uvnitr cabri Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II ostro tupo pravo cab1 cab2 cab3 obec rstran rram

Trojuhelnik

Obsah :



Znaceni trojuhelniku

Trojuhelniky znacime symbolem , cili napriklad trojuhelnik ABC zkracene zapiseme jako ABC. Vrcholy trojuhelniku oznacujeme velkymi tiskacimi pismeny, strany malymi tiskacimi pismeny a uhly vesinou malymi pismeny
recke abecedy.
Kazdy trojuhelnik ma tri vnitrni uhly a sest uhlu vnejsich, ktere jsou vlastne uhly vedlejsimi k uhlum vnitrnim.

Soucet vnitrnich uhlu trojuhelniku je uhel primy
Toto tvrzeni si nejlepe dokazeme na tomto obrazku. Nejprve narysujeme primku p, ktera prochazi vrcholem trojuhelniku (C) a je rovnobezna s jeho protilehlou stranou (AB). Pote sestrojime stridave uhly k uhlum prilehlym k teto strane (a, b). Jak je videt, graficky soucet uhlu g a stridavych uhlu k uhlum a, b tvori primy uhel a ten, jak uz vime z predchozi kapitoly ma velikost 180.
Zopakujte si jake znate druhy uhlu a zamyslete se nad tim, jake muze mit trojuhelnik vnitrni uhly, kolik muze mit uhlu nekonvexnich, primych, tupych, pravych, ostrych ...

Rozdeleni trojuhelniku

Podle delek stran

Podle delek jednotlivych stran rozdelujeme trojuhelnika na obecne, rovnostranne a rovnoramenne.
Obecny trojuhelnik ma vsechny strany ruzne dlouhe a vsechny uhly ruzne velke. Plati pro nej tedy pouze obecna pravidla pro trojuhelnik jako soucet vnitrnich uhlu ...
Rovnostranny trojuhelnik ma vsechny strany stejne dlouhe a vsechny jeho vnitrni uhly jsou 60.
Rovnoramenny trojuhelnik ma dve strany tejne dlouhe, ty nazyvame ramena, a treti stranu ruznou, tu nazyvame zakladna. Zvlastni vlastnosti rovnoramenneho trojuhelniku je, ze uhly prilehle k zakladne jsou vzdy shodne.
Pozor ! I kdyz se zakladna nejcasteji rysuje vodorovne, neni to v zadnem pripade pravidlem. Nastavite-li v
Cabri trojuhelnik do jakekoliv polohy, zustava zakladnou strana AB.

Podle uhlu

Podle velikosti vnitrnich uhlu muzeme trojuhelniky rozdelit na tri zakladni typy. Jsou to:
Ostrouhly trojuhelnik ma vsechny vnitrni uhly ostre
Tupouhly trojuhelnik ma jeden tupy uhel.
Pravouhly trojuhelnik ma jeden pravy vnitrni uhel. Stranam, ktere tvori ramena praveho uhlu rikame odvesny, strana lezici naproti praveho uhlu se nazyva prepona.
Pomoci predchozich prikladu v Cabri se pokuste zodpovedet nasledujici otazky:
Zopakujte si : proc muze mit trojuhelnik pouze jeden pravy nebo tupy uhel ?
Muze byt pravouhly trojuhelnik zaroven rovnoramenny ?
Muze byt rovnostranny trojuhelnik zaroven pravouhly ?

Konstrukce trojuhelniku

Pri kazde konstrukci budeme dodrzovat nasledujici schema :

1. Rozbor
Rozbor bude vzdy obsahovat nacrtek. Zde si nakreslime od ruky trojuhelnik a vyznacime na nem barevne, co je zadano. Nacrtek nam pomuze vymyslet, jak postupovat pri konstrukci.
Druha cast, kterou bude rozbor vzdy obsahovat je urceni podminek resitelnosti ulohy. V teto casti overime, jestli trojuhelnik lze podle danych parametru sestrojit.

2. Zapis konstrukce
Konstrukci zapisujeme postupne, jak ji budeme provadet pomoci
matematickych znacek a symbolu. Jednotlive body konstrukce piseme na zvlastni radky a oznacujeme cisly.

3. Konstrukce
Presne podle pravitka, kruzitka, uhlomeru a dalsich rysovacich pomucek sestrojime zadany trojuhelnik.

V teto kapitole se seznamime se tremi typy konstrukci trojuhelniku:

  1. Podle vety sss, kdy jsou zadany delky vsech stran trojuhelniku
  2. Podle vety sus, kdy jsou zadany delky dvou stran trjuhelniku a velikost uhlu jimi sevreneho
  3. Podle vety usu, kde je zadana delka jedne strany trojuhelniku a velikosti obou ji prilehlych uhlu
Kliknete na nazev vety, kterou chcete zobrazit.


