhly a to :
Bod V se nazyva vrchol uhlu AVB.
Poloprimky VA a VB se nazyvaji ramena uhluAVB.
Uhly casto zjednodusene oznacujeme malymi
pismeny recke abecedy


Ne kazda definice je na prvni pohled tak jasna jako tato. Uhel muzeme tez definovat pomoci bodu dane vlastnosti, neboli bodu, ktere maji neco spolecneho. Takova definice pak muze vypadat napriklad takto:
Rovinnym uhlem nazyvame mnozinu vsech bodu vsech poloprimek VX se spolecnym pocatkem V, kde bod X patri do daneho oblouku AB kruznice k se stredem v bode V.

Pokud jste teto ponekud slozitejsi a na predstavivost narocnejsi definici uhlu zcela neporozumeli, klepnete na symbol Cabri II a pohybujte s bodem B. V nacrtku nejsou samozrejme vsechny poloprimky VX, to by ani nebylo mozne, ale pri dukladnem prostudovani bude jiste i tento nacrtek stacit a mnohe bude jasnejsi.




Osa uhlu

Ke kazdemu uhlu nalezi tzv. osa uhlu. Je to vlastne primka, ktera rozdeluje uhel na dve shodne casti - dva shodne uhly. Osu uhlu muzete vytvorit napriklad tak, ze uhel vystrizeny z papiru prelozite napul.

Osu uhlu muzeme definovat take pomoci mnoziny bodu dane vlastnosti takto:
Osou uhlu nazyvame mnozinu prave tech bodu uhlu, ktere maji od obou ramen uhlu stejnou vzdalenost

Na obrazku je osa znazornena jako primka o. Osy uhlu kreslime tenkou cerchovanou carou.
Klepnutim na symbol Cabri II si zobrazte ukazku a splnte nasledujici ukoly:

Sledujte, kam se presune bod K, jestlize body A,V,B lezi v primce.

Jakym postupem byste zkonstruovali osu uhlu ?



Velikost uhlu

Velikost uhlu se povazuje za velicinu, tudiz se k velikosti uhlu pripojuje znacka uhlove jednotky. Uhly se zpravidla meri v
obloukove nebo stupnove mire.

Obloukova mira


Hodnota obloukove miry uhlu AVB se rovna delce kruznicoveho oblouku AB, ktery je prunikem uhlu AVB a kruznice k se stredem ve vrcholu V a polomerem 1. Uhlova jednotka obloukove miry se nazyva radian a ozacuje se rad.

Radian je hlavni jednotkou rovinneho uhlu. Patri mezi tzv. "doplnkove jednotky" mezinarodni soustavy jednotek SI.
Radianu se pouziva predevsim v technickych disciplinach, jako jsou napriklad fyzika nebo elktrotechnika. V bezne praxi se velikosti uhlu udavaji vetsinou ve stupnich.
Pri udavani velikosti uhlu v obloukove mire se znacka rad zpravidla vynechava.

Stupnova mira


Uhlova mira stupnova byla odvozena od rozmeru praveho uhlu, kteremu bylo prirazeno 90 jednotek. Proto tuto miru nazyvame tez devadesatinna mira. Uhlovou jednotkou stupnove miry je 1 stupen znacka o.

Pro jeden stupen plati :

Uhlovy stupen se deli na 60 uhlovych minut (1o = 60')
Uhlova minuta se deli na 60 uhlovych vterin (1' = 60") , tj. 1o = 3 600 " .
Pocitat v takoveto nedesitkove soustave jednotek neni samozrejme nic prijemneho. Casto bude potrebne uskutecnovat ruzne prevody mezi stupni, minutami a vterinami, proto by bylo vhodne si je procvicit. Tyto prevody jsou ponekud zdlouhave, avsak navrhy na mereni uhlu v desitkove soustave se dodnes v beznem zivote neujaly. Jistym pokusem bylo zavedeni tzv. setinne miry, ale i jeji pouzivani je velmi omezeno.

Otevrte si jeste jednou predchazejici obrazek v Cabri II a pokuste se vytvorit prevodni tabulku mezi stupni a radiany pro 30o, 45o, 60o, 90o, 180o, 270o, 360o

Pokusne odectene hodnoty overte kontrolnim vypoctem podle prevodniho vzorce. Sva mereni a vypocty si muzete zkontrolovat zde.

Radian a uhlovy stupen jsou dvemi nejpouzivanejsimi jednotkami velikosti uhlu. Ve specialnich vednich oborech se pouzivaji rovnez dalsi uhlove jednotky, s nimi se vsak bezne nesetkate.

Rozdeleni uhlu podle jejich velikosti

Velikosti jednotlivych specialnich uhlu vyjadrete v radianech. Kdo si nebude vedet rady, muze pouzit prevodni tabulku.


Scitame a odecitame uhly

Graficky

Graficke secteni uhlu a + b provedeme tak, ze nejprve k jednomu rameni uhlu a preneseme uhel b mimo uhel a. To znamena, ze se oba uhly neprekryvaji, pokud jejich soucet nepresahl 360o. Jejich soucet je tedy uhel, krety vymezila jejich nesouhlasna ramena.
Pri odecitani uhlu a - b postupujeme obdobne, pouze uhel b preneseme dovnitr uhlu a. Vysledny uhel opet vytycuji nespolecna ramena obou uhlu.

Pozor ! Jestlize a<b, musime dat pozor na orientaci uhlu. Pokud se chcete temto problemum vyhnout, pocitejte radeji rozdil b - a.

Pocetne

Pri pocitani s uhlovymi jednotkami musime stale myslet na to, ze se pohybujeme v sedesatkove soustave. Vsechny minuty i vteriny vetsi nez 59 musime prevadet.
Zvlastni pozor pozor musime davat rovnez pri odecitani uhlu v pripade, ze pocet minut mensence je mensi nez pocet minut mensitele. Podivejme se na operace s uhlovymi jednotkami podrobne a po dukladnem prostudovani si je procvicte na nekolika prikladech.


Dvojice uhlu

Stycne uhly

Stycnymi uhly nazyvame dva uhly, jejichz soucet velikosti je mensi nez velikost plneho uhlu a jejichz dve ramena splyvaji a zbyvajici dve ramena lezi ve vzajemne opacnych polorovinach s hranicni primkou obsahujici spolecne rameno.
S timto typem uhlu jsme se jiz setkali pri garfickem scitani uhlu. Abychom mohli dva uhly graficky secist, musime z nich nejprve utvorit dvojici stycnych uhlu.

Vrcholove uhly

Vrcholovymi uhly nazyvame uhly, jejichz vrcholy splyvaji a ramena jsou vzajemne opacne poloprimky. Vrcholove uhly jsou shodne.

Vedlejsi uhly

Vedlejsimi uhly nazyvame stycne uhly, jejichz nesplyvajici ramena jsou vzajemne opacne poloprimky.

Soucet dvou vedlejsich uhlu je primy uhel.

Doplnkove uhly

Dva uhly jez maji spolecne jedno rameno a jejichz grafickym souctem je uhel pravy, se nazyvaji doplnkove.

Soucet dvou doplnkovych uhlu je pravy uhel.

Souhlasne uhly

Stridave uhly

Stridave a souhlasne uhly maji jedno spolecne rameno a druha ramena rovnobezna. Velikosti stridavych i souhlasnych uhlu se vzdy rovnaji. Rozdil mezi temito typy dvojic uhlu je videt na obrazku.

Naleznete souvislost stridavych a souhlasnych uhlu s uhly vrcholovymi.

Obvodovy uhel

Zobrazte si konstrukci obvodoveho uhlu a a pohybujte bodem C. Sledujte, jakych hodnot bude nabyvat uhel a. Vsimete si, jak se meni velikost uhlu pri jine delce usecky AB. Na zaklade jednotlivych mereni se pokuste formulovat obecnejsi pravidlo pro velikost obvodoveho uhlu.


Jak musi vypadat konstrukce, aby se velikost uhlu a nezmenila v zadne poloze bodu C ?