Vysky trojuhelniku

S pojmem "vyska" jste se jiste setkali uz mnohokrat v zivote. Jiste si dokazete predstavit, co je vyska rozhledny, domu ci vyska spoluzaka. Vsimete si, ze vysku vzdy merime kolmo od zeme az do nejvyssiho bodu mereneho objektu.
Stejnym zpusobem budeme postupovat i u trojuhelniku a povedeme kolmici k jedne strane trojuhelniku az do protilehleho vrcholu. Protoze trojuhelnik ma tri strany i vrcholy, muzeme takto sestrojit tri vysky.
Vysky oznacujeme malym v s indexem nazvu strany ke ktere prislusna vyska patri. Slovem vyska oznacujeme v trojuhelniku jak usecku, tak jeji delku.
Prusecik vysek O nazyvame ORTOCENTRUM trojuhelniku.
Drive nez se pustite do konstrukci vysek trojuhelniku, sledujte jejich chovani na pripravenem priklade v
Cabri a zodpovezte pomoci pohybliveho obrazku naasledujici otazky.

Vyzkoumejte, na cem zalezi, zda ortocentrum lezi uvnitr, nebo vne trojuhelniku.

Sestavte takovy trojuhelnik, ktery ma vsechny vysky stejne dlouhe. Jak se takovemu trojuhelniku rika?

Zjistete, kde ma ortocentrum pravouhly trojuhelnik a jaka pravidla plati pro vysky u rovnoramenneho a rovnostranneho trojuhelniku?


Teznice trojuhelniku

Pojem teziste patri spise do fyziky, kde se zjistuje jeho poloha experimentalne. Je to vlastne rovnovazny bod telesa. Rovnoramenne vahy s prazdnymi miskami maji teziste primo uprostred ramene. Jakmile jednu misku zatizime, posune se teziste smerem k ni a rameno vah se nahne tim smerem. U trojuhelniku muzeme tento bod narysovat pomoci tzv. teznic.
Teznice trojuhelniku je usecka spojujici vrchol trojuhelniku se stredem jeho protilehle strany. Oznacime ji malym t s indexem nazvu strany, ke ktere nalezi.
Prusecik teznic se nazyva teziste trojuhelniku a oznacujeme ho T. Tento bod deli teznice v pomeru 2:1 tak, ze delsi usek teznice lezi vzdy u vrcholu. To znamena, ze usek teznice od vrcholu do teziste je vzdy 2/3 celkove delky teznice.
Nachazi se teziste vzdy uvnitr trojuhelniku?

Jake pravidlo plati pro teznice a teziste u rovnoramenneho a rovnostranneho trojuhelniku?

Odvodte, kde se nachazi teziste u kruznice, ctverce, kosoctverce, obdelnika a dalsich geometrickych tvaru.


Kruznice opsana trojuhelniku

Kruznice opsana trojuhelniku je kruznice, ktera prochazi vsemi tremi vrcholy trojuhelniku. Nez se pustime do hledani teto kruznice, pokusime se najit alespon nektere kruznice prochazejici dvema body.
Jednim bodem, ktery splnuje pozadavky na stred kruznice prochazejici dvema body je stred usecky temito body ohanicene. Ten sestrojime snadno. Z obrazku je videt, ze dalsi takove body lezi na primce, ktera je kolma k usecce AB a vede jejim stredem. Teto primce rikame osa usecky AB. Na ni lezi vsechny stredy kruznic prochazejicich zaroven bodem A i B. Osu usecky znasime obvykle malym o.
Nyni kdyz uz vime, jak sestrojit mnozinu vsech stredu kruznic prochazejicich dvema body, nebude tezke sestrojit stred kruznice prochazejici zaroven tremi body. Vezmeme libovolne dve strany trojuhelniku a sestrojime jejich osy podle predesleho navodu. Tam, kde se tyto osy protnou by mel lezet stred kruznice opsane trojuhelniku S. V Cabri se muzete presvedcit, ze i osa treti strany trojuhelniku prochazi vzdy timto prusecikem.

Konstrukci si provedte do sesitu nebo na papir. Tady se ukaze, kdo umi presne rysovat.

Bude lezet stred kruznice opsane S vzdy uvnitr trojuhelniku, tak jak je to znazorneno na obrazku? Pouzijte prikladu v Cabri.

Kde lezi stred kruznice opsane u pravouhlych trojuhelniku?

Kruznice vepsana trojuhelniku

Kruznice vepsana je takova kruznice, ktera se zevnitr dotyka vsech tri stran trojuhelniku. Nez ji zacneme konstruovat, podivame se nejprve, jak sestrojit stred kruznice, ktera se dotyka dvou ruznobezek. Zopakujte si, co vite o
ose uhlu.
Pokud jste si pripomeli, jiste uz vite, ze osa uhlu je primka, jejiz kazdy bod ma stejnou kolmou vzdalenost od obou ramen uhlu. To znamena, ze sestrojime-li kruznici se stredem na ose uhlu, ktera se dotyka jednoho ramene uhlu, bude se dotykat i ramene druheho.
Sestrojte tedy v trojuhelniku osy vsech tri uhlu a jestlize jste presne rysovali, protli se v jednom bode uvnitr trojuhelniku. Bod oznacte S a sestrojte kruznici se stredem S dotykajici se libovolne strany. Pri presnem rysovani se dotkne i zbylych dvou stran. Teto kruznici rikame kruznice vepsana trojuhelniku.
Muze se u nejakeho trojuhelniku nachazet stred kruznice vepsane vne trojuhelniku?

Na cem zavisi polomer kruznice vepsane r